Закон экономии энергии. Секрет золотого сечения

Фракталы и фрактальность

В 1950 году Английский математик, физик, метеоролог Льюис Ричардсон обратил внимание на следующее: Португалия установила, что длина её границы с Испанией составляет менее 1000 км, а Испания заявляла, что длина её границы с Португалией более 1200 км. Сначала это казалось парадоксальным, но затем исследуя расхождения в оценке протяженности береговой линии, Ричардсон обнаружил, что масштаб измерений обратно пропорционален общей длине всех отрезков, используемых для спрямления береговой линии. То есть чем короче используемая линейка, тем длиннее измеряемая граница. При этом в случае стремления длины отрезка измерений к нулю значение длины береговой линии возрастает до бесконечности. Таким образом, выяснилось, что испанские и португальские географы попросту проводили измерения в разных масштабах.

Через 10 лет, в 60х годах 20 века французско-американский математик Бенуа Мандельброт назвал это парадоксом береговой линии, а для его объяснения ввёл понятие фрактала, а в итоге разработал новое направление в математике — фрактальную геометрию.

Основным свойством фракталов является самоподобие, заключающееся в проявлении одной и той же общей фигуры при любом масштабе. Другими словами самоподобие — свойство объекта, в точности или приближённо совпадать с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В свою очередь, это целое является частью другого целого, а части этого первого целого, являются целым и так далее, как в сторону увеличения масштаба, так и в сторону уменьшения.

Фрактал — это структура, состоящая из частей, которые подобны целому. Если всматриваться во фрактальную форму, то  видна одна и та же структура независимо от степени увеличения.  Например, береговая линия воспринимается как чередование заливов и мысов.   При увеличении масштаба всё равно проявляется аналогичная картина меньших заливов и мысов, наложенная на большие заливы и мысы, вплоть до песчинок и пылинок с неуклонным стремлением длины берега к бесконечности.

В 1967 году Мандельброт опубликовал в журнале «Science» статью «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность» в которой привёл свои идеи о фракталах.

Позже Б.Мандельброт впервые выдвинул идею фрактального строения нашего мира и изложил её в известной книге «Фрактальная геометрия природы» (1977).  Действительно, и в неживой, и в живой природе существует великое множество примеров фракталоподобия. Достаточно задаться целью найти эти примеры на интернете, как можно утонуть в потоке разнообразной информации и, может быть, на какое-то время забыть что и зачем искал. Настолько много красочных примеров в растительном мире, настольно природа красива в своей гармонии. Настолько она  умна и рациональна в выборе тех или иных форм. Настолько она  и эффектна и эффективна.

Рис.1.Примеры фрактальности в природе

Почему же природа такова, что творит такие чудеса? Как она научилась этому? Попробуем найти ответ на эти и другие вопросы, например, на такой: почему примеры фрактальности, встречающиеся в природе, также приводятся в качестве примеров  часто встречающихся в природе пропорций «золотого сечения» или числовой последовательности Фибоначчи, в основе которой лежит правило «золотого сечения»?. Такая же информационная лавина примеров, тех же и подобных фотографий. Так демонстрацией чего являются эти многочисленные примеры из живой и неживой природы — фрактальности или «золотого сечения»?


Линейная и нелинейная термодинамика открытых неравновесных систем

Начнём издалека. Немецкий ученый Рудольф Клаузиус не мог предполагать, что открытый им в 1865 г второй закон термодинамики будет иметь такие глобальные последствия. Введенное им понятие энтропии, уточнённое Людвигом Больцманом, в 19м и в первой половине 20го века относилось только к термодинамике, разделу физики. Энтропия — это мера хаоса или внутренней неупорядоченности системы.
2й закон термодинамики — предмет изучения классической (равновесной) термодинамики. Он касается только закрытых или изолированных систем, не имеющих связи и энергообмена с окружающим миром и формулируется так: энтропия в закрытой системе всегда увеличивается вследствие необратимых процессов. Иными словами, закрытая система, в итоге стремится к хаосу, к равновесному состоянию, при котором энтропия максимальна.

Появившееся явное противоречие между теорией эволюции и теорией энтропии, было урегулировано в 70-х годах 20го века благодаря работам бельгийского ученого русского происхождения, Нобелевского лауреата 1977г., Ильи Пригожина. Он исходил из того. что в природе закрытых систем не бывает. Всё живое — это открытые неравновесные системы, получающие энергию извне и живущие за счёт своей открытости, при этом  отдавая или рассеивая энергию в окружающее пространство, т.е. за пределы системы.  Он разработал закономерности термодинамики неравновесных (необратимых) систем, которые он назвал диссипативными,  и доказал общее  свойство таких систем  к самоорганизации.  В его книге в соавторстве с Изабеллой Стенгер «Порядок из хаоса» (1984) изложены основные положения теории самоорганизации. В своих работах И.Пригожин опирался на труды Советских математиков, в частности на труды академика А.Н. Колмогорова в области теории динамических систем. Доказано, что именно неравновесность является первопричиной упорядочения.

Рис.2.Пригожин Илья Романович (1917 — 2003)

Пригожин разработал теорию упорядочения или локального структуирования неравновесных систем. Т.е. на фоне стремления общей макросистемы к хаосу, сопровождающееся увеличением её энтропии, возможна локальная самоорганизация из хаоса путём упорядочения отдельных его подсистем, сопровождающееся понижением их энтропий. Такую в то время гипотезу возможных локальных неоднородностей выдвигал еще Больцман.

Неравновесные системы могут быть стационарными и нестационарными. И те, и другие непрерывно обмениваются с окружающей средой  энергией и веществом. Ряд ученых добавляет сюда и информацию. Поскольку вещество, потребляемое живыми организмами является источником пополнения внутренней энергии системы, вещество выделяемое системой во вне, в свою  очередь имеет энергетическую значимость и может быть представлено в энергетическом эквиваленте, то будем оперировать только параметром энергии.

Стационарные системы характеризуются минимальным значением энтропии и при этом потери энергии или её диссипация тоже минимально возможные. Стационарные системы устойчивы. Внешнее воздействие и ответ системы на него имеют линейный характер. При этом отклонившись от стационарного состояния система в него и возвращается согласно принципу Ле-Шателье. Происходит автостабилизация системы, но только, если это внешнее воздействие незначительное и не вызывает необратимых процессов.  В данном случае справедлива теорема Пригожина, предложенная им ещё в 1947 году, а именно: стационарному состоянию линейной неравновесной системы соответствует минимальное производство энтропии. Однако в случае линейной неравновесности система не способна к самоорганизации и развитию.

Что это означает, например, применительно к биологическим системам?  Все растения можно отнести  к неравновесным линейным, а животных в первом приближении тоже с некоторой оговоркой, т. е  кроме случаев, когда их энтропия увеличивается вследствие причин, рассмотренных ниже. Из этого следует справедливость действия для биосистем теоремы Пригожина. Что и доказывает рациональность природы, в том числе в выборе фрактальных форм. Видимо, при переходе системы в нелинейную фазу это свойство может теряться.

Самоорганизованные системы включают как плавные этапы эволюционного развития, так и скачкообразные процессы, переводящие неравновесную систему, дошедшей в своем развитии критического состояния из-за достигнутой предельной «критической массы» накопившихся флуктуаций (отклонений, ошибок), в новое устойчивое состояние с более высоким уровнем сложности и упорядоченности по сравнению с исходным. Критическое состояние — это так называемая точка бифуркации. В ней неравновесная система достигает максимальной энтропии, при которой происходит новый качественный скачок (новое качественное преобразование, новый вид системы, нарушение структуры, разрушение, катастрофа, революция, исходя из того, какую систему, в какой сфере и какого масштаба мы рассматриваем). Причем в момент кульминации неравновесного состояния достаточно бесконечно минимального воздействия или флуктуации, чтобы необратимый процесс перехода начался. Причем выбор варианта перехода в новое качество носит случайный непредсказуемый характер. Поскольку таких вариантов может быть не два, а гораздо больше, то некоторые называют критическую точку точкой полифуркации. Данный процесс, когда незначительное влияние на систему может иметь большие и непредсказуемые последствия, в том числе и совершенно в другом месте, принято образно называть «эффектом бабочки». По мере приближения к точке бифуркации роль отдельных случайных флуктуаций резко возрастает. а поэтому нелинейный характер «внешнее воздействие — реакция. системы» усиливается. И совершенно непредсказуемо какая из флуктуаций будет последней и решающей. Характерно, что возможные график  поведения неравновесных систем в зависимости от степени  неравновесности носит фрактальный характер.

Пригожин, описывая явление бифуркации, особо акцентировал внимание на необратимости процессов перехода из одного  качественного состояния в другое, что свидетельствует о необратимости времени. Он назвал это свойство времени «стрелой времени».

Надо полагать, что бифуркации сама по себе является проявлением стремления системы к минимализации энергозатрат и снижению энтропии, а самоорганизация по сути тоже является бифуркацией.

По сути развитие через прохождение точек бифуркаций — это ни что иное, как проявление 2го закона философии материализма: неизбежный переход количества в качество, который мы изучали ещё в школе по предмету «Обществоведение» и в ВУЗе по курсу марксистско-ленинской философии.
Новое направление в науке, изучающая вопросы и закономерности самоорганизации открытых систем немецкий физик-теоретик Герман Хакен предложил назвать синергетикой в своей книге с одноименным названием «Синергетика» (1977). Такое название, судя по многочисленным публикациям, прижилось. Это — междисциплинарная наука, которая изучает общие закономерности развития неравновесных систем в самых разных областях природы, живой и неживой, а также общества.
Теория самоорганизации неравновесных систем или синергетика, как обобщающая наука, может служить своеобразным дополнительным инструментом или даже новой методологией научного познания. Её отличительная особенность от философских методологий заключается в том, что она основана на строгих математических закономерностях. А зная эти закономерности развития можно с той или иной степенью достоверности прогнозировать будущее, во всяком случае до ближайшей бифуркации.

Рис.3.Поведение неравновесных систем в зависимости от степени неравновесности

Таким образом, как видно из хронологии событий, теория неравновесных термодинамических систем И.Пригожина вместе с синергетикой Г.Хагена. с одной стороны  и фрактальная геометрия Б.Мандельброта с другой стороны появились практически одновременно в конце 70х годов 20го века. Эти три выдающихся ученых — химик, физик и математик заложили основы новой более совершенной междисциплинарной методологии   научного познания для самых разных областей направлений науки: биологии, социологии, истории, медицины, философии, технических наук. Их работы доказали как, почему и в каких формах происходит самоорганизация и развитие открытых неравновесных систем:

1. Как? Эволюционное развитие со всё нарастающим объемом флуктуаций и возрастающей ролью флуктуаций через качественные скачки в точках бифуркации.

2. Почему? Потому, что это локальное упорядочение подсистем и их самоорганизация с понижением энтропии системы на фоне повышения энтропии всей системы в целом является энергетически более выгодным  для  открытых систем, т.е. в условиях активного энергообмена с внешней средой. 

3. В каких формах? В формах, предполагающих наименьшие затраты энергии, наибольшую устойчивость и эффективность, т.е. в формах, имеющих фрактальные свойства.


Числа Фибоначчи и «золотое сечение»

Теперь осталось доказать, что последовательность Фибоначчи имеет фрактальные свойства.

Последовательность Фибоначчи (А000045) чуть ли не самая знаменитая, наравне с последовательностью натуральных чисел (А000027), обладает, в отличие от последней, некими особенными, магическими свойствами, заставляющими им следовать всему, что нас окружает.

Суть последовательности чисел Фибоначчи заключается в том, что каждое число в ряду является суммой предыдущих 2х чисел, т.е.:

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597….

Последовательность Фибоначчи обладает множеством уникальных свойств, которые достаточно хорошо изучены математиками. Остановимся на некоторых, главных, на основании которых можно прийти к выводам, которые следуют ниже:

1. Отношение пар соседних чисел в ряду соответствует пропорции «золотого сечения» и чем больше эти числа, тем точнее их отношение соответствует пропорции «золотого сечения» — 1,618 или 0,618. Выражаясь математически, предел отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи по мере их увеличения стремится к пропорции «золотого сечения» как бы символизируя о том, что путь к совершенству и гармонии бесконечен или нет предела совершенству.

2. Разность отношений соседних чисел, большего числа к меньшему и меньшего числа к большему, равно одному.

3. Квадрат числа равен произведению чисел, его окружающих.

Является несомненным, что ряду Фибоначчи характерно себеподобие, а, следовательно,  фрактальность. Фрактальность последовательности Фибоначчи является предметом исследования и дискуссий по этому поводу математиков. Не стану даже и пытаться доказать это методами матанализа и теории вероятности, поскольку математики-фибоначчисты сделают это гораздо быстрее и профессиональнее. А пока они исследуют и дискутируют, будем делать кое-какие выводы.

Выбор природы — выбор самоорганизации. Это — наиболее рациональный выбор развития, а, следовательно, наименее энергозатратный или наиболее энергоэффективный путь. Иначе и быть не может, иначе — противоестественно.


Рис.4.Фрагмент молекулы ДНК

Фрактальность в живой природе, если судить по себеподобию, является символом наследствования и преемственности. В свою очередь это предполагает максимальную энергоэффективность процессов и явлений, следующих принципу фрактальности и принципу последовательности Фибоначчи или пропорциям «золотого сечения».  Этим и объясняется то, что пропорции «золотого сечения» широко распространены в природе. Это — многие пропорции человеческого тела, ветвление деревьев и других растений, форма цветов, чешуек ананаса и кедровых шишек, расположение семян в подсолнухе, пропорции спирали улитки и спиралевидных галактик, а также пропорции двойной спирали молекулы ДНК и многое другое. Не случайно в природе данная последовательность встречается повсеместно. А если в природе наблюдается какая-либо закономерность, то это не является случайным, а свидетельствует о наиболее рациональном и, следовательно, энергетически наиболее выгодным, наиболее вероятным способом формирования в прямом смысле этого слова (формообразования) биосистем.

Рис.5.Примеры параметров «золотого сечения» в природе

На этом основана и теория И.Пригожина о самоорганизации открытых  систем, к которым относится все живое на Земле. Такое упорядочение сопровождается снижением энтропии внутри открытой системы, при минимальном увеличении энтропии системы извне. Иными словами, самоорганизация неизбежна и закономерна, но только в случае, если это энергетически выгодно, а выгодно это становится, когда удовлетворяется условие фрактальности.
Таким образом, секрет «золотого сечения» заключается в фрактальности математической прогрессии, соответствующей «золотому сечению», т.е. последовательности Фибоначчи, следовательно, в минимальной диссипации, т.е. в максимальной энергоэффективности процессов и явлений, соблюдающих его пропорции. в максимально возможном КПД.

Магия  «золотого сечения», чувство красоты, максимальной гармонии и внутреннего комфорта,  возникающее у человека, при восприятии пропорций «золотого сечения» в природе, в архитектуре, живописи, по всей видимости, является проявлением врожденного чувства человека, возникновение которого можно объяснить интуитивным стремлением жить, действовать, творить максимально плодотворно с минимальными затратами энергии. И учиться этому у природы!

*Последующие публикации открытой рубрики «Закон экономии энергии» будут посвящены темам возникновения вселенной, жизни и сознания и все это сквозь призму неравновесной термодинамики.