Задача о четырех кубах. Часть 10

РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ ИНТЕРЕСНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

В далеком 1825 году неизвестный математик (или физик, или ботаник, астроном, страховой агент и т.д.) опубликовал формулу представления любого числа через сумму трех дробей в кубе. В рисунке эта формула - на желтом фоне. Интересна она тем, что ее можно свести к задаче о четырех кубах. Что я, конечно, довольно быстро сделал. Но хочу заметить один казус. Обнаружив в интернете алгебраическое представление неизвестного автора, ринулся его проверять. И не зря! В формуле оказалась неточность (выделил красным фломастером).
Эту же формулу нашел в Монографии Ю.И.Манина "Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика". Можете убедиться по ссылке (страница 6, формула в самом низу):
https://bookree.org/reader?file=440548&pg=6
Примечательно, что она выдается ни много, ни мало - как теорема! Вот цитирую:
"Т е о р е м а : Любое рациональное число является суммой трёх кубов рациональных чисел.
Первое док-во (Райли, 1825 г; Ричмонд, 1930)" ...  И далее эта  ошибочная формула. А ведь Манин - доктор физ-мат наук! И такая ляпа, которая наверняка перепечатывалась в учебниках, пособиях, методичках.

Пришлось уже мне проявить все свое искусство, чтобы исправить опечатки. Убедиться же в правильности окончательного тождества можно следующим образом: набрать в математическом монстре с именем Maple простые команды:

restart;x:=a^9-3^6;y:=-a^9+3^5*a^3+3^6;z:=3^3*a^6+3^5*a^3; w:=3^2*a^7+3^4*a^4+3^6*a; simplify(x^3+y^3+z^3-w^3);

В результате получим ноль. Это говорит о многом. Говорит, что все ОК!

В результате и мой труд тут вынужденно задействован.
Степени же у параметров x,y,z,w, как видим, получились будь здоров! Почти как у Лемера. Поэтому и четверок Эйлера оказалось, мягко выражаясь, совсем немного. Всего два варианта из наблюдаемых 340. И процента не наберётся. Если кому интересно, показываю эти два варианта:

1) x=18 ; y=19 ; z=21 ; w=28 при а=-3
2) x=-17 ; y=26 ; z=36 ; w=39 при а=3

Но интересно же для науки всё равно!
Пламенный привет Неизвестному!

Москва.2017 г.