Мене, мене, текел, упарсин. Ч. 5

Ч.5
Принц с утра был весь в воспоминаниях детских лет  и припоминании и разгадывании снов прошлой ночи. И в прошлых воплощениях жизнь в снах была намного ярче, но в последних роль виртуальности всё возрастала. Как повторял учитель, «без игры воображения, без программирования и математики полноценным субъектом творения и чувствовать себя невозможно». Бог Амон сначала подобрал  двоих соратников - коллег принца. Но срок их оказался недолог. Затем пригласил на прогулку, побеседовал и признался, что принц очень нужен, но пока месяца два может расслабиться и отдохнуть перед большими нагрузками. Тут и расшифровывать ничего не надо. Сообщённое в снах с участием Амона всегда оказывается истинным, и даже все расклады мысленных моделей потом оправдываются. Богатое воображение приходит в противоречие со скудным течением ничего не значащих, нудно повторяющихся событий. Теперь важно так запрограммировать все свои инфоклоны, чтобы тратить как можно меньше времени на поиск и ввод информации. Ещё надо научиться эффективно управлять генами, ферментами, клетками и микроорганизмами. Множить следует только зрелые для более сложных задач инфоклоны…
Инфоклон А вновь послал сигнал в головы несчастных правителей и преступников: «Мене, мене, текел, упарсин. Скоро погибнешь, погибнет твой сын. Станешь несчастным, лежачим больным. И перед смертью ты будешь один…» Принцу стало грустно от этого повтора…
Надо научить и друга тому, чему научил учитель: при довольно простых предварительных условиях, оказывается, можно научить даже гениальности. Надо повторить другу, да и всем соратникам уроки с простыми (нет, это плохой термин – лучше «фундаментальными», или «первочислами») числами, т.е. числами, которые делятся без остатка только на единицу и самих себя. Вспомню, как начинал учитель.
«Пусть к – номер числа начиная с 1 в возрастающей последовательности этих чисел. Сами числа будут дискретными функциями от номера, обозначим их р(к). Тогда получим последовательность (в некоторых «расширительных» случаях можно 1 считать число нулевого номера, а 0 – числом «минус первого номера, но здесь это не понадобится):
2(1), 3(2), 5(3), 7(4), 11(5), 13(6), 17(7), 19(8), 23(9), 29(10), 31(11), 37(12), 41(13), 43(14), 47(15), 53(16), 59(17), 61(18), 67(19), 71(20), 73(21), 79(22),…
Теперь напишем главную (рекуррентную) формулу:

(1)                р(к) - р(к-1) = 2с(к)   .

И вот вокруг этой формулы и будем «плясать», и получим с ней всё гениальное.
Ещё нам понадобится таблица первочисел (простых чисел, primes (eng)), которая получается методом решета (Эратосфена или, как получает учитель, с помощью его «решета 30»). Для начала достаточно «скачать» из интернета таблицу этих чисел до 10000.
Вообще, эта таблица является настоящей «Изумрудной доской самого Бога Тота (Джехути) – Гермеса Трисмегиста». Такие гении математики, как Пифагор, Диофант, Евклид, Ферма, Декарт, Лейбниц, Мерсенн, Гаусс, Эйлер, Лежандр, Адамар и др., никогда не расставались с такой таблицей…Будем рассуждать, как дети. Что бросается в глаза? Во-первых, то, что последовательность первочисел можно продолжать. Но бесконечна ли она? Интуитивно и конструктивно (когда мы продолжаем поиск) кажется очевидной бесконечность последовательности первочисел. Но в арифметике (так же, как и во всей математике) надо точно доказывать все утверждения и предположения. Первое и самое популярное доказательство бесконечности нашей последовательности дал Евклид (отошлём читателя в интернет), но есть и могут быть другие виды доказательств. Что касается формулы (1), функция с(к) оказывается «скачущей» от 1 возможно (первая наша гипотеза!) тоже до бесконечности! Заметим, что функция с(к) в формуле (1) является многозначной: одному и тому же значению «с» соответствует начиная с первого наименьшего значения «к» бесконечное множество значений «к» (это наша очередная гипотеза, обобщающая и распространяющая гипотезу о бесконечности множества чисел-«близнецов» (когда с=1) на любые значения «с». Учитель представил интересное «аналитическое» доказательство такой бесконечности: https://sites.google.com/site/wieuencycljournal/.  Но бюрократизация математики, точнее, неумение и лень академических авторитетов обращать внимание на открытия приводит к конфузу, когда «домохозяйки разоблачают ошибочность теорем «профессионалов»  о несуществовании», - такими примерами являются задача о мощении плоскости выпуклыми пятиугольниками и великая теорема Ферма, которая, несмотря на доказательство Уайлса в 1994 г., продолжает оставаться требующей более простых доказательств ).
Во-вторых, в первой десятке натурального ряда чисел (в привычном нам десятичном исчислении) мы находим четвёрку чисел: 2, 3, 5, 7. Среди них 2 – единственное чётное число. В-третьих, во второй десятке находим вторую четвёрку: 11, 13, 17, 19. Мы видим, что к тому же есть «десятковые» интервалы, содержащие одно (например, 97), 2 или 3 числа. Сразу будем фиксировать возникающие вопросы и предположения (гипотезы).
Вопрос 1: а есть ли ещё «десятковые» интервалы вида [10в+1, 10в+9 ], содержащие четвёрку первочисел?
Вопрос 2: а есть ли десятковые интервалы (вида [10в+1, 10в+9 ] ), не содержащие ни одного первочисла?
Вопрос 3: а как обстоят аналогичные «дела» с «сотенными» интервалами (вида [100в+1, 100в+99 ]?
Вопрос 4: а с интервалами вида [10 в степени «в» +1, 10 в степени «в»+99…99 («в» цифр «9») ]?
Вопрос 5: Как вообще «ведёт себя» функция с(к)?
Попробуем последовательно ответить на эти «простые» вопросы.
На вопрос 1 ответ положительный – есть: 101, 103, 107, 109. А ЕСТЬ ЛИ ЕЩЁ ТАКАЯ ЧЕТВЁРКА? (Вопрос читателю!)
На вопрос 2 ответ положительный – есть: например, в интервалах между 199 и 211, между 317 и 331, 509 и 521, 887 и 907 и в некоторых др. «десятковых» интервалах нет ни одного первочисла! Вопрос читателю: как найти такие интервалы (есть ли универсальный алгоритм)?
На вопросы 3 и 4 я с помощью таблицы до 10000 ответить не могу. Видимо, нужны бОльшие таблицы или подключения программ на компьютерах. Забегая вперёд, могу сразу сказать, что конфуз может случиться даже с квантовым компьютером: например, я могу задать вопрос найти интервал длиной в триллион (или даже ещё больше), в котором не было бы ни одного первочисла. Хотелось бы посмотреть, за какое время самый мощный компьютер справится с такой задачей! А вообще, утверждение о наличии бесконечного множества  значений «с» равносильно утверждению о возможности бесконечного количества интервалов (отсутствия в них простого числа) какой угодно большой длины…
Теперь попробуем ответить на вопрос 5. «Ведёт себя» эта функция так, что недостаточно всей мощи  математики, чтобы узнать все  «сюрпризы» её «скачек». Во-первых, встречается значение с(к) = 1 (так называемые числа-«близнецы», например, 5-3=2х1; 7-5=2х1, 31-29=2х1, 5503-5501=2х1 и т.п. и т. д.), как мы уже отмечали, бесконечное число раз, хотя, естественно, всё реже и реже (как отношение числа «близнецов» к длине интервала или к числу чисел в интервале) по мере роста номера «к». Т.е. речь идёт о бесконечном числе «близнецов» (т.е.минимумов с(к), равных 1). Во-вторых, частные решения уравнения (1) (формулу (1) можно рассматривать как уравнение) оказываются тоже интересными. Например,
если  2с(к) = р(к-1) – 1, то   из (1) следует, что         

(2)                р(к) = 2р(к-1) – 1  .   

Решениями уравнения (2) являются: к=2, р(к) = 3(2); к=3, р(к)=5(3). Интересно, что других решений у уравнения (2)  нет.   К тому же  (2р(к-1) – 1) оказывается максимумом (верхней границей) для р(к). Например,  уравнение

(3)                р(к) = 2р(к-1) + 1 

в рамках нашей задачи ни одного решения не имеет (доказательство удивительно простое).
Тогда возникают ещё  вопросы, причём довольно не тривиальные: а какие могут быть максимумы функции с(к) при больших значениях к; каково соотношение между с(к) и р(к) при максимумах с(к) с большими к?
Известная теорема о распределении простых чисел («первочисел» в нашей терминологии) утверждает, что в интервале [1, к] количество этих чисел при больших к растёт как  к/lnк, где ln – знак натурального логарифма. Самый простой подход даёт «грубую» оценку

(4)                max с(к) ; lnк/2 ; р(к)/2к    .

 В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) дзета-функцию в комплексной области и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и де ла Валле Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.
В 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга…
       Разумеется, это лишь иллюстрация того, как можно включиться сразу в самые фундаментальные проблемы математики, изучая параллельно соответствующий аппарат современной математики».
Свой подход принц «отработал» на своих сверстниках. И случилось «чудо»: они стали интересоваться не только занимательными простыми задачами, но и серьёзными проблемами…