Три площади треугольника

Алгебраические выражения вывел буквально на коленке, пока летел в самолете. Поэтому не исключены ошибки. Но вроде все нормально. Проверил, правда, только на одном примере, когда задал все три площади равными.
Если косяков нет, то это очень полезные соотношения! Полученные на редкость простые формулы просто призваны значительно упростить решение соответствующих замысловатых геометрической задач.

История же всего написанного следующая. Один из участников математического форума попросил коллег найти координаты точки N внутри произвольного треугольника ABC для случая, когда площади всех трех треугольников, показанных на рисунке, окажутся равными. Исходные данные: x_B=6 ; y_B=9 ; x_C=15. Сходу найти ответ для форумчанина мне тогда не удалось. Зато сейчас, посмотрев на рисунок (формулы в рамке с закругленными углами), молниеносно вычисляется ответ: N(7;3). Подставив эти две координаты в общие формулы убедимся, что S1=S2=S3=22.5.

Говоря словами Пушкина: чего же боле?

21 января 2021 г.