Интересное распределение случайных величин

Месяца полтора назад позвонил бывший однофакультетник, с которым я сидел всегда рядом на лекциях. Он нашел меня в инете и подумал, что я стал приближаться к уровню Гаусса. Поэтому обратился не как к любителю поэзии (мы с ним в институте писали на пару стихи и даже выпустили три экземрляра самиздательской книжонки), а как к математику, точнее, - к специалисту по теории вероятностей. Сам он ударился в нанотехнологию и разрабатывает электронные гидроакустические системы. Ищет, значит, нефть на шельфе. Тонкости и не подумал говорить, ссылаясь на некую секретность, а настойчиво попросил подобрать формулу, хорошо описывающую функцию плотности вероятности. Ну, колокол такой, - как в нормальном или гауссовом распределении. Только он четко выяснил, что сверхточные наноизмерения дали статистику, явно не совсем нормальную. Вот, не ложатся линии, и - все тут! Я попросил его скинуть на мыло экспериментальные точки. Через час получаю все, что мне нужно. Вот это [Рис. а)]:

В аппроксимации я, как говорится, собаку съел. Но тут крепко споткнулся. Никакая формула безупречно не совпадала с давдцатью девятью точками экспериментов! То макушка оказывалась другой, то хвост не так сближался с осью абсцисс. Стал усложнять формулы, то есть добавлять дополнительные параметры, и это не помогало. Неделю провозился, забросил даже русфорус ру. В конце концов начал наобум писать разные математические структуры и оптимизировать параметры методом Монте-Карло. И неожиданно одна из них дала сумму квадратов отклонений на три порядка меньше, чем оптимальное нормальное распределение! Оказалось - всего лишь однопараметрическое выражение в точности соответствовало всем линиям изгиба. Конкретно, такая аппроксимация плотности вероятности [Рис. b)]:

Тут же звоню Диме (то есть моему работодателю) и диктую формулу. Он попросил взять интеграл правой ветви колокола. Но не просто численно, а алгебраически. То есть вместо числа в кубе желательно иметь "a" в кубе. Теперь другая головная боль - интеграл. В принципе Вольфрам его брал, но уж очень корявый ответ. Некрасивый какой-то. Плюнул на Вольфрам и, внимательно следуя рекомендациям хороших учебников, стал методично разворачивать решение. В итоге получил красоту неописуемую! Можете посмотреть сами [Рис. c)]:

Верхний знак дает правую ветвь колокола, и нижний знак - левую ветвь.
Такое не стыдно предлагать как очередной табличный интеграл! Сколько студентов будет избавлено от мучений и нервных переживаний! Я тут же вписал его в Википедию. Однако прошла пара дней, и этот замечательный интеграл изъяли. Мол, нужен известный литературный источник. Надежный такой, общепризнанный. Ну как с такими недалекими разговаривать? Хочется, как лучше, а они делают полное обнуление.

Но это я так, отвлекся немного. Дальше было вот что. Нужно же взять определенный интеграл. Потеть пришлось всю ночь, но совершенно не зря! На Рис. d) виден невероятно компактный результат! И после подстановки с большой точностью вычислилась ожидаемая (в теории функции плотности вероятности) единица! Конечно приближенная единица, но очень-очень близкая. Конкретно 1.0000004. И тут я (опять же по просьбе Димы) уточнил сам параметр "а", при котором площадь под кривой окажется абсолютно точной единицей:

a=2*sqrt(pi/(3*sqrt(3)))

Наглядно формула эта - на Рис. f).

 Абсолютизация параметра "а" настолько покорила коллегу, что тот обещал мне выслать ящик коньяка. Ко дню космонавтики и дню моего рождения.
Догадайтесь с трех раз - получу ли я столь бесценный приз?

24 января 2021 г.