Интеграл от отношения синусов

Студентка мучилась весь день, чуть не плачет. Говорит мне, что никогда таких мерзкопакостных задач сроду не решала. А ей от силы лет 17. Ну, что можно создать за семнадцать детских лет? В школах берут только самые примитивные интегральчики (а когда я учился, то вообще не знал, что это такое). В институте же сразу шарахают вышкой по голове. Отсюда и многочисленные слезы. Стали разбираться с Поляковой вместе. Я предположил, что лучше разделить задачу на две подзадачи и каждую решать отдельно. Отдельно рассматривать нечетные и четные n . Система Maple показала на редкость дикие коэффициенты. И чем больше брали значение целого параметра, тем дикость возрастала. Надежда - либо на собственные головы, либо на Вольфрам. Вольфрам обнадежил. Для нечетных и четных n выявились свои серии. Очень ясные и легко поддающиеся обобщениям.
 
Татьяна заметно воспрянула духом. Сетовала только, что надо было бы самой догадаться.
Но задача еще не решена. Чему же равен интеграл в общем виде? Мне сразу стало ясно, что интеграл равен сумме одного из двух рядов. Я Татьяне предложил немного поработать над коэффициентами, чтобы вывести две общие формулы. Она сообразила вытащить за скобки двойку и тогда дело закипело как надо. Вопросы оставались только насчет верхних пределов в двух суммах. Вдвоем мы и это четко установили. Окончательно были получены интересные формулы, что на рисунке.

После мы самым тщательным образом рассмотрели конкретный пример, задав от фонаря n=16 и n=17, а также пределы интегрирования от 0.5 до 2 . В результате наши ряды и действия Вольфрама дали одинаковые площади: соответственно -0.06084205 и -0.00679837.
Студентка впервые за целый час улыбнулась.


25 января 2021 г.