Задача Фараона

Одно время мне пришлось решать задачу фараона под названием "Колодец лотоса". Она была сформулирована в 8 в. до н.э. Эта математическая задача - прародитель так называемых "неразрешимых задач", таких как трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба. Суть такова: в круглом колодце с вертикальными стенками налита вода на одну единицу глубины. Две тростинки длиной 2 и 3 единицы нижними концами упираются в дно колодца, касаясь стенки, а верхние концы опираются на стенку.Концы разных тростинок диаметрально противоположны. Тростинки пересекаются как раз на уровне налитой воды. Встает вопрос: каков же диаметр колодца?

Я попытался разобраться с задачей в общем виде, и в результате пришел к алгебраической формуле, показанной на рисунке. Она красива, как алмаз! Совершенно ясно - найти диаметр колодца при помощи циркуля и линейки тут просто невозможно. Я же пользуюсь методом итераций Ньютона. Всего 5-7 циклов - и точность обеспечивается до восьми значащих цифр. Вольфрам Альфа тоже легко щелкает это уравнение.

Однажды один из почитателей моих опусов заинтересовался: а есть ли какие-либо целочисленные значения всех параметров? Немного повозившись с числами, нашел вариант: a=104 ; b=296 ; d=96 и тогда h=35.
Других подобных чудес открыть не удалось. А вам, дорогие читатели, слабо?

Хотя что это я с другими чудесами поспешил? Составил программу на Yabasic:

for d=1 to 200
for a=d+1 to 300
for b=a+1 to 1000
h=sqrt(a^2-d^2)*sqrt(b^2-d^2)/(sqrt(a^2-d^2)+sqrt(b^2-d^2))
if h=int(h) then print a,b,d,h,a+b+d+h:fi
next b
next a
next d

и она выдала все варианты. Мне только вручную пришлось убрать кратные строки, то есть оставить лишь примитивные четверки целых положительных значений:

..a......b......d.....h...a+b+d+h
58....401...40...38.....537
70....119...56...30.....275
87....105...63...35.....290
87....663...63...55.....868
74....182...70...21.....347
100..116...80...35.....331
104..296...96...35.....531
119..175..105...40.....439
175..273..105...90.....643
113..238..112...14.....477
195..533..117..120.....965
175..364..140...80.....759
156..219..144...44.....563
187..429..165...72.....853
182..210..168...45.....605

Ясно, что даже примитивных четверок - бесконечное количество! Я выбрал лишь 15 вариантов исходя из того, чтобы сумма всех четырех параметров не превышала 1000. Самый "лёгкий" вариант такой: a=70; b=119; d=56; h=30.

Проверить правильность очень легко: достаточно в окошке Вольфрама Альфа набить

sqrt(a^2-d^2)*sqrt(b^2-d^2)/(sqrt(a^2-d^2)+sqrt(b^2-d^2)) where a=113 and b=238 and d=112

и получим нужную высоту h=14. Такая строка в таблице есть.

27 января 2021 г.