Найти сторону треугольника

Казалось бы простая геометрическая задача.
Даны две стороны треугольника "a"  и "b", а также радиус описанной окружности R.
Нужно найти третью сторону треугольника "с"  и выяснить, сколько имеются решений.
Задача на самом деле несложная, но пришлось мне всё-таки повозиться. Дело в том, что никак не получалась изящная формула. Вот именно поиск красоты занял у меня больше всего времени и усилий.

Результат удивительный! Посмотрите на окончательное представление - это же сказка венского леса! Вместо радиуса принял диаметр, чтобы оказалось минимум числовых коэффициентов под модулем.

Число решений, естественно, два - если алгебраически, и три - если геометрическими построениями. На рисунке показано только одно из возможных. Остальные легко получить, если немного совсем подумать.

Но в чем же красота формулы? Она сформирована физически верно. Сторона "с" имеет размерность длины. Скажем, миллиметры или футы, или ангстремы... Это в левой части уравнения. Значит и справа должны быть слагаемые в тех же единицах длины. У нас размер "а" умножается на квадратный корень, под которым - безразмерный параметр. К этому плюсуем (или вычитаем) размер "b", умноженный на другой безразмерный коэффициент. Правильность тождества легко проверяется построениями циркулем и линейкой.

Любым радиусом R чертим окружность. Я принял его равным 6.5 см. Следовательно диаметр  D=13 см. Далее по линейке чертим любые две хорды, которые пересекаются в любой точке, лежащей на окружности. При этом, допустим, а=10 см. и b=4 см. Когда я это сделал и измерил расстояние "с", то миллиметровая линейка показала 12.1 см.
Если рассчитать по формуле, то получим 12.07 см. Ясно, что аналитика сделана без ошибок.

5 февраля 2021 г.