Равнобочная трапеция

Равнобочная трапеция - наиболее часто встречающаяся фигура в строительстве и в мебельном производстве. Возьмите табурет. Для большей устойчивости у него ножки слегка разведены книзу, а сидение плоское и строго горизонтальное. Иначе родственник или директор завода будут с табурета съезжать.

Но меня заинтересовала равнобочная трапеция довольно редкого типа. В ее составе присутствуют одинаковые пифагоровы треугольникы, стороны которых выражены целыми числами. Например, египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5. Или же пифагоровы треугольники чуть посложней - со сторонами 65, 72, 97.

Вспомним обозначения нашего частного случая трапеций:
"а" - верхнее основание;
"b"  - нижнее основание;
"с" - боковые стороны (они одинаковы с обеих сторон);
"d1 " - диагонали (тоже одинаковы).

Как я сказал выше, числа b, c, d1 - и есть пифагоровы числа. На рисунке видно, что в составе трапеции имеются два одинаковых прямоугольных треугольника. Числа 15, 20 и 25 - как раз египетские. Но не примитивные, а помноженные на пять.
Путем раздумий и несложных алгебраических действий была получена общая формула для расчета верхнего основания "а". Сложность заключается в умении найти такие пифагоровы числа, чтобы фантастически красивая формула выдала целое число!

Ну, теоретически это сделать, наверное, невозможно, но перебором вариантов - элементарно. Допустим, взять и написать программу:

n=300
for c=3 to n
for d1=c+1 to 2*n
for b=d1+1 to 3*n
if d1>c then
if c^2+d1^2=b^2 then
a=(d1^2-c^2)/b
if a=int(a) then
print a,b,c,d1
fi:fi:fi
next b
next d1
next c

По этой программе находятся не только примитивные четверки. Поэтому производные четверки я вручную удалил и на рисунке дал небольшую окончательную таблицу. Решений, честно говоря, довольно мало, хотя их бесконечное количество. Такой, вот, парадокс теории чисел. Редко, но бесконечно!

15 февраля 2021 г.