Египетские дроби

Что такое египетские дроби?
В Википедии, а также если погуглить, то можно найти уйму информации. И об истории, и как это иногда помогает, и какие нерешенные проблемы... То есть, как всегда, о чем угодно, но только не о том, как студентам эти дроби находить. Конкретно находить.

Поэтому я на конкретном примере все и покажу. Смотрим рисунок. Первая цепочка рассуждений обозначена яркой цифрой 1). Нужно, например, для дроби 3/2021 найти все египетские дроби. Первая стрелка даёт понимание, как в общем случае дробь n/m следует преобразовать в сумму двух египетских дробей, у каждой из которых в числителе всегда единица. Задача - найти все пары целых чисел икс и игрек. По стрелке идем и в явном виде записываем игрек. Это уже обычная диофантова формула в общем виде. Подставляем наши заданные числа 3 и 2021 и в итоге сформировано уже рабочее диофантово уравнение. Его мы и будем исследовать.

Самое простое и современное дело - находить решения методом перебора вариантов на компьютере по малюсенькой программе. Вот ее текст на языке Yabasic:

n=3:m=2021
for x=1 to m
y=x*m/(n*x-m)
if y=int(y) then
print x,y
fi
next x

Запустив сию молекулу, получим все допустимые пары целых чисел, которые сведены в ТАБЛИЦЕ. Видно, что имеются четыре решения. Но важно отметить: икс и игрек можно поменять местами. Поэтому, если говорить строго, то всего решений в два раза больше, то есть аж восемь. В цепочке 2) предельно чётко показаны тождественные египетские дроби.

Ну, ведь просто же!

20 февраля 2021 г.