45-проблема

45-я проблема А. Афлитуна в теории чисел

Исчезнут народы, языки, звёзды и миры, сотрётся память,
но математика воспрянет во вселенском разуме вновь.
Вариациями воображения Единого времён спираль предстанет.
И числа создадут новые миры, учёных, гениев, богов.
 
Мы рассматриваем бинарную (строгую) гипотезу Гольдбаха, как обычно, в нашей «сильной» трансформации: каждое натуральное (положительное целое) число, большее 3, может быть представлено как полусумма двух разных нечётных простых чисел. Наша 45-я проблема заключается в вопросе:  сколько таких представлений  может иметь каждое натуральное число, большее 3?
Мы построили таблицу распределения сумм двух разных нечетных простых чисел и график зависимости плотности представления «r» (отношения числа «k» представлений к представляемому числу «n») от представляемых чисел n (Fig.1) ). Так мы получили соответствующую гипотезу (проблему).
Начиная с Гаусса, мы замечаем, что принято изучать более «коллективные» («в среднем») свойства простых чисел, тогда как «поведение» простых чисел  удивляет неожиданными «флуктуациями»   свойства. Так, например, в нашем случае (это подчёркивалось и в некоторых наших прежних формулировках проблем) число «19» обладает уникальным свойством быть единственным числом, большим 7, представимым единственным образом в виде полусуммы простых чисел («7» и «31»). Неожиданно также обнаруживается интересная «регулярность»: арифметическая прогрессия  чисел 15, 30, 45, 60,…, имеющих локальные максимумы плотности (для первых 4 членов равную 0.2; см. приложение к этой заметке: т.е. числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, … представимы как суммы двух разных нечётных простых чисел соответственно 3, 6, 9, 12, 13, 13, 19,… способами); арифметическая прогрессия чисел 19, 34, 49, 64, 79, 94, 109, …, имеющих локальные минимумы плотности. Возникает вопрос: является ли минимум r (64)=0.046875 абсолютным (наименьшим) минимумом? (См.3-ю часть 45-ой проблемы).
Обычно вероятностными оценками легко показывают (следуя Харди и Литлвуду), что в «коллективном» смысле плотность подобных «бинарно-гольдбаховских» представлений чисел убывает «в среднем», обратно пропорционально квадрату логарифма этих чисел.  Наша гипотеза, основанная на «микроскопическом» (индивидуализированном) анализе, как раз опровергает это распространённое классическое утверждение.  На наш взгляд, плотность рассматриваемых представлений стремится не к нулю, а остаётся около 0.05, т.е. в бесконечности её «предел» является необычным - «множественно вибрирующим». На самом деле просто поразительны «индивидуальные выбросы» в поведении простых чисел, и «микроскопические» закономерности могут существенно отличаться от макроскопических (коллективных, усреднённых) (см. также: https://sites.google.com/site/wieuencycljournal/ ).
 
ПРИЛОЖЕНИЕ [пример «поведения» чисел бинарно-простых представлений  первых семи членов арифметической прогрессии 2n(к)]:
к=3:  2n = 30=7+23    =11+19  =13+17;
к=6:          60=7+53    =13+47  =17+43  =19+41  =23+37  =29+31;
к=9:          90=7+83    =11+79  =17+73  =19+71  =23+67  =29+61  =31+59  =37+53  =43+47;
к=12:      120=7+113  =11+109=13+107=17+103=19+101=23+97  =31+89  =37+83= 
               =41+79  =47+73 =53+67 =59+61;
к=13:      150=11+139 =13+137=19+131=23+127=37+113=41+109 =43+107 =47+103=
               =53+97  =59+91 =61+89 =67+83  =71+79 ;
к=13:      180=13+167 =17+163 =23+157=29+151=31+149=41+139 =43+137 =53+127 =67+113 =71+109 =73+107 =79+101 =83+97 ;
к=19:      210=11+199=13+197=17+193=19+191=29+181=31+179=37+173 =43+167=47+163=53+157=59+151=
                =61+149=71+139=73+137=79+131=83+127=97+113=101+109=103+107.