Медианы треугольника. Теорема

Увидел олимпиадную задачу по геометрии для школьников 11 класса:
"Доказать, что не существует треугольник, длины медиан которого равны 12, 5 и 7".
Столь простое для понимания условие, однако, требует невероятных затрат всего-всего. Концентрации, изобретательности, энергии, оперативности и времени.
Вот если бы была теорема, доказанная в самом общем виде, тогда и делать было бы нечего. Все равно что прямоугольным треугольником блеснуть. Благодаря Пифагору нашему Самосскому.
Доказательству заявленной теоремы я сегодня и посвятил снежный денёк. Все можно увидеть на рисунке. Расчеты показали, что длины медиан обладают точно же такими свойствами, как и стороны треугольника. Последнее каждый из нас, конечно помнит:
a<b+c ; b<a+c ; c<a+b. Потому что прямолинейный путь от пункта А до пункта В короче любого ломанного.
Так вот, расчеты я произвел по такой программе:

a=4:b=8
for c=11.9 to 13 step 0.1
ma=1/2*sqrt(-a^2+2*b^2+2*c^2)
mb=1/2*sqrt(-b^2+2*a^2+2*c^2)
mc=1/2*sqrt(-c^2+2*a^2+2*b^2)
dm1=ma+mb-mc
dm2=ma+mc-mb
dm3=mb+mc-ma
print a,b,c,ma,mb,mc,dm1,dm2,dm3
next c

То же самое доказал и алгебраически. На рисунке - это справа от таблицы.
Теперь по этой доказанной теореме олимпиадная задача решается за секунды:
ТРЕУГОЛЬНИК НЕВОЗМОЖЕН, ПОСКОЛЬКУ 12=5+7. А был бы возможен, если бы наибольшая сторона была бы равна, например, 11,9. Так как 11,9<5+7.

Если же в программе принять a=8: b=4 , то критическая строка таблицы будет такой:

8 4 12.0  8.0000 10.0000  2.0000 16.0000  0.0000  4.0000

То есть нулевой окажется уже del_2. Моя гипотеза верна!

Почему такой важной теоремы нигде нет? Это просто удивительно!
Она должна быть!
И теперь она есть!

Т е о р е м а :

ТРЕУГОЛЬНИК СУЩЕСТВУЕТ, ЕСЛИ ЕГО МЕДИАНЫ:
ma<mb+mc ;
mb<ma+mc ;
mc<ma+mb .

Еще очень важный момент, который должен знать каждый восьмиклассник: формулу для площади треугольника через его медианы:

S=4/3*sqrt(t*(t-ma)*(t-mb)*(t-mc))

где  t - полусумма медиан.

Несколько целочисленных решений:

ma  mb mc S
------------
_3 _4 _5 _8
_4 13 15 32
_5 _5 _6 16
_5 _5 _8 16
_5 12 13 40
_6 _8 10 32
_7 15 20 56
_8 15 17 80
_9 10 17 48
_9 12 15 72
10 10 12 64
10 10 16 64
10 13 13 80
11 13 20 88



13 марта 2021 г.