Олимпиадная система

Сложную систему показал мне Никита - один из участников математической олимпиады. Сложность в том, что всё сводится к решению полинома седьмой степени! Но найти надо было только действительные пары чисел "х" и "y". И на том спасибо!
Я здесь даю свое решение.
Строка системы (1) позволяет в явном виде выразить неизвестные "y". Это на рисунке показано справа после стрелки. Подстановка в строку (2) дает уже однопараметрическое выражение, из которого и нужно попытаться найти не мнимые иксы. Нужно заметить, что игрек может быть как с плюсом, так и с минусом. Несложным анализом я установил, что при плюсе действительные решения вообще отсутствуют. Надежда только на знак минус.

Одно из решений обнаружил интуитивно: х=2. Тогда y=-2. Но есть ли другие пары неизвестных, которые не комплексные и удовлетворяют исходной системе? Решать полином седьмой степени в общем виде было бессмысленно. На это бы даже Галуа не решился. Поэтому применил метод итерации Ньютона. На рисунке показано, как создавалась итерационная формула. Зная ее, уже не представило труда особого написать простую программу:
 
x=3
for i=1 to 6
x1=x-(2*x^2-4*x+8-(10*x/(1+x^2))^(3/2))/
(-4+4*x+(15*sqrt(10)*sqrt(x)*(-1+x^2))/(1+x^2)^(5/2))
print i,x,x1
x=x1
next i
y=-sqrt(10*x/(1+x^2))
print x ,y
 
Достаточно оказалось пяти циклов, чтобы с большой точностью получить мою интуитивную двойку. Распечатка циклов:

1  3.0000000000  2.1264690508
2  2.1264690508  2.0024228174
3  2.0024228174  2.0000009637
4  2.0000009637  2.0000000000
5  2.0000000000  2.0000000000

Далее по программе вычисляется и игрек:

x1=2.0000000000 y1=-2.0000000000

Все верно! Лишний раз подтверждено первое решение. Но есть ли другие?
Решил построить график. Кривая 1 - это первая строка системы. Ну и ниже - кривая 2. Оказалось, что они пересекаются всего в двух точках: А и В. Точку В я только что получил аналитически. Точка А имеет примерные координаты х=0.4 и y=-1.8. В первой строке программы задаю наугад x=0.7 и получаю циклы:

1  0.7000000000  0.2382453847
2  0.2382453847  0.4093102690
3  0.4093102690  0.4161638460
4  0.4161638460  0.4162006505
5  0.4162006505  0.4162006515
6  0.4162006515  0.4162006515

С большой точностью второе решение:

 x2=0.4162006515 y2=-1.8834803644

Такие мои олимпиадные дела.
Неважно как решить задачу - важно вообще ее решить!
Таков девиз был преподавателя по математике из бывшего МИСИ им. Куйбышева. Фамилия его Гаухман В.А. Я полностью солидарен с девизом и в данной миниатюре им воспользовался.

19 марта 2021 г.