О книге С. Сингха - Великая теорема Ферма

Опубликовано в «Химия и жизнь – XXI век», 2001, № 7-8

Книги
Ферма, Уайлс и единство математики
Саймон Сингх. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет.                МЦНМО, 2000. Перевод с английского Ю.А.Данилова.

«Князь» математиков К.Гаусс  сказал, что «математика — царица наук, а теория чисел — царица математики». И даже те, кто совсем не знаком с этой теорией, наверняка слышали про Великую, или Последнюю (у него были и другие), теорему Ферма, доказательство которой стало одним из самых ярких научных событий последних лет.

А началась эта история с того, что французский юрист и математик-любитель Пьер де Ферма оставил на полях изданной в 1621 г. на латинском языке «Арифметики» александрийского ученого III века Диофанта, среди прочих, такое замечание: уравнение x^N + y^N = z^N не имеет решения в целых числах при целом N больше двух. Ферма написал, что он нашел этому замечательное доказательство, однако места на полях слишком мало, чтобы он мог тут его изложить.

Понятно, что для N = 2 целые решения есть, и не одно: например           З^2 + 4^2 = 5^2; 12^2 + 5^2 = 13^2; 25^2 = 24^2 + 7^2 (прямоугольные треугольники с такими целочисленными сторонами в Древней Греции называли «божественными»). Другими словами, площадь квадрата со стороной, длина которой выражается целым числом, может быть равна сумме площадей двух других квадратов с целочисленными сторонами. А вот для объемов трех кубов (и для более высоких степеней) подобное соотношение, согласно Ферма, уже невозможно.

Никаких следов доказательства этого утверждения, даже намека на него в бумагах Ферма не обнаружили. Возможно, он ошибался в своих рассуждениях, хотя, по мнению великого Л.Эйлера, «никто никогда столь успешно не проникал в тайны чисел, как Ферма». А может быть, просто пошутил, желая раззадорить других математиков, что вообще было характерно для этого отшельника из Тулузы.
               
(17 августа 2001 года исполняется 400 лет со дня рождения Ферма. Он много сделал и помимо теории чисел — вместе с Р.Декартом заложил основы аналитической геометрии, вместе с Б.Паскалем — основы теории вероятностей, а в физике открыл важный вариационный принцип, согласно которому свет выбирает всегда такой путь между двумя точками, на который затрачивает наименьшее время. Свои научные результаты Ферма не публиковал — они сохранились в его переписке с другими учеными.)
 
Решения у Ферма не нашли, но его фраза на полях «Арифметики» послужила мощным стимулом для других. В течение нескольких веков этот орешек пытались расколоть как профессионалы (среди них были и крупнейшие математики), так и дилетанты, которых прозвали «ферматистами». В 1908 году за нахождение доказательства установили крупную премию, и это еще подлило масла в огонь (бывало, ферматисты присылали свои рукописи и в редакцию «Химии и жизни»).
 
Большинство участников этого марафона полагали, что особо сложные конструкции им не потребуются, во всяком случае, используемые средства не должны превосходить те, что были известны в XVII веке. Но, даже привлекая современные методы, удавалось достичь лишь частичных успехов — утверждение доказывали только для ограниченного, хотя и все более широкого класса значений N; так, убедились, что теорема верна для всех N меньших 150 000, затем расширили этот диапазон до нескольких миллионов.

Однако для любого целого N вопрос оставался открытым. С другой стороны, не нашли и контрпримера, который показал бы ошибочность утверждения Ферма.
Наконец, 23 июня 1993 года мир облетело сообщение, что работающий в Принстонском университете сорокалетний англичанин Эндрю Уайлс построил полное доказательство. На конференции по теории чисел в его родном Кембридже Уайлс в нескольких лекциях изложил основные его этапы, после чего группа экспертов приступила к детальному изучению его почти двухсотстраничного трактата. И выявила в нем существенный пробел.

Все же после отчаянных усилий Уайлсу с помощью своего бывшего аспиранта и коллеги Р.Тейлора удалось его заполнить, и летом 1995 года работа была опубликована. Лучшие в мире авторитеты подтвердили, что на сей раз цель действительно достигнута.

Однако научное сообщество, в массе своей далекое от теории чисел, было отчасти разочаровано — возникло впечатление, что автор написал что-то необыкновенно длинное и запутанное, в чем могут разобраться лишь считанные специалисты. Вообще, в последнее время много говорят о том, что математика непомерно разрослась и усложнилась, погрузилась в бесплодный формализм, стала превращаться в некую «Вавилонскую башню из слоновой кости». И творение Уайлса как будто лишний раз это подтвердило.

Но вот вышла книга английского научного журналиста С.Сингха (ставшая на Западе бестселлером), который обрисовал все перипетии затяжной осады этой крепости и практически без формул, «на пальцах», разъяснил главные идеи, приведшие к окончательному успеху. И даже непрофессионалам стало ясно, что на самом деле все значительно интересней: в ходе решения проблемы установлены глубокие взаимосвязи между отдельными областями современной математики, можно сказать, что в ней произошел «великий синтез».

Ключевую роль сыграли, как ни странно, исследования так называемых эллиптических кривых, которые задают уравнениями третьей степени: у^2 = х^3 + рх + q. Оказалось, что в этих кривых проявляется удивительное сочетание не только их аналитических и геометрических (если их изображать графиками), но и арифметических свойств — когда рассматривают такие уравнения с целыми коэффициентами и ищут их целочисленные решения. Именно поэтому удалось протянуть от них нить к теории чисел и проблеме Ферма.

В 50-е годы в послевоенной, разрушенной Японии два молодых математика Г.Шимура и Ю.Танияма выдвинули одну очень важную гипотезу: все эллиптические кривые обладают определенной характеристикой, называемой модулярностью. Это понятие обобщает свойство периодичности — когда значение функции сохраняется не при простом добавлении к ее аргументу некоторых чисел (периодов), а при более сложном преобразовании аргумента.

В 60-е годы их идею развил один из крупнейших французских математиков А.Вейль, а решающие шаги, соединившие гипотезу Шимуры—Таниямы с теоремой Ферма, были сделаны в 80-е годы. Сначала немец Г.Фрей показал, что если теорема Ферма ошибочна, то есть существуют целые числа а, b, с, N, для которых a^N + b^N = c^N, то это равенство сведется к определенной эллиптической кривой. Фрей заподозрил, что такая кривая будет немодулярной, то есть войдет в противоречие с гипотезой японцев. Затем американец К.Рибет превратил эту догадку Фрея в строго обоснованное положение.

Так впервые возникла логическая цепочка, связавшая две дотоле совершенно разные вещи — эллиптические кривые и теорему Ферма. Что же получилось? Если теорема Ферма неверна, то, согласно Фрею и Рибету, получается немодулярная эллиптиче кая кривая. Значит, гипотеза Шимуры—Таниямы тоже неверна (ведь они настаивали, что все такие кривые модулярны).

Конечно же можно рассуждать и в обратную сторону: если гипотеза Шимуры—Таниямы верна, то исходное допущение Фрея о том, что неверна теорема Ферма, приводит к противоречию. Значит, теорема Ферма верна! Иначе говоря, для полного решения многовековой проблемы достаточно доказать утверждение Шимуры—Таниямы.
Такой, считавшейся неприступной, задачей и занялся вплотную Уайлс. Правда, в общем виде он с ней не справился — только недавно, уже после выхода в свет книги Сингха, эту вершину покорили четыре других математика. Но ему достаточно было ограничиться частным случаем, а именно показать, что кривая Фрея— Рибета модулярна, и он это сделал. А в качестве «бесплатного приложения» получил решение знаменитой проблемы.

Самое замечательное, что гипотеза Шимуры—Таниямы имеет огромное значение и безотносительно к теореме Ферма, поскольку она наводит мосты между двумя материками математической мысли — эллиптическим кривыми и модулярными формами. Именно здесь, как в фокусе, сошлись многие ветви древней науки — теория функций комплексного переменного, теория групп, неевклидовы геометрии, правильные многогранники (в них искали разгадку мироздания Платон и Кеплер)...

Нужно отметить, что с 1986 по 1993 гг., то есть шесть решающих лет, Уайлс вел свои поиски в полном одиночестве и даже втайне от других — боялся, как бы полученные им промежуточные результаты не позволили кому-то обогнать его на финишной прямой. Его публикации в этот период были таковы, чтобы по ним нельзя было понять общий замысел и цель его работы (о подобных хитростях в мире науки писал и Джим Уотсон в своей «Двойной спирали»).

С теоремой Ферма Уайлс познакомился в десятилетнем возрасте, и она запала в душу мальчика. По выражению одного из видных исследователей кубических кривых английского ученого Л.Морделла, «никто не станет настоящим математиком, если в нем не живут Вера, Надежда и Любопытство, и прежде всего — Любопытство». В Уайлсе они присутствовали — тридцать лет он шел к своей цели, и его победа — это верность детской мечте.

Итак, поставленная Ферма проблема официально закрыта. Но ведь никто не утверждает, что ее нельзя решить по-иному, отыскав какие-то оригинальные, неожиданные ходы, которые, быть может, потребуют всего несколько страниц выкладок. И пока такого простого доказательства нет (как нет и разгадки слов Ферма на полях «Арифметики»), увлекательные  интеллектуальные приключения вокруг этой проблемы, наверное, не закончатся. Теорема Ферма доказана — да здравствует теорема Ферма!