Простые числа-близнецы

Считается, что бесконечность простых чисел-близнецов (т.е. отличающихся на 2) до сих пор не доказана. Разумеется, иногда под самим понятием математического доказательства можно подразумевать нечто, превосходящее по строгости здравый смысл. Мы придерживаемся более конструктивной позиции и убеждены, что некоторые нерешённые проблемы имеют довольны простые решения.
Из приведённых на рис. Последовательностей нечётных чисел ясно, что из 4 типов разности 2 последовательных нечётных чисел (с  k = j, l, m, n) три из них (с  k = j, l, m) содержат простые числа. Только один из этих трёх типов содержит разность двух простых чисел-близнецов (когда k = m). Поскольку количество простых чисел бесконечно, мы будем сталкиваться с простыми числами-близнецами с определённой частотой (среди последовательности нечётных чисел) по мере увеличения номеров (или самих) этих чисел. Так как количество простых чисел уменьшается по мере увеличения их номеров в возрастающей последовательности нечётных чисел, эта частота также будет уменьшаться, но не обращаясь в нуль, так что вероятность встретить пару простых чисел-близнецов никогда не исчезнет, что и доказывает бесконечность последовательности простых чисел-близнецов. Оцениваем эту вероятность, используя известную формулу Лежандра-Гаусса (см. рис.).
Аналогичные рассуждения верны и для любых (чётных) разностей двух простых чисел. Только частота для каждой разности своя. Таким путём мы получаем доказательство гипотезы Полиньяка о бесконечной встречаемости разности двух простых чисел (2,4,6,...).