48-ая и 49ая проблемы

Эти диофантовы уравнения интересны тем, что при очень простой форме требуют непростых подходов. Причём и метод перебора становится трудоёмким для больших чисел.

Примечание к 49-ой проблеме в теории чисел.
В 49-ой проблеме ставится задача нахождения пар составных чисел-близнецов (отличающихся на 2), не содержащих степеней.
В связи с неожиданным интересом читателей к 49-ой проблеме имеет смысл сделать замечание о глубинных закономерностях между представлениями простых и натуральных чисел, диофантовыми уравнениями и алгеброй многочленов с несколькими переменными.
Так, например, выражение в уравнении (1) 49-ой проблемы имеет вид детерминанта системы линейных уравнений с двумя неизвестными x, y: px+ry=n(p,r), sx+qy=m(q,s).
Для  x=y=1/2   получаем:  n(p,r)=(p+r)/2, m(q,s)=(q+s)/2, s=(pq-2)/r. А  n(p,r) и m(q,s) и есть представления натуральных чисел в виде полусумм двух разных нечётных простых чисел, т.е. бинарная проблема Гольдбаха в нашей строгой формулировке. При помощи уравнения (1) пара составных близнецов порождает пару гольдбаховских представлений. С помощью диофантовых уравнений можно построить удивительные представления натуральных чисел и выделить структурные последовательности (цепи) в множестве натуральных или простых чисел. При этом алгебра многочленов с многими переменными, к которой сводятся решения дифференциальных и интегральных уравнений, моделирующих многие процессы, позволит достичь невиданного прогресса в расчётах и прогнозах по сложным системам.
Кстати, следует также заметить, что, подобно триаде простых чисел-близнецов «3, 5, 7» (видимо, единственной; вообще, «близнецами» будем теперь называть членов монотонной последовательности отличающихся на 2 произведений двух разных простых нечётных чисел), имеются вовсе не единственные триады бинарно-составных чисел-близнецов, например, «141=3*47, 143=11*13, 145=5*29»; «183=61*3, 185=37*5, 187=17*11»; «391=23*17, 393=131*3, 395=79*5». Имеются  и другие, бОльшие по числу пар простых множителей, «длине», группы (цепи) бинарно-составных чисел-близнецов, например, тетрады: «411=137*3, 413=59*7, 415=83*5, 417=139*3»; «213=3*71, 215=5*43, 217=7*31, 219=3*73»; «299=13*23, 301=7*42, 303=3*101, 305=5*61»; приведём также пентаду: «1133=11*103, 1135=5*227, 1137=3*379, 1139=17*67, 1141=7*163»  (максимальное число пар простых множителей в группе, конечность или бесконечность числа таких групп являются предметом и целью отдельной задачи, которая может стать «проблемой десятитысячелетия» ). Вычисления «вручную» с ростом значений чисел становятся весьма трудоёмкими, но существует вполне реализуемый на компьютере алгоритм поиска: сначала выбираем в последовательности простых чисел пары (соседей) с большими интервалами между ними, затем проверяем на подходящую составность числа внутри этого интервала (проще начинать с деления на 5); как только составность оказывается неподходящей, переходим к следующему интервалу; если же составность оказывается подходящей, продолжаем формировать цепочку, пока она не оборвётся.
Практическое применение множества одинаковых по большой длине цепей составных близнецов могло бы найти в задачах криптографии.