Олимпиадная трапеция. Часть 2

Задача с трапецией, внутри которой окружность, касающаяся всех четырех сторон, одновременно упростилась и усложнилась. Упростилась, потому что достаточно задаваться только тремя параметрами: t, v, S. Последнее - это известная площадь трапеции. А усложнилась, потому что потребовалось решать кубическое уравнение методом Кордано. Это мне объяснил и показал на примере коллега по форуму, заходящий под ником Li6. Прекрасный геометр и вообще математик! Много раз мне помогал в очень сложных ситуациях. Вообще-то было задумано определить всё что нужно и не нужно в трапеции и окружности. Половина всех формул, показанных на рисунке - только заслуга Li6. На чертеже прописные буквы в кружочках - это стороны трапеции. Говорю, чтобы не было всяких сомнений. Точно так же заявляю, что h1 и h2 - высоты треугольников соответственно BMC и AMD.
Программа расчетов проста и очаровательна. Текст такой:

t=3:v=5:S=130
print"t=";:print t
print"v=";:print v
print"S=";:print S
print "---------"
q=S/sqrt(t*v)/(t+v)
z=sqrt(1/27+(q/2)^2)
if q/2<z then
k=((q/2+z)^(1/3)-abs((q/2-z))^(1/3))^2:fi
if q/2>=z then
k=((q/2+z)^(1/3)+(q/2-z)^(1/3))^2:fi
a=(t+v)*k:print"a=";:print a
b=t+v:print"b=";:print b
R=sqrt(k*t*v):print"R=";:print R
w=k/(k-1)*(t+v)
p=2/sqrt(1/w^2+1/R^2):print"p=";:print p
c=R^2/t+t:print"c=";:print c
d=R^2/v+v:print"d=";:print d
d1=sqrt(d^2+a*b-a*(d^2-c^2)/(a-b))
d2=sqrt(c^2+a*b-a*(c^2-d^2)/(a-b))
print"d1=";:print d1
print"d2=";:print d2
h1=2*b/(a+b)*R:print"h1=";:print h1
h2=2*a/(a+b)*R:print"h2=";:print h2
S1=h1*b/2:S2=h2*a/2
S=(sqrt(S1)+sqrt(S2))^2
S3=(S-S1-S2)/2
print S1,S2,S3,S
print S1+S2+2*S3
S1=h1*b/2:S2=h2*a/2
S=(sqrt(S1)+sqrt(S2))^2
S3=(S-S1-S2)/2
print S1,S2,S3,S
print S1+S2+2*S3

Результат расчетов:

t=3
v=5
S=130
---------
a=15.8481
b=8
R=5.45117
p=10.3301
c=12.9051
d=10.943
d1=18.4668
d2=14.101
h1=3.65726
h2=7.24508
S1=7.72907 ; S2=74.3326 ; S3=23.9692 ; S=130
S=S1+S2+S3*2=130

Площади S1,S2,S3 - это треугольники, образованные диагоналями трапеции d1 и d2.
По поводу их у меня здесь есть интересная миниатюра "Это же новая теорема!".
Все железно и однозначно! Прекрасный подарок будущим вундеркиндам!
Думаю и уверен: такое на олимпиаде по математике среди десятиклассников за 45 минут смог бы решить только Григорий Перельман!

6 апреля 2021 г.


Рецензии