Высота, биссектриса и медиана треугольника

Когда известны стороны треугольника, то найти высоту, биссектрису и медиану труда не составляет. А вот если наоборот, - тут редкое замешательство даже у старшеклассника. В литературе такое обратное действие найти можно (например Энциклопедический словарь юного математика, под редакцией Савина, 1989 год, стр. 57), но разве это дело? Это дело нужно раструбить, как теорему Пифагора!

Скажу честно: самостоятельно такую задачу решить не смог и потому обратился к коллегам по форуму. Товарищи MihailM, Rams, Li6-D, michel, 3axap, sergebsl откликнулись и буквально за день выдали нужные формулы. Причем такие, что упростить их даже мне оказалось невозможно.

Мой вклад - лишь в проверке правильности. Составив небольшую программу:

h=6.9:l=7.2:m=7.6
dm=sqrt(m^2-h^2):dl=sqrt(l^2-h^2)
a=2*sqrt((dm/dl-1)*(h^2+dl*dm))
b=sqrt((a/2+dm)^2+h^2)
c=sqrt((a/2-dm)^2+h^2)
print h,l,m,a,b,c

нашёл в результате стороны треугольника a=10.9064; b=11.0564; c=7.26296.
Это оказалось совершенно верным, ибо я медиану, высоту и биссектрису выявил, построив треугольник со сторонами a=10.9; b=11.1 и c=7.3. Круг замкнулся, ошибок не оказалось.
На рисунке приведена таблица, в которой приведены варианты с четырьмя целыми размерами из шести. Интересно, что размер b оказался только дробным.

Да! Забыл отметить очень интересное геометрическое построение. Оно базируется на пересечении двух срединных перпендикуляров хорд и это пересечение оказывается центром описанной окружности. Выявив данное важное свойство, получить аналитические зависимости особого труда не составили.

26 апреля 2021 г.