Высота, биссектриса и медиана заданы. Но...

Если высота треугольника опущена на сторону "а", биссектриса - на сторону "b" и медиана на сторону "с", то чему равны стороны треугольника "а", "b","с" ?
Такой вопрос мучил меня давно, а приступил к его рассмотрению только неделю назад. Аналитические выражения получить не смог и потому обратился в который раз к коллегам из математического форума. Они сказали, что такая задача значится как неразрешимая.  Под этим мне подумалось, что решений очень много. Но буквально вчера нашел силы проверить численным методом Монте Карло. Составил программу на языке Yabasic:

s1=10^20:z=0.1
nn=10000000
ha=9:lb=12:mc=15
c0=1:b0=1:a0=1
for j=1 to nn
c=c0*(1+z*(ran()-.5))
b=b0*(1+z*(ran()-.5))
a=a0*(1+z*(ran()-.5))
w1=abs(sqrt((c+b+a)*(c+b-a)*(c-b+a)*
(-c+b+a))/a-2*ha)
w2=abs(sqrt(c*a*(c+b+a)*(c-b+a))/(c+a)-lb)
w3=abs(sqrt(2*(b^2+a^2)-c^2)-2*mc)
s=w1+w2+w3
if s<=s1 then
print ha,lb,mc,a,b,c,s
s1=s
c0=c:b0=b:a0=a
 fi
if s<0.005 then z=0.000001:fi
if s<0.00001 then z=0.000000001:fi
 next j 

Начальные значения сторон треугольника принял единичными (см. четвертую строку программы), задал 10 миллионов циклов и... о, чудо! Появилось единственное решение, к тому же верное! Значит, коллеги хотели сказать, что невозможно вывести аналитические формулы, а решение всё-же существует, и только одно. Правда, мне этот тезис кажется сомнительным (насчет аналитики). Потом как-нибудь буду с этим разбираться. А сейчас всё же есть надежный инструмент для вычисления сторон треугольника, причем с большой точностью. Система трех уравнений заложена в программе, но привожу ее более наглядно:

sqrt((c+b+a)*(c+b-a)*(c-b+a)*(-c+b+a))/a=2*ha
sqrt(c*a*(c+b+a)*(c-b+a))/(c+a)=lb
sqrt(2*(b^2+a^2)-c^2)=2*mc

Тут заданы ha, lb, mc ; найти надо a, b, c.
Вольфрам Альфа с такой системой справиться не смог.

Опять вспоминается прописная истина: неважно, как решить задачу, - важно вообще ее решить!

PS. Рассматриваемые высота, биссектриса и медиана пересекаются в одной точке только при их взаимном равенстве. При этом треугольник получается равносторонним.

28 апреля 2021 г.