2n-угольник, медианы, площади

Так же, как и выпуклый четырехугольник, любой 2n-угольник обладает удивительным свойством. Если из любой точки внутри 2n-угольника провести отрезки к серединам сторон, то площади образовавшихся четырехугольников (их n штук, естественно) будут подчиняться тождеству:

S(n)=S(1)-S(2)+S(3)-S(4)+...-S(n-1)

Такой своеобразный знакочередующийся ряд.
На рисунке показаны варианты расчета площадей выпуклого восьмиугольника. Оказалось, что для решения задачи, необходимо, чтобы заданными оказались n+1 площадей четырехугольников. Тогда оставшиеся n-1 можно найти, но не всегда однозначно. Однозначно задача решается только в случае, когда из заданных зеленых элементов обнаруживается только одна пара ортогональных частей: S(k) и S(n-k). Если же таких пар несколько, то необходимо удостовериться, что сумма каждой из пар была одной и той же. В противном случае либо составитель задачи допустил опечатку, либо намеренно так сделал, чтобы обязать учащегося это заметить и записать в ответе: решений нет. На рисунке вариант 2 именно такой. Для зеленых элементов суммы S(2)+S(6) и S(4)+S(8) должны совпадать и быть равными S/n (где S - площадь всего 2n-угольника). Тогда решение будет!

24 мая 2021 г.