Простая группа Звонимира Янко

Ты знаешь, мой дорогой Огюст, что это не были единственные вопросы, которые я исследовал. Мои главные размышления уже несколько времени были направлены к приложению к трансцендентному анализу теории неопределенности (l'ambiguite). Речь идет о том, чтобы видеть a priori, какие замены можно произвести, какие количества можно подставить вместо данных количеств в соотношение между трансцендентными количествами или функциями так, чтобы соотношение не перестало иметь место. Но я не имею времени, и мои идеи еще недостаточно хорошо развиты в этой необьятной области...Из письма Эвариста Галуа - Огюсту Шевалье от 29 мая 1832г.
Историческая справка
I. Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811-1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений (см. [8| и (13, 20]). Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался понять как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникали также в работах Лагранжа (1771), Руффини (1799) и Абеля (1825).
В 1830-1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы и сформулировал теоремы о простоте знакопеременной группы А(n) степени n >= 5 и о простоте проективной специальной линейной группы PSL(2,q) при простом q >=4.
Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем, что из них может быть построена любая конечная группа. Долгое время исследования групп велись в терминах групп подстановок. В частности, изучался вопрос о кратно транзитивных группах подстановок. Именно на этом пути Эмиль Матье открыл в 1861 году две простые группы M(12) и M(24). Из них легко получаются простые группы M(11), M(22) и М(23). Эти пять групп Матье являются спорадическими (исключительными) группами, так как они не входят в три бесконечные серии простых конечных групп: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы степени >= 5 и простые группы лиева типа (о них можно прочитать в книге [36)). Удивительно, что шестая спорадическая
группа J1 была открыта Звонимиром Янко только в 1965 году...
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002, 148с.
https://mahalex.net/151-153/Bogopolsky.pdf

2^3x3x5x7x11x19 = 19x20x21x22 = 55x56x57
Две матрицы А и Б размера 7х7 порождают все другие (например АА, ББ, АБА, ББААБАБББ и т.д., и содержит ровно 23.3.5.7.11.19, или 175560 матриц).
Элементы матрицы - группа вычетов по модулю 11 (числа 0 - 10).
А
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0
Б
8 2 10 10 8 10 8
9 1 1 3 1 3 3
10 10 8 10 8 8 2
10 8 10 8 8 2 10
8 10 8 8 2 10 10
1 3 3 9 1 1 3
3 3 9 1 1 3 1
Б.А. Рыбаков. Язычество древних славян. Рожаницы
Простая группа Звонимира Янко
Maximal subgroups


Hall-Janko graph, source en.wikipedia.org, (there are 90 outer vertices and 10 inner vertices)

Zvonimir Janko outstanding Croatian mathematician
http://www.croatianhistory.net/etf/janko/index.html
Внутри всякой простой группы содержатся некие меньшие группы, называемые централизаторами инволюций, которые помогают понять, как устроена исходная группа. В случае групп Ри централизаторы инволюций допускают представление в виде группы квадратных матриц размера 2х2, составленных из элементов конечной числовой системы, размер которой (т.е. число её элементов) равен некоторой нечётной степени числа 3. Например, если 3 возводится в степень 1, то соответствующая конечная числовая система состоит из трёх элементов группы вычетов по модулю 3. Для доказательства одной из ранних частичных классификационных теорем требовалось показать, что группы Ри - это единственные простые группы, обладающие следующим свойством: их централизаторы инволюций допускают представление 2х2-матрицами, составленными из элементов конечной числовой системы размера pm, где p - простое, а m - нечётное число. Первым естественным шагом к достижению этой цели была попытка доказать следующую гипотезу: если некоторая простая группа обладает указанным свойством, то размер конечной числовой системы, из которой берутся элементы 2х2-матриц, равен нечётной степени простого числа 3. Со временем эта гипотеза была проверена для всех случаев, кроме одного: когда p^m = 5^1.
Янко приступил к исследованию этого исключительного случая в полной уверенности, что простой группы нужного типа с числовой системой размера 5^1, т.е. 5, не существует. Однако, несмотря на все усилия, ему не удалось исключить такую возможность и тем самым завершить доказательство гипотезы. Наоборот, потратив немало труда, он сумел показать, что если простая группа такого вида существует, то она состоит в точности из 2^3х3х5х7х11х19 (т.е. 175 560) элементов.
Вряд ли Янко удалось бы установить столь сильный результат, если бы одна подходящая группа не маячила на горизонте. С растущим нетерпением он двинулся дальше и показал, что если такая группа существует, то она порождается двумя 7х7-матрицами, в столбцах и строках которых стоят элементы группы вычетов по модулю 11. Если обозначить две эти матрицы через A и B, то группа состоит из всевозможных матричных произведений вида AA, BB, ABA, BBAABABBB и т.д.
Оставалось только узнать, действительно ли эта группа содержит в точности 175 560 элементов; если бы это было не так, то рассуждения Янко приводили бы к противоречию, которое он искал с самого начала. На первый взгляд кажется удивительным, что всевозможные матричные произведения, составленные из A и B, эквивалентны всего лишь 175 560 матрицам (именно это и означает существование группы требуемого типа). Ведь сюда входят и произведения, содержащие более миллиона A и B. Общее число матриц размера 7х7 с элементами из группы вычетов по модулю 11 равно, грубо говоря, 11^49 или 10^51, и, значит, произведения этих двух порождающих матриц составляют среди них лишь ничтожную долю. Тем не менее вычисления, проведённые к тому же полностью вручную, подтвердили существование шестой спорадической группы, которая в честь Янко (Janko) называется теперь J1.
ДЭНИЕЛ ГОРЕНСТЕЙН. Грандиозная теорема. Классификация простых конечных групп — беспрецедентный результат в истории математики: полное доказательство занимает 15 000 журнальных страниц. Интерес к этому экзотическому решению захватил не только алгебраистов и даже не только математиков. В МИРЕ НАУКИ. Scientific American. Издание на русском языке. № 2 февр. 1986. с.62–74
http://ega-math.narod.ru/Nquant/Groups.htm
Спондробенце се
защатi намо
тоя околы
Рщемо тако
iжде ляты до Дiроу
за тенсенце пентеста
iдоша ПраДы нашы
до гуре Карпанеске
а тамосе осЪднеща
а жiвя кладно
То бо Родi сен
правiщася од Оцi Родцi
А старенце Родоу
бя Щк одо Iрiан
Дощ.5 Вот подробности (Спондробенце се), как зачинались (защатi) мы в округе этой. Скажем так, что лет за тысячу пятьсот до Дира (до Дiроу), дошли Прадеды (ПраДы) наши до гор Карпатских (до гуре Карпанеске), и там поселились (тамосе осЪднеща - осели), и жили ладно (кладно - покойно; ср. чешcк, klad положительная сторона; kladne положительно; kladny положительный, утвердительный - коммент. Н. Слатин). Те то роды ведь управлялись Отцами Родичами (од Оцi Родцi), а старейшина (старенце) Рода был Щеко из Ириан (бя Щк одо Iрiан. В дощ.15 (Новгородской) более точно говорится о пяти князьях: Небожедь iдьшя о прiе теiе до горiа Карпеньстiе i тамо рiаще о щелы ПентыКнiезы - Либо шли (небожедь iдьшя) с войной той (о прiе теiе) до гор Карпатских (до горiа Карпеньстiе) и там были (рiаще -> бiаще) с пятью князьями на челе).
Влескнига, Жар-Птица и историческая память
https://vk.com/doc399489626_593063064
...Воспоемо Слву Суражiу
а такожде мыслiхом до вчерЪ
а пентократо слвiхом
Бзi ве дене
Пiiмо бо сурiцу
в знак благъстi а обцностще со Бзi
кii бо суте во Сврзiе
тако бо пiоут за щасте нь
Воспоем славу Суражу, и таково думаем до вечера и пятикратно славим Богов в день. Пьем ведь сурицу в знак благости и общности с Богами, Которые суть во Сварге, так же пьют за счастье наше...

; ; буквица Ять, звучит как ие, образный смысл - Истинно Есть