Истории из старой шкатулки. 6 Тайна числа 153

Прошло 6 лет с момента знакомства Аленки с жителями Цифроландии. Она теперь уже училась в 5 классе гимназии, конечно же, с математическим уклоном. После личного знакомства с обитателями Волшебной Старой шкатулки Аленка навсегда полюбила Царицу всех наук – Математику и просто не представляла своей жизни без нее. Ведь каким бы делом она ни начинала заниматься – всегда ей на помощь приходили знания, умения и находчивость, которыми с девочкой щедро поделилась мамина Шкатулка и ее обитатели. Когда в тетрадке она писала «0», то тут же лицо ее расплывалось в дружеской улыбке и губы сами шептали: «Привет, милый Нолик!». Аленка тут же давала себе слово, что сегодня же навестит старых друзей, но тут же на нее наваливалась куча неотложных дел, и встреча за «чаем дружбы» опять откладывалась на неопределенный период. 
И вот, Аленка уже пятиклассница и, вместе со своим соседом по парте Костиком, готовится к олимпиаде по математике. Ребятам повезло попасть на урок к одному старому учителю, который когда-то очень давно преподавал математику еще бабушке Костика. Затаив дыхание дети слушали убеленного сединами, мудрого и очень доброго учителя – Сергея Николаевича. Урок состоялся в его загородном 2-этажном, похожем на сказочный, доме, увитом плющом, с черепичной крышей и балкончиком.  В кабинете с высокими потолками, стены которого были заняты почти под потолок стеллажами с книгами, Аленка с Костиком заняли места за столом. Такого количества книг ребятам одномоментно видеть еще ни у кого не приходилось.  В гостиной же, где после занятия Сергей Николаевич угощал детей чаем, к своему удивлению они увидели настоящий черный старинный рояль.
- Вы играете на рояле? – спросила Аленка.
-О, да! Музицирую немного,- улыбнулся Сергей Николаевич, - Если бы не Царица Наук, то я отдал бы свою жизнь Царице Гармонии, Ее Величеству Музыке. Они иногда мне кажутся сестрами – настолько они родственны.
- Как? Вы считаете, что музыка и математика настолько связаны между собой? – удивилась Аленка.
- Конечно, Аленушка!- отвечал старый учитель, - Разве ты не учишься в Музыкальной школе?
-Да, учусь, - подтвердила Аленка,- по классу фортепиано. А откуда вы это знаете?
- Бабушка Костика, Элеонора Андреевна, моя давняя ученица, мне вкратце рассказала о вас, мои дорогие. Как-нибудь мы посвятим наше занятие двум этим Царицам – Математике и Музыке. Ведь недаром сказал Джеймс Джозеф Сильверст, что  Математика – это музыка разума. А пока я бы хотел в качестве домашнего задания предложить эту книжечку, - и Сергей Николаевич протянул детям небольшой учебник под названием «Любознательному юному математику».
У обоих учеников загорелись глаза, они с радостью принялись листать книжку. Учитель прятал одобрительную улыбку – ребята попались толковые, с искоркой.
- Полистайте, конечно, но старайтесь выполнять задания последовательно, не перепрыгивая через задачки. Впрочем, как сделаете, так и будет, - напутствовал детей в дорогу  старый учитель.
Расстаться в тот день они так и не смогли – уж очень не терпелось рассмотреть новую книжку. Поэтому забрели наши любознательные математики в гости к Аленке, наперебой взахлеб обсуждая первую задачку, которая звучала так:
Задача №1
Это трехзначное число является одновременно и числом Фридмана, и числом Харшада, и является суммой факториалов первых пяти натуральных чисел, а также приходится 17-ым треугольным числом и принадлежит к Самовлюбленным числам. Если Вы узнали это число, то может быть, Вы скажете и -  чьим еще именем оно называется? И самое главное – Кому оно служит? И будьте готовы уметь записать его римскими цифрами. Вы можете воспользоваться тремя подсказками, если Ваши рассуждения зайдут в тупик, но не ранее, чем это произойдет.
-Да-а-а…- протянул Костик, обдумывая замысловатую задачку, - если честно, я почти ничего тут не знаю…
   -Я тоже, - словно поникшее эхо отозвалась Аленка, - получается, что мы уже в тупике? Что же нам делать-сразу смотреть подсказку?
- Нет, ведь мы еще и не пытались рассуждать! А давай вспомним, как нам говорил Сергей Николаевич про алгоритм решения сложных задач, - оживился Костик, - помнишь, первым делом – никогда не отчаиваться и не вешать нос! А мы с тобой что-то приуныли… А, во-вторых, он говорил, что надо уцепиться хоть за тоненькую знакомую ниточку, а с нее и начинать потихоньку разматывать клубок неизвестного!
-Ну, давай попробуем, - воспряла духом девочка.
Какое рациональное трехзначное составное число Фридмана с шестью делителями, в сумме дающими число 234, также является и числом Харшада?  Произведение цифр этого числа равно 15, а само оно является суммой факториалов первых пяти натуральных чисел, а также приходится 17-ым треугольным числом и принадлежит к Самовлюбленным числам. Если Вы узнали это число, то может быть, Вы скажете и -  чьим еще именем оно называется? И самое главное – Кому оно служит? И будьте готовы уметь записать его римскими цифрами. Вы можете воспользоваться тремя подсказками, если Ваши рассуждения зайдут в тупик, но не ранее, чем это произойдет.
- Давай искать хоть какие-то знакомые вводные данные, - предложил Костик, - честно тебе скажу, что пока не имею предстваления ни о Фридмане, ни о числах Хашрада, о факториалах слышал от старшего брата, римскими цифрами, думаю, сумею записать, но осталось выяснить - что же именно записывать. Понятно, что рациональные числа – это  То, что у этого числа 6 делителей – нам поможет потом для уточнения, а вот нашей ниточкой может стать это условие: произведение цифр этого числа 15. Какие ты знаешь делители у числа 15, Аленка? Давай все записывать!
-Это просто,- с готовностью отозвалась девочка,- 15 делится на 1, 3, 5 и 15. А значит, в это неизвестное пока нам число могут входить цифры 3, 5 и 1! Вот она, наша ниточка! 3х5х1 = 15!
И Аленка даже зажмурилась от радости – и ей на секунду показалось, что написанная ею на тетрадном листке Единичка улыбнулась и помахала цветами в левой тонкой ручке.
-Ой! – вскрикнула Аленка.
-Конечно, «ой!»,- согласился Костик, не уточняя причины этих эмоций, - мы теперь знаем эти три цифры, но в каком порядке они расположены? 135? 153? 315? 351? 513? 531? Ведь все эти варианты имеют право на существование! Как мы узнаем правду?
-Ну-у-у,- загадочно протянула девочка, - есть у меня один необычный вариант…
-Нет, Аленка, -возразил юный математик,- давай сначала попробуем в обычном формате… Так вот, произведение цифр у всех этих чисел -15, все они трехзначные, рациональные, но выбрать надо одно.
- А давай посчитаем, сколько у каждого из них делителей и сравним, тем более, что мы знаем из условия их сумму – 234!
Достаточно быстро наши математики справились с этим заданием, и у них получилось так:
135 – делители 1,3,5,9,15,27,45, 135 – что больше шести, поэтому они даже не стали их складывать. А вот следующее число – 153 - оказалось  в точности подходящим кандидатом на ответ к  мудреной задачке. Его делители – их было 6 ( 1,3,9,17,51,153) – в сумме давали как раз 234!
1+3+9+17 +51+153=234
-Что же это получается - что 153 искомое наше число, оно же число и Фридмана, и Хашрада, пусть даже мы пока не знаем, что это означает? И оно же Самовлюбленное??? Я не могу в это поверить!
-Почему? – удивился Костик, - смотри, какая красавица Пятерочка там сияет! Ей очень легко стать Самовлюбленной – все школьники и студенты только о ней и мечтают. Хотя некоторые мечтают и о Тройке, надо сказать, но ей труднее быть самовлюбленной особой. Что же касается Единички – ей еще труднее… Хотя она вполне може считать себя Единственной на свете – и уж точно стать Самовлюбленным числом, раз уж больше ее никто не любит…
- Ах, Костик, - горячо ответила, - если бы ты знал, как далека Единичка от Самовлюбленности, какая она добрая и отзывчивая, при всей своей скромности, и как все ее любят – ты не стал бы так говорить! Она совсем не похожа на Самовлюбленную!
- Не понял, - растерялся мальчик,- ты говоришь об это цифре, как о живом существе, с которым ты лично знакома и даже дружна. Или мне показалось?
Пришлось Аленке приподнять завесу над своим знакомством с жителями Цифроландии, которая уютно разместилась и по-прежнему продолжала жить в Старой волшебной шкатулке. Удивленный, если не сказать пораженный, всем услышанным Костик, робко предложил уточнить ситуацию с Самовлюбленными числами у тех, кто знает это наверняка и не понаслышке – у самих жителей Цифроландии, если это все еще возможно.
-Конечно, возможно!- сказала Аленка и поставила на стол Старую Волшебную шкатулку.