Математическое открытие

В 1952 году, в черниговской школе №3 пришла в наш 5-ый класс Вера Александровна Розенталь, и её уроки алгебры и геометрии стали моими любимыми уроками. Почему? Потому … что наступила полная ясность! Всё у неё разложено по полочкам, и никакой воды!
Вера Александровна - миниатюрная, строго и со вкусом одетая женщина с мягким грудным красивым голосом и экономной, выверенной логичной речью – рассказывать и доказывать умела!
Начинает она доказательство с “Дано”. Каллиграфически записывает на доске это слово, под ним - столбец исходных данных, а под столбцом - черту. Я смотрю на доску, слежу за смыслом и, обмакивая перо в чернила, старательно переписываю содержимое доски в тетрадь. Пока всё понятно, но … напряжение нарастает; впереди мозговой штурм!
“Доказать”,- готовится к штурму Вера Александровна и чётко формулирует некую, пока неизвестную мне, истину. Истину, в справедливости которой меня ещё нужно убедить!
Она к этому и приступает! Собравшись, хладнокровно и с достоинством, переходит в наступление; собственно к доказательству. Проводит меня, обращаясь к моему здравому смыслу, через несколько логических умозаключений и приводит к только что анонсированному, неизвестному мне результату. После всего, умиротворённо смотрит на нас и торжественно, замедляясь, произносит ритуальную фразу: “Что и требовалось доказать!”
И слышу я её немой вопрос: “Убедила?!”
“Убедила!”,- отвечаю беззвучно …, благодарно и восхищённо,- “Красиво! Надо же!”
Сделан очередной шажок в приобщении нас к Знанию, и Вера Александровна довольна. Она, ещё в теме, оттирает пальцы (каждый палец!) от мела и поочерёдно разглядывает то доску с доказательствами, то нас: “Все переписали? … Нет? … Ещё не все?”
Ходит между рядами, заглядывает в тетради и, наконец, подводит черту: “Есть ли вопросы?” Их, как правило, нет, и урок продолжается! Всё идёт по плану.
После уяснения логики выполненного на твоих глазах доказательства, становишься чуточку умнее и по-другому смотришь на мир!
Оказывается, в этом мире можно ещё и кое-что доказывать!? … Здорово!

В том же 5-ом классе мы узнали, как вычислять часть (процент) от числа и число по его части (проценту). После уяснения сути этих операций и решения примеров, переходим к рассчитанным на несколько логических шагов задачам.
У меня тема пошла. Разобрался, чувствую себя уверенно и решаю задачи с удовольствием; и в классе, и дома!
Собирается Вера Александровна, меж тем, привнести в решение задач элемент состязательности. “Сегодня,- говорит,- решаем задачи самостоятельно. Решивший поднимает руку.”
И … началось!
Слушаем задачу, записываем её и ждём последнюю фразу. Вот эту: “Определить: - Сколько … ?, - Чему равно … ?, - Через какое время … ?, - Какую часть … ?”
Лихорадочно соображаю. Надо иска..а..ать … число по его части! Найду … сколько приходится на одну часть, потом умножу …, разделю …, окончательно умножу … и вот он ответ!
Руку тяну изо всех сил и оглядываясь вижу что … первый?! Надо же!
Вера Александровна замечает руку и предлагает: “Вольфовский”. Вскакиваю из-за парты, выстреливаю: “39 минут!” и вопросительно на неё смотрю. “Правильно!,- улыбается Вера Александровна,- “5”. Идёт к журналу и ставит оценку: “Продолжаем решать!”
Решаем мы на уроке 3..4 задачи и у меня … неизменно получается быстрее. После 2-ой задачи Вера Александровна меня ещё спрашивает, а после 3-ей … не спрашивает; ждёт того, кто поднимет руку вторым.
Домашнее задание по алгебре делаю теперь за 10..15 минут, утром, придя в школу, на вопрос “решил?” отвечаю утвердительно, а просьбы ребят “дай списать” всегда удовлетворяю! Такие же настойчивые просьбы (шёпотом и полушёпотом) слышу и на контрольных. Вижу умоляющие глаза … Эх… Раскладываю тетрадь так, чтобы написанное в ней видел сосед сзади…
Заметил, что меня зауважали! Такие дела!

А в 6-ом классе объяснила Вера Александровна, что означает “возвести число в степень”. Объяснила ещё и почему возведение во 2-ую степень называют возведением в квадрат, а в 3-ью – возведением в куб. Хитрого, конечно, здесь ничего нет, и мы это действие усвоили, благополучно переварили и приняли на вооружение.
Потом пошли формулы сокращённого умножения для биномов: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы и куб разности. Были ещё и формулы разложения на множители: разности квадратов двух чисел, суммы и разности кубов двух чисел.
Формулы, прямо скажем, красивые …, так я их воспринял! И попытался … на эту тему пофантазировать; поиграться.
Поскольку играться с числами для меня было “хлебом не корми”, то и крутил я числа туда … сюда. И не только на уроках математики, но … и на других уроках. Увлекательно, знаете ли!
Беру, скажем “1” (первое число натурального ряда). Оно в любой степени “1”. Замечательно! Вот и записываю: “1” в кубе = “1” в квадрате.
А теперь беру “1” в кубе и добавляю “2” в кубе. Получаю “9”. Девять …, девять?! Но ведь “9” – это (1+2) в квадрате!? Ловко!
Беру: “1” в кубе + “2” в кубе + “3” в кубе. Получаю “36”. Но “36” – это же (1+2+3) в квадрате! Чувствуете?! Схватывал я быстро и понял, что в этом что-то есть! Что “что-то”? Да просто. Добавьте в левую часть написанного выше “4” в кубе и получите в сумме “100”. И одновременно добавьте “4” в правую часть: [(1+2+3+4) в квадрате] и получите те же “100”! Получается равенство! Левой и правой частей! Дальше я для проверки добавлял и в левую, и в правую часть и “5”, и “6”, и “7”, и … И неизменно убеждался в том, что левая часть равна правой. Равенство!
Была в этом какая-то завораживающая магия чисел и за ней… что-то грандиозное мне неизвестное и… величественное! Прикоснулся!
Посмотрите, как играет котёнок с игрушкой, которую тянет перед ним за ниточку взрослый. Вот я и был тем котёнком!
И тогда я для себя сформулировал, что: “Сумма кубов чисел натурального ряда равна квадрату суммы этих чисел”.
(Напомню, что натуральный ряд – это ряд целых чисел 1, 2, 3, …, N; где N любое)

Формула ясное дело мне понравилась. Красивая! Такая же, как, скажем, формулы сокращённого умножения.
Сформулировать-то я формулу сформулировал, но ведь её надо бы ещё и доказать; для любого N! Пока это не сделано, нельзя утверждать, что она справедлива. Мало ли, что мне померещилось! В справедливости формулы я, конечно, не сомневался, но вот доказать, что она справедлива … не смог!
Вере Александровне ничего о формуле не сказал, а надо бы! Позже, в старших классах, не помню кому о формуле рассказал, но … сделал это в спешке, на перемене между уроками, как бы, между прочим, без акцента и … тот разговор остался незамеченным.
В общем, окончил я школу, техникум, институт, и мою формулу в представленном выше виде (формулировке) нигде не встречал.

Прошло 55 лет, и я как-то подумал, что со мной уйдёт и моя формула. И останется она неизвестной, пока кто-нибудь не откроет её заново. Получается: знал и не рассказал? Правильно ли это? Такие вот мысли стали меня посещать. И вот в 2010-ом году зарегистрировался я на математическом форуме http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=2263 , сделал там сообщение и попросил помощи в доказательстве справедливости своей формулы.
Формулу доказали легко методом математической индукции. Но … никто из математиков(!) не сказал, что формула уже известна! Получилось, что её в представленном мною виде ещё не знали; она новая!
Тогда я набрался наглости и спросил, могу ли я назвать эту формулу своей фамилией?
“Можете,- говорят,- если докажете, что до вас это равенство никто другой не вывел.”
После такого интересного ответа продолжаю наглеть:
“1.Если кто-то другой вывел до меня это равенство, то мне на это укажут, и я с удовольствием ознакомлюсь с его работой.
2.Можно ли считать дату первой публикации равенства на Вашем форуме датой приоритета?”
Отвечают: “Ну, если вы дадите ссылку на этот форум, то вам нужно будет в названии равенства указать ещё и фамилии тех, кто помогал вам его доказывать”.

Ну, а дальше … математики нарыли и противопоставили мне журнал со статьёй В.С. Абрамовича “Числа Бернулли” (журнал Квант №6 за 1974-ый год). В той статье приведена формула для вычисления суммы любых степеней чисел натурального ряда. Значит, и для суммы кубов та формула подходит. А моя формула является её частным случаем!
Главное же состоит в том, что правая часть формулы из Кванта другая; отличается от моей формулы.
Потом я к формуле из Кванта пришёл. Вдруг увидел, что в правой части моей формулы – арифметическая прогрессия. На это я поначалу не обратил внимание! Воспользовался формулой для суммы членов арифметической прогрессии и получил формулу из Кванта!

Результат. Формула в журнале “Квант” общая, компактная, но … ненаглядная. Из неё не видно, что “сумма кубов … равна квадрату суммы … ” Этот мой результат в формуле из журнала Квант надо ещё разглядеть!
На форуме я написал об этом так: “Понимание того, что “сумма кубов чисел натурального ряда и квадрат их суммы” связаны и равны – плодотворно, и у него есть следствия, которых у формулы из журнала Квант нет.”
Ну и наконец, формула (см. над названием) красива и удивительна!
И тот факт, что числа натурального ряда ей подчиняются, имеет, по-моему, глубокий, пока ещё неразгаданный, смысл.

P.S.
28.06.2021-го мне удалось доказать справедливость следующего утверждения:
если
1. «сумма кубов чисел натурального ряда 1,2, ...,N равна квадрату суммы (1 + 2 + ... + N) этих чисел»,
то и
2. «сумма кубов чисел 1,2, ...,N,(N+1) равна квадрату суммы [1 + 2 + ... + N + (N +1)] таких чисел».

Доказательство.
Добавим (N+1) в кубе в левую часть равенства по п.1. Добавка нарушит равенство и для его восстановления добавим число D в его правую часть. После чего правая часть превратится в квадрат следующей суммы:
[(1 + 2 + ... + N) + D]                (3)
Если сумму (3) возвести в квадрат, то получим: квадраты 1-го и 2-го (D квадрат) слагаемых и удвоенное произведение: 2D(1 + 2 + ... + N).
Отметим, что квадрат 1-го слагаемого равен «квадрату суммы чисел» по п.1, а
D квадрат + 2D(1 + 2 + ... + N)                (4)
это добавка, уравновешивающая добавку (N+1) в кубе в левую часть равенства (по п.1).
Число «D» можно найти из выражения равенства добавок:
D квадрат + 2D(1 + 2 + ... + N) = (N+1) в кубе,         (5)
если преобразовать его в квадратное (относительно D) уравнение:
D квадрат + 2D(1 + 2 + ... + N) - (N+1) в кубе = 0.     (6)
Решив уравнение (6) получим:
D = (N +1)                (7)
Что и требовалось доказать в п.2.

После этого доказательства можно с полным основанием говорить о формуле Вольфовского; см. над названием статьи. Её словесное изложение приведено в п.1.

Оригинал: https://perchvoj.livejournal.com/22783.html