63-я и 64-ая проблемы

Предложенный в рамках "другой арифметики" подход позволяет сформулировать новые проблемы, связанные с обобщениями, расширениями Великой проблемы Ферма и других проблем. Самое интересное заключается в том, что в предложенном нами кольце комплексных чисел с иррациональностями (рациональными иррациональностями из целых чисел)имеется бесконечное множество решений с иррациональностями от действительных (реальных) чисел. Так что реальная часть или "мир реальных чисел" оказывается весьма тривиальным частным случаем мира комплексных чисел. Мнимая часть играет не симметричную, а более фундаментальную роль. Здесь можно провести аналогию с вакуумом Дирака в квантовой теории. Решения уравнений над полем комплексных чисел оказываются, напротив, нетривиальными и имеют особый смысл. И тут возникает связь с алгебраическими числами. Как мы видели, в наших определениях и примерах мелькали алгебраические числа первой, второй и третьей степени. А с тройкой  в больших степенях, стремящихся к бесконечности, мы имели дело при конструировании нечётного совершенного числа. Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Согласно теории Галуа и теореме Абеля — Руффини, многочлены пятой степени и выше с целыми коэффициентами, могут быть неразрешимы в радикалах. Корни таких многочленов являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых чисел четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней. И тут встаёт вопрос о выражении таких корней. Как показали в процессе исторического развития математики Эйлер, Лиувилль, Дирихле, Линдеман, Кронекер, Гильберт, Рота, Гельфонд и др., логарифмы и тригонометрические функции уводят нас в область неалгебраических, т.е. трансцендентных чисел. Поэтому ради достижения полноты мы вводим специальный алгоритм, состоящий из операций специального типа: преобразований многочленов, вычислений гипергеометрических функций, радикалов Бринга и т.п., добавляющих к арифметическим действиям над полем комплексных чисел с целочисленными частями выражение корней многочленов пятой степени и выше с целыми коэффициентами через специальные средства.  Разумеется, такой подход порой сопряжён с совершенно новыми идеями, революционными для математики в целом.