Известна гипотенуза и площадь

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой "а"  и  площадью S. Нужно найти катеты. Очень распространенная среди абитуриентов задача. Всегда, правда, дают численные значения двух параметров (например  reshimvse.com/zadacha.php?id=44073) , но гораздо важнее и интересней получить общие формулы. Система элементарная:

x*y=2*S
x^2+y^2=a^2

Казалось бы - чего её решать?!  Вот и я так сначала подумал, а потом обжёгся. Получаются в общем случае четыре пары ответов. Получаются, кстати, вовсе непросто.  Боюсь затрудниться угадать, сколько времени абитуриент будет пыхтеть. Пыхтел, конечно, и я - давно окончивший вышку и диссертацию защитивший. Но всё же с задачей справился и помещаю окончательные выкладки здесь.

Если известны все стороны треугольника, то он полностью раскрыт. Можно по школьным формулам находить любые высоты-медианы-биссектрисы, любые углы, описанные и вписанные окружности и так далее. Но меня заинтересовал вопрос насчет угла t. Можно ли подобрать такие целочисленные "а" и S, при которых угол t в градусах тоже окажется целым? Для этого составил программу:

rem Найти катеты y>=x при заданной гипотенузе "а" и площади S
n=200
for a=1 to n
for S=1 to n
if a>2*sqrt(S) then
y=1/2*(sqrt(a^2-4*S)+sqrt(a^2+4*S))
x=1/2*abs((sqrt(a^2-4*S)-sqrt(a^2+4*S)))
t=atan(x/y)*180/pi+1/10^10
if abs(t-int(t))<1/10^8 then
print a using"###",S using"###",y using"###.####";
print x using"###.####",t using"###"
fi:fi
next S
next a

Результат расчетов:
  a   S     y   ....      x....     t
  4   2   3.8637   1.0353  15
  8   8   7.7274   2.0706  15
 12  18  11.5911   3.1058  15
 16  32  15.4548   4.1411  15
 20  50  19.3185   5.1764  15
 24  72  23.1822   6.2117  15
 28  98  27.0459   7.2469  15
 32 128  30.9096   8.2822  15
 36 162  34.7733   9.3175  15
 40 200  38.6370  10.3528  15

Оказалось, что только пятнадцать градусов может принимать угол t . Причём при a=4n и S=2n^2. Где n=1,2,3,...
Очень интересно!
Кстати, с третьей строчкой таблицы возился известный школьный учитель из Челябинска Пётр Земсков. Моих формул он не знал и частную задачу решал геометрически. Я же копаю глубже и шире.

13 августа  2021 г.