Теорема Чевы - потрясающая!

Да, теорема действительно потрясная. И вообще, треугольник удивляет всё больше и больше. Как-то я в далёкой молодости попробовал такую проблему обуздать: на каждой из двух сторон треугольника выбрать по точке и соединить их с противолежащими вершинами. Получим точку пересечения О. Тогда вопрос: какой отрезок t отложить (см. рисунок), чтобы прямая тоже проходила через эту же точку О ?. Применял аналитику и в дым запутался.

Но вот вчера вспомнил и за пять минут проблему решил благодаря теореме Чевы.  Мне очень понравилась формула для отрезка t! У нее необычная энергетическая красота! Интересно, что дробь представляет собой понижающий множитель стороны b. Причём множитель сей зависит в свою очередь от множителя при р. Очень мудрёный! Конкретно (a-2r)/(a-r). Хорошо бы понять данную геометрическую логику.
Составил коротенькую программу:

rem Теорема Чевы - вычисление отрезка t
a=19:b=24:c=14
p=6
for r=5 to 15
t=(c-p)/(c-p*(a-2*r)/(a-r))*b
print a,b,c,p,r,t using "##.###"
next r

Таблица показана на рисунке. Вариант, обведенный красной рамкой, я построил на бумаге и с большой точностью определил отрезок t. Он оказался равным 14.3 см. Значит, формула верна! Её можно и нужно включить в обиход как важное Следствие знаменитой Теоремы!
Но возник вопрос: как найти местоположение точки О ?. Я решил в общем виде найти отрезок АО. Промучился всю ночь и в конце концов так запутался что решил обратиться к математическому форуму. И там мне помог математик под ником Rams. Вот выведенная им формула:

AO=sqrt(c^2+r^2-(r/a*(a^2+c^2-b^2)))/(1+(c-p)*(a-r)/(a*p))

Проверил, все верно! Это невероятный шедевр!
Тождественное выражение дал другой математик с ником michel:

AO=a*p/(a*c-c*r+p*r)*sqrt(1/a*(r*b^2+(a-r)*c^2)-r*(a-r))

Сказанное можно увидеть по ссылке:
mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=74879

Вот что значит хорошо знать теоремы Менелая и Стюарта! В этой части я пока еще слабоват.

20 августа 2021 г.