Основная теорема теории размерности

  Теорема. Таблица умножения единичных векторов является таблицей умножения логического оператора XOR.
  Доказательство. Нам известно только два математических пространства (трехмерное и семимерное), в которых имеет смысл векторное умножение, и это позволяет определить общую для них таблицу умножения единичных векторов, которая получается из таблицы логического оператора XOR

000 001 010 011| 100 101 110 111
001 000 011 010| 101 100 111 110
010 011 000 001| 110 111 100 101
011 010 001 000| 111 110 101 100
 _____________|______________
100 101 110 111| 000 001 010 011
101 100 111 110| 001 000 011 010
110 111 100 101| 010 011 000 001
111 110 101 100| 011 010 001 000

путём замены множества {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} множеcтвом {-1, i, j, k, l, m, n, o}. Действительно, нижеследующая таблица умножения

-1  i  j  k| l  m  n  o
 i  -1  k  j| m  l  o  n
 j   k -1  i| n   o  l  m
 k  j  i  -1| o  n  m  l
_______|________
 l  m  n  o| -1  i   j  k
 m  l  o   n|  i  -1  k  j
 n   o  l   m| j  k  -1  i
 o  n  m   l|  k  j   i  -1

является и таблицей умножения кватернионов (первые 4 строки, первые 4 столбца) и таблицей умножения октонионов (без знаков).
  Теорема доказана.
  Пояснения. Математике векторов известны два умножения: скалярное и векторное. Скалярное (a, b) = c отображает два вектора a и b в число c, а векторное [a, b] = c – отображает два вектора a и b в перпендикулярный им вектор c. В трехмерном пространстве никаких вопросов не возникает – два вектора определяют плоскость, значит, третий перпендикулярен ей; тогда как в семимерном случае сразу возникает вопрос: если a = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), b = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), то почему результатом умножения является вектор c = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0), а не какой-нибудь из четырех оставшихся? Ответ на этот вопрос прост: единичные вектора равноправны; пусть с будет каким-нибудь вектором из пятимерного пространства, тогда он будет объявлен «третьим», [a, с] – четвертым и т.д. В результате у таблицы появится первая строка, а следовательно, и первый столбец, с которыми и работает оператор XOR.
   Математика располагает только двумя пространствами размерности 3 и 7, на которых векторное умножение имеет смысл, потому что только 2 набора единичных векторов определяют таблицы, не содержащие внутри себя двоичных чисел, превышающих размерность пространства – это 3 и 7. Следующая таблица, не содержащая двоичных чисел, превышающих размерность пространства будет состоять из 15 единичных векторов.
   Благодаря только что доказанной теореме, мы можем распространить векторное умножение на все векторные пространства, размерность которых в двоичной записи только из единиц (11…1 = 2*2*…*2 -1). Числа этого вида давно известны как «числа Мерсенна». Особым интересом среди них пользуются простые числа: 3, 7, 31, 127, 8191... Нельзя не обратить внимания на то, что последовательность простых чисел Мерсенна начинается с размерностей пространств, на которых векторное умножение уже исследовано. Открытие каждого такого числа является событием в мире вычислительной математики. С 1996 года регистрацией чисел Мерсенна занимается международная организация GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) — широкомасштабный проект добровольных вычислений по поиску простых чисел Мерсенна
   GIMPS открыл 17 простых чисел Мерсенна
1  1996 Nov 13 Joel Armengaud   35  2^1,398,269^-1
2  1997 Aug 24 Gordon Spence    36  2^2,976,221^-1
3  1998 Jan  27 Roland Clarkson   37  2^3,021,377^-1
4  1999 Jun  01 Nayan Hajratwala 38  2^6,972,593^-1
5  2001 Nov 14 Michael Cameron 39  2^13,466,917^-1
6  2003 Nov 17 Michael Shafer     40  2^20,996,011^-1
7  2004 May 15 Josh Findley         41  2^24,036,583^-1
8  2005 Feb  18 Dr. Martin Nowak 42  2^25,964,951^-1
9  2005 Dec  15 Curtis Cooper &   43  2^30,402,457^-1
10 2006 Sep  04 Curtis Cooper &  44  2^32,582,657^-1
11 2008 Sep  06 Hans-Michael       45  2^37,156,667^-1
12 2009 Jun  04 Magnar Strindmo 46  2^42,643,801^-1
13 2008 Aug 23 Edson Smith         47  2^43,112,609^-1
14 2013 Jan  25 Curtis Cooper        48  2^57,885,161^-1
15 2016 Jan  07 Curtis Cooper        49  2^74,207,281^-1
16 2017 Dec 26 Jonathan Pace        50  2^77,232,917^-1
17 2018 Dec 07 Patrick Laroche      51  2^82,589,933^-1
   
  Последнее из этих чисел позволяет, в принципе, «написать таблицу умножения» для пространства размерность которого в двоичной записи состоит из 82 миллионов 589 тысяч 933 единиц (элементарных частиц во Вселенной намного меньше, чем единичных векторов в этом пространстве).
 Такие пространства представляют интерес разве что для физиков, потому что они связывают два очень важных физических понятия: «относительность» и «спутанность».
                Относительность и спутанность
   Трехмерность генетически зашита в нашем сознании, поэтому воспринимать векторность семимерного умножения мы можем только через таблицу умножения единичных векторов. Как таблица она обладает свойствами, присущими всем таблицам вообще. Иными словами, мы можем не только вставлять в нее (или вычеркивать из неё) столбцы и строки, но и переставлять столбцы между собой (или строки). Внешний вид таблицы при этом, естественно, меняется, но суть таблицы остается, содержание клеточек сохраняется. Она по-прежнему остается таблицей умножения, только пользоваться ей не так удобно.
      Возникает естественный вопрос, зачем же тогда переставлять, если кроме неудобства нет никакой пользы? Есть теория, которая называется теорией относительности, из которой в наш обиход вошли речевые обороты: «с точки зрения наблюдателя в системе координат…», «а с точки зрения…».
    Далее мы здесь рассмотрим простейшую ситуацию: «сточки зрения наблюдателя A первым единичным вектором является i, а с точки зрения наблюдателя B – j», а из того, что они оба правы должен следовать вывод, что таблицы, в каком-то смысле, должны оставаться теми же самыми, сохранять свой вид.
000 001 010 011 100 101 110 111   000 001 010 011 100 101 110 111
001 000 011 010 101 100 111 110   010 011 000 001 110 111 100 101
010 011 000 001 110 111 100 101   001 000 011 010 101 100 111 110
011 010 001 000 111 110 101 100   011 010 001 000 111 110 101 100
100 101 110 111 000 001 010 011   100 101 110 111 000 001 010 011
101 100 111 110 001 000 011 010   101 100 111 110 001 000 011 010
110 111 100 101 010 011 000 001   110 111 100 101 010 011 000 001
111 110 101 100 011 010 001 000   111 110 101 100 011 010 001 000
    После перестановки второй и третьей строк вид таблицы изменился
000 001 010 011 100 101 110 111   000 010 001 011 100 101 110 111
001 000 011 010 101 100 111 110   010 000 011 001 110 111 100 101
010 011 000 001 110 111 100 101   001 011 000 010 101 100 111 110
011 010 001 000 111 110 101 100   011 001 010 000 111 110 101 100
100 101 110 111 000 001 010 011   100 110 101 111 000 001 010 011
101 100 111 110 001 000 011 010   101 111 100 110 001 000 011 010
110 111 100 101 010 011 000 001   110 100 111 101 010 011 000 001
111 110 101 100 011 010 001 000   111 101 110 100 011 010 001 000
     После перестановки второго и третьего столбца – восстановился, однако следы остались (в правом нижнем углу старый порядок номеров сохранился). Если теория относительности верна, то одновременно с перестановкой второго и третьего столбца, где-то там в самом конце предпоследний единичный вектор и стоящий перед ним, сами собой поменяются местами. Согласитесь, - безумие полное, однако эксперимент это подтверждает! Этот физический феномен называется «спутанность».
    Мы живем в векторном пространстве...