Введение в философские проблемы математики. Оч. 2

Аннотация. В данном очерке к трем ранее сформулированным философским проблемам автор решил добавить еще три психологические проблемы математического познания, а
также порассуждать на тему взаимоотношений математики и системного анализа, не
забывая при этом совершать небольшие философские и исторические экскурсы,
относящиеся к философско-психологическому содержанию науки математики и всему
иному, что её окружает в реальном мире и в мире мифологической интерпретации её
ценностей и её существования. Сделан краткий обзор основных психологических проблем математического знания: 1)математическое образование или обучение математике как путь математической социализации и обретение математических знаний (или шире - математической культуры), 2) психологическая проблема истоков и содержания математического творчества, 3) проблема генезиса математической одаренности и её развития.
Литература в конце статьи.

В первом очерке с одноименным названием, мы сформулировали три философские проблемы, которые намереваемся обосновать и прояснить (как себе, так и уважаемому нашему читателю) в процессе дальнейших размышлений и поисков в плотном пространстве истории математической науки. Поэтому цели и задачи остаются прежними [10] на весь цикл одноименных очерков. Сколько их будет в итоге, автор в настоящее время затрудняется ответить. Может быть три или пять, или десять… Исчерпать заявленную тему невозможно. Можно только создать более или менее правдоподобный образ исторически смыслового пространства, основанный на субъективных ценностных постулатах  и убеждениях.
В данном очерке к трем ранее сформулированным философским проблемам автор решил добавить еще три психологические проблемы математического познания, а также порассуждать на тему взаимоотношений математики и системного анализа, не забывая при этом совершать небольшие философские и исторические экскурсы, относящиеся к философско-психологическому содержанию науки математики и всему иному, что её окружает в реальном мире и в мире мифологической интерпретации её ценностей и её существования.
Один из великих математиков XX века (и один из немногих математиков-философов) Герман Вейль, как-то отмечал в одном из своих философских трудов о математике: «математика снискала дурную славу из-за разреженного воздуха абстракций, в котором она живет. Скверная репутация заслужена лишь наполовину…» [8]. И далее, слегка забывшись, привел в качестве аргумента изречение известного швейцарского математика и философа науки Андреаса Шпайзера: «математика стряхивает оковы языка своими геометрическими и чисто символьными конструкциями. И тот, кто знает, какой гигантский труд вкладывается в этот процесс, не может не ощутить, что математика наших дней в своей сфере интеллектуального мира более эффективна, чем современные языки в их жалком состоянии и даже музыка в своих областях» [8].
Едва ли не веком ранее, великий математик К.Гаусс писал одному из своих друзей: «мало удивительного, что вы не доверяете путанице в понятиях и определениях философов по профессии. Если вы посмотрите хотя бы на современных философов - на Шеллинга, Гегеля и их сообщников, у вас волосы встанут дыбом от их определений» [цит. по 14].
Выдающийся польско-американский логик и математик Альфред Тарский (уже снова в XX веке) отмечал нечто похожее на мысль К.Гаусса, но только в более широком контексте: «Едва ли можно было бы найти двух человек, которые употребляли бы каждое слово в одинаковом значении, и даже в речи одного человека значение одного и того же слова меняется в различные периоды жизни» [цит. по 23].
Опережая события, скажу, что я вполне согласен с высказанными выше мыслями Гаусса и Тарского. Более того, считаю Гегеля одним из самых больших путаников и мистификаторов в области философского знания (но это уже совсем отдельный разговор).
Несколько увлекаясь цитатами, приведу еще одну, близкую к ранее озвученным. На сей раз знаменитый Н. Бурбаки: «точка зрения математиков на вопросы философского порядка, даже если эти вопросы имеют существенное значение для их науки, в большинстве случаев основана на мнениях, полученных из вторых и третьих рук и из источников сомнительной ценности» [6].
И здесь Н.Бурбаки «попал в точку» – на 95-98% (приблизительно, а приори) так оно и есть во все времена.
Все вышеперечисленные мнения выдающихся математиков – это грани и фрагменты «вечного» спора в науке: кто главнее и кто точнее отражает мир?
Или, выражаясь современным молодежным сленгом: «кто круче: лыжники или сноубордисты?».
И надо сказать – существует великий разброд в умах самих математиков: где находится в научной «табели о рангах» математическая наука? Большинство (избегающих глубокого философствования – ибо философствовать это, прежде всего, пребывать в сомнениях) математиков, конечно же разделяет мнение, высказанное А.Шпайзером (а до него и после – многими другими выдающимися математиками).
Но, например, В.И. Арнольд считал, что математика – экспериментальная наука – составляет часть естествознания и физики. Эксперименты в физике стоят дорого, как правило, миллиарды долларов, а в математике – единицы рублей [4].
Ю.И. Манин определяет математику как раздел филологии или лингвистики [3, 17].
В.А. Успенский считает математику частью мировой культуры, благодаря своему этическому аспекту («математика не допускает лжи») [25].
У него же мы находим (в обсуждаемом контексте) следующие мысли:
- «само понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьезные затруднения»,
- «математики, как правило, очень гордятся, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке – причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знания [25].
Можно сказать, что практически по этому поводу иронизирует Ю.И. Манин: «… если принять такую точку зрения, то математики могут защищать свое ремесло, подчеркивая его общественную полезность. Математик в такой роли может сталкиваться с моральными проблемами так же, как и любой другой человек; если бы я хотел продемонстрировать некоторые особенности этих проблем, специфические для профессии математика, то я не нашел бы ничего лучше, чем горькая ирония из [2, с. 11]: “математика может также оказаться совершенно незаменимым инструментом. Так, когда изучалось воздействие кассетных бомб на человека, но испытания на свиньях были не возможны по соображениям гуманности, в игру вступило математической моделирование» [17].
Возвращаясь к первой философской проблеме, тезисно сформулированной в предыдущем очерке: «неточность, размытость и определенная условность математического знания», можно утверждать, отталкиваясь от А.Пуанкаре – математика конвенциональна и построена на исторически обусловленных в действующем математическом обществе правилах – соглашениях, выражаемых трудно обозримой совокупностью аксиом, следовательно, знание, происходящее из аксиом всевозможных математических конвенций носит относительный, условный характер. Исходя из этого постулата, всю совокупность математического знания вполне вероятно оценивать как крайне абстрактную редукцию действительной реальности, построенную на бесконечном многообразии символьных конструкций, нередко имеющих магический ореол в сознании обывателей и многих математиков.
Усиленные попытки математиков XIX и XX века по реализации тотальной формализации своей науки, в итоге дали весьма сомнительный результат. Как утверждали Э.Каснер и Дж.Ньюмен: «вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы» и перечисляли три типа парадоксов:
1)это противоречия и абсурдные утверждения, которые являются следствием неправильного рассуждения,
2)это теоремы, которые кажутся странными и невероятными, но которые, будучи доказаны логически безукоризненно, должны быть приняты как верные, несмотря на то, что они выходят за пределы нашей интуиции и воображения,
3)третий и наиболее важный тип парадоксов связан с теорией множеств; такого типы парадоксы привели к пересмотру оснований математики.
Логические парадоксы весьма озадачили логиков и математиков, и поставили проблемы, касавшиеся самого существа математики, проблемы, которые до сего дня не получили удовлетворительного разрешения» [19].
И даже отчаянный структуралист и формалист Н.Бурбаки вынужден признать, что «в настоящее время математика менее, чем когда-либо, сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий… В её распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные аксиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос» [7].
И это после того, как само явление интуиционизма было заклеймено тем же Н.Бурбаки как некий «курьез» в истории математики XX века.
Как бы то ни было, не взирая на любой математический фанатизм, как например, у выше отмеченного А.Шпайзера, естественный язык всегда был и будет материнским лоном языка математического. По этому поводу трудно не согласиться с утверждением Ю.И. Манина, касающегося ключевой или сопутствующей роли естественного языка в развитии математической науки: «с другой стороны, не можем мы также и опустить слова и иметь дело только с формулами. Слова в математических и естественно-научных текстах играют три основные роли. Во-первых, они обеспечивают многочисленные связи между физической реальностью и миром математических абстракций. Во-вторых, слова несут оценочные суждения (иногда – явные, иногда – неявные), которыми мы руководствуемся при выборе тех или иных цепочек математических рассуждений в огромном дереве «всех» допустимых, но по большей части бессодержательных формальных выводов. Наконец (в-третьих) - (последнее по счету, но не по важности) слова позволяют нам общаться, учить и учиться» [17].
Продолжая убедительную мысль Ю.И. Манина, логически целесообразно, отталкиваясь от роли слов естественного языка в математике, сделать краткий обзор основных психологических проблем математического знания.
Вероятно, при более тщательном анализе может быть сформулировано немалое число и таких проблем, но в настоящее время (да и во все прошедшие и будущие времена) самыми значимыми психологическими проблемами математической науки и математического познания являются три таких проблемы:
1)математическое образование или обучение математике как путь математической социализации и обретение математических знаний (или шире – математической культуры),
2)психологическая проблема истоков и содержания математического творчества,
3)проблема генезиса математической одаренности и её развития.
Выдающий отечественный математик и педагог Елена Сергеевна Вентцель (литературный псевдоним И.Грекова) написала в 1977 году повесть «Кафедра» – о повседневной жизни преподавателей математической кафедры (время действия – ориентировочно – 60-70-е годы XX века, страна – Советский Союз): «идет заседание кафедры. Речь идет о двойках. Только что свалилась зимняя страда – экзаменационная сессия, остались досдачи и пересдачи… Что нужно деканату? Казенное благополучие. Чтобы процент хороших и отличных оценок неуклонно возрастал от сессии к сессии, а процент двоек падал… Мечта деканата – чтобы все студенты учились отлично…» [11].
В общем, совершенно замечательная повесть о педагогах-математиках и о проблемах математического образования.
И главное – проблема «двоек» актуальна на математических кафедрах (по крайней мере – в нашей стране) во все времена.
Уровень школьной математической подготовки в большинстве случаев недопустимо низкий, не позволяющий освоить полноценно программу вузовской математики (особенно, скажем, для не-математиков, например, курс высшей математики). Большинство студентов «провисают» уже на первых занятиях и далее не способны сознательно воспринимать учебный математический материал. В результате, преподаватели математики, видя эту печальную картину, начинают думать, что причина в нерадивости студентов, и пытаются запугать последних (в силу слабости своей психолого-педагогической подготовки) предстоящими зачетами и экзаменами, надеясь, что такой «подход» может замотивировать студентов к прилежному постижению теорем, формул, решений и доказательств (то же самое, что сказать – через две недели сдаем экзамен по китайскому языку!). В итоге – на каждой сессии кафедры математики на первом месте среди всех кафедр по количеству двоек.
Еще более полувека тому назад, в 1966 году, когда в Москве проходил Всемирный конгресс математиков (15я секция конгресса: преподавание математики и постановка математического образования) отмечалось, что «имеется огромный разрыв между духом современной математики и содержанием учебных программ, принятых в школах и других учебных заведениях. На трибуну выходили англичане, французы, немцы, русские, индийцы, поляки – и ни для кого не было сомнения в том, что преподавание математики нуждается в немедленной и коренной реформе» [24].
Естественно, что после таких заявлений мировой математической общественности в ряде стран, в том числе и в СССР начали происходить эксперименты по улучшению математического образования, и в первую очередь – по изменению программ и внедрению новых учебников. Появились новшества, связанные с повсеместным внедрением теории множеств в школьное образование, внедрением структурно-формальных подходов к изложению материала и с попытками «изгонять» из учебных программ по математике устаревшую наглядность, эвристику, правоподобные рассуждения и проч. Это отдельная большая страница по истории математического образования в школах и других учебных заведениях. В частности, очень эмоционально отдельные моменты изменения в школьном образовании отражены в автобиографии Л.Понтрягина [21].
В.А. Успенский по этому поводу высказался следующим образом: «школьная программа по математике – слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя она не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь тем, что скажу: хорошо бы в этой программе устроить перекос в сторону вычислений и уделить больше внимания качественным моментам, с вычислениями непосредственно не связанными» [25].
Много времени и внимания проблемам математического образования уделял В.И. Арнольд, что отражено в целом ряде статей, докладов и монографий. Владимир Игоревич постоянно отмечал тенденцию растущей деградации математического образования в разных странах (особенно – в США и Франции), где вел преподавательскую деятельность в разных университетах. И говорил также о том, что советско-российское математическое образование в 90-е годы прошлого века и в начале XXI века стало копировать у себя негативный зарубежный опыт: «выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях, к несчастью, сделалось системой… Характерными приметами формализованного преподавания являются изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Основной целью математического образования должно стать воспитание умения математически исследовать явления реального мира… Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения» [2].
В целом, давно отмечено, что общество и чиновники от образования весьма основательно недолюбливают математику и стараются как можно больше сократить её присутствие в школьной программе.
Известный английский математик Г.Харди, еще в первой половине XX века отмечал, что «большинство людей страшатся самого названия «математика», и, боясь общественного осуждения, готовы сколь угодно преувеличивать свою математическую тупость» [26].
Е.С. Вентцель, автор учебников по «Теории вероятностей» и «Исследованию операций», переведенных и изданных в ряде зарубежных стран, говорила: «думаю, популярность моих учебников и монографий связана с тем, что они написаны, так сказать, пером романиста. … Другим важнейшим обстоятельством является точное знание психологии человека, впервые систематически изучающего теорию вероятностей» [16, 13].
По нашему глубокому убеждению, наступление на математическое образование со стороны общества и чиновников будет продолжаться и далее. Особенно, в свете тотальной компьютеризации – зачем учить математику, когда в интернете всё есть, в том числе и таблица умножения, или, как говорил герой одного известного литературного произведения: «зачем изучать географию, когда есть извозчики?!».
На наш взгляд, главная проблема многих педагогов-математиков (особенно, преподающих математику в средней школе) – это крайне слабая психологическая культура и психологическая профессиональная подготовка. Впрочем, эта же проблема присутствует и у педагогов математики средних специальных и высших учебных заведений, естественно, с учетом специфики обучаемого контингента и требований стандартов и учебных программ. У вузовских преподавателей математики психологические компоненты профессиональной культуры нередко хромают «на обе ноги» (неумение вызвать интерес к предмету, большинство педагогов часто «съезжает» на тему «застращать» обучаемых текущим и итоговым контролем).
В связи с вышесказанным возникает мысль, что следовало бы вернуться к обсуждению (в рамках математического общества) идеи о новой Системе Ценностей, высказанной более полувека назад, известным швейцарским математиком и педагогом Питером Хенричем: «может быть, наша математика нуждается в новой Системе Ценностей? Системе Ценностей, в меньшей степени ориентированной на исследования в узкоспециализованных областях: на символы престижа, такие как публикация статей в солидных журналах, на бдительную охраняемую неприкосновенность профессиональной кухни преподавательской деятельности, в которую посторонние не допускаются. Эта новая Система Ценностей должна поощрять обмен, передачу и накопление математической информации, должна позволить излагать математику человеческим языком, вместо использования составленных из математических символов ребусов. В этой новой Системе Ценностей занятия математикой будут действительно интеллектуальной деятельностью, зовущей к новым рубежам, а не поведением робота, который следуя механической логике, перемалывает множество разрозненных задач» [18].
Что же касается генезиса и развития математической одаренности, то, как говорил Г.Харди, способности к математике имеют многие, но в силу обстоятельств, эти математические способности не получают должного развития. И в качестве примера приводил игру в шахматы, в которую многие играют: «игра в шахматы есть как бы насвистывание математических мелодий. Шахматные проблемы есть истинная математика, но эта математика в некотором смысле «тривиальна». Решение проблем шахматной партии есть не что иное как математическое упражнение (вся игра в целом – нет, ибо в ней присутствует еще психологический аспект)» [26].
Соглашаясь в принципе с замечательным чистым математиком, хотелось бы возразить по поводу психологического аспекта. По нашему мнению, психологический аспект является определяющим и в генезисе одаренности и в мотивации математического творчества.
Способностями к математическому познанию, на наш взгляд, обладает 95-98% всех нормальных людей, не имеющих серьезных патологий высшей нервной деятельности. Распространение же математической тупости и невосприимчивости к математическому познанию (так широко встречающееся во многих странах) связано прежде всего с социальными традициями, психологическими причинами и низким качеством преподавания математики. С этим также связано и преобладание в науке математиков мужского пола, потому как в обществе не приветствуется увлечение слабого пола математическим познанием. Правда, в СССР было необычайно много педагогов-математиков женщин, особенно в системе школьного образования. И надо сказать, что красота мир не спасла в данном случае. То есть, математическая наука и математическое образование, помимо эмансипации, требуют серьезных усилий для научной и педагогической творческой самореализации в сфере математического познания.
Всё же следует иметь в виду, что при определенных условиях (что нуждается в серьезном изучении) отдельные женщины-математики достигают самых значительных высот в науке и в математическом образовании. В качестве примера можно привести четыре случая (наиболее известных в истории математики). Это - александрийский математик Гипатия (конец IV - начало V века нашей эры). Одна из самых ярких представителей позднеэллинистической культуры: математик, астроном и философ [12]; Софья Ковалевская (1850-1891) – первая женщина математик-профессор, преподающая в европейском университете [15]; Эмми Нётер (1882-1935) – выдающийся математик первой половины XX века [8]; и Елена Сергеевна Вентцель (Долгинцева) – выдающийся советский российский математик, педагог и писатель (1907-2002) [16, 13]. И хотя В.И. Арнольд любил шутить на тему, что «математические способности профессора математики обычно наследует его зять», но в случае Гипатии, Э.Нётер и Е.С. Вентцель решающую роль в выборе математики, как вида деятельности, решил отец-математик. У Софьи Ковалевской наследование несколько по-сложнее: решающую роль в обретении интереса и уважения к математическому знанию сыграл дядя, старший брат её отца, который не был математиком, но с большим почтением относился к науке математике. Да еще и лекции профессора Остроградского, которыми вместо обоев была оклеена детская комната. Ну и, наверное, все же есть генетическое наследование: дедушка по матери у С.Ковалевской был геодезист-топограф и соответственно, отличный математик, а прадедушка был астроном, также не лишенный математического таланта.
Как, впрочем, бывают исключения – выдающийся советский математик Л. Понтрягин во многом состоялся как математик благодаря усилиям своей матери, которая вовсе не была математиком, но с предельной самоотдачей воспитала и образовала потерявшего зрение сына, как одного из самых замечательных математиков Советского Союза [21].
Все вышеозвученные примеры еще раз подтверждают мысль о решающем влиянии на становление математика в первую очередь социальных и психологических сопутствующих условий.
Переходя к психологической проблеме математического творчества, можно сказать, что несмотря на большой интерес к этой едва ли не главной проблеме в деятельности ученых математиков, она до сих пор не имеет однозначного и общепринятого объяснения и слабо изучена как самими математиками, так и психологами. И лучший материал по проблемам математического творчества мы получаем, чаще всего, из первых рук, т.е. когда сами выдающиеся математики в своих публикациях или автобиографиях делают подробное ретроспективное описание о том, как протекал творческий процесс в их сознании, и каким образом совершались математические открытия. Одним из наиболее известных математиков, оставивших подобные описания, был великий французский математик Анри Пуанкаре.
Часто цитируемая работа выдающегося французского математика Ж.Адамара, слегка паразитирующего на психологии творчества Анри Пуанкаре, на самом деле мало вносит ясности в протекание психологического процесса математического творчества [1]. Работа представляет собой небольшой курс лекций, прочитанный 80-летним профессором американским студентам, и уровень психологического осмысления в ней не является достаточно глубоким.
Кроме того, пожилой профессор допустил в этом лекционном курсе серьезный психологический «ляп», обозначив «здравый смысл» как «наше бессознательное». Может быть где-то во французско-американском фрейдизме бессознательное является одновременно здравым смыслом, но на наш прагматичный взгляд, здравый смысл не может существовать без осознания – на то он и здравый смысл.
Самый ценный фрагмент в данном труде Адамара это: «сообщение, адресованное мне профессором Романом Якобсоном, который помимо своих хорошо известных лингвистических работ проявляет глубокий интерес к психологическим вопросам. Вот оно: “знаки – необходимая поддержка для мысли. Для мысли, обращенной к обществу (стадия сообщения), и для мысли, находящейся в процессе подготовки к этому (стадия формулировки), наиболее обычной системой знаков является собственно речь; но внутренняя мысль, особенно когда эта мысль творческая, охотно использует другие системы знаков, более гибкие и менее стандартизированные, чем речь, и которые оставляют больше свободы, подвижности творческой мысли… среди этих знаков и символов надо различать с одной стороны, условные, общепринятые знаки и знаки индивидуальные, которые в свою очередь, могут подразделяться на постоянные знаки, употребляемые обычно, и знаки эпизодические, созданные ad hoc и участвующие лишь в одном созидательном акте”» [1].
По этому же поводу, Норберт Винер, весьма известный американский математик писал: «… я убежден, что если существует какое-то одно качество, которое отличает действительно талантливого математика от его менее способных коллег, то оно состоит в умении оперировать временными, только ему понятными символами, позволяющими выражать возникающие идеи на некоем условном языке, который нужен лишь на определенный отрезок времени. Если математик не обладает этим умением, он никогда ничего не достигнет, так как сохранить мысль в несформулированном виде абсолютно невозможно» [9].
Очень интересная и перспективная мысль о психологических особенностях математического творчества высказана В.А. Успенским: «понятие математического доказательства имеет те же психологические основы, что и понятие доказательства юридического, и поэтому так же зависимо от исторических обстоятельств» [25]. Сходные мысли на эту тему также высказывали А.Пуанкаре, Г.Вейль, Д.Пойа.
Замечательная работа Л. Морделла «Размышления математика» дает богатый материал по психологическим проблемам математического творчества: «любой аспект математического творчества изобилует трудностями – будь то изучение результатов, полученных другими, будь то решение проблем, поставленных другими или самим, будь то исследование нового… Изучение математики осложняется многими факторами. Чтобы следить за математическими аргументами, даже если они коротки, обычно требуется огромная концентрация внимания. Но часто вывод требует длинного доказательства, содержащего много промежуточных результатов. С трудом продираясь через эту чащу, причем не видя никакой связи с окончательной формулировкой теоремы в этих результатах, а часто и забывая  их, читатель начинает постепенно переутомляться массой деталей. Требуется большое усилие, чтобы уловить основную идею вывода, увидеть доказательство в целом» [20].
Хорошо рассказывает Л.Морделл о роли и значении памяти в математическом творчестве: «нелегко удерживать в памяти сразу большое число символов – их обилие мешает ясному восприятию сути дела… Плохая память усугубляет трудности в математике, особенно когда забываются предыдущие рассуждения. Как и многие другие математики, я обладаю плохой памятью и не могу вспомнить многие из собственных результатов, не говоря о том, что не могу получить их заново… Упомяну еще об одной своей статье, которая была написана четверть века назад, и оттиск которой был послан мной знаменитому европейскому математику. Десять лет спустя этот математик опубликовал почти идентичную работу. Тогда я послал ему еще один свой оттиск, выражая надежду, что он найдет его интересным. Он мне ответил, что действительно нашел мою работу интересной!» [20].
Вообще, с памятью у математиков часто происходят забавные казусы. Они нередко случается, переоткрывают и заново доказывают давно доказанные теоремы и доказательства.
Даже был в истории математики, или, возможно, в истории физики, такой забавный эпизод, когда А.Пуанкаре за 10 лет до А.Эйнштейна открыл принцип относительности. Минковский, друг А.Пуанкаре и учитель Эйнштейна рано посоветовал ему изучить теорию Пуанкаре, что Эйнштейн и сделал, не ссылаясь на Пуанкаре. Однако в одной статье 1945 года Эйнштейн признает рассказанное выше. Математическая часть специальной теории относительности также была опубликовано Пуанкаре до Эйнштейна, включая и знаменитую формулу Е=mc2 [5, 22].
Пожалуй, на этом забавном (а может быть и печальном) историческом эпизоде из жизни математиков (Эйнштейн ведь тоже отчасти был математиком, только, как говорили его однокурсники, весьма посредственным: домашние задания за него решала его первая, студенческая жена Милена) мы и завершим наш второй очерк.

ЛИТЕРАТУРА

1.Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Пер. с фр. – М.: Советское радио, 1970. — 152 с.
2.Арнольд В.И. Жёсткие и мягкие математические модели. 2-е изд. — М.: МЦ
НМО, 2008. — 32 с.
3.Арнольд В.И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН,2022. том 72, N3, С. 245-250.
4.Арнольд В.И. Наука математика и искусство математиков. Лекция в МГУ 24 июня 2008 г. Типография МГУ. 55 с. Режим доступа: https://math.ru/lib/files/pdf/via/VIA-sc-math.pdf
5.Арнольд В.И. Недооцененный Пуанкаре // Успехи математических наук, 2006, т.61, вып. 1(367), стр. 3-24.
6.Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. с фр. –  М.: Издательство иностранной литературы, 1963.  292 с.
7.Бурбаки Н. Архитектура математики / Перевод с французского Д.;Н. Ленского // Математика, ее преподавание, приложения и история, Матем. просв., сер. 2, 5, 1960, С. 99–112.
8.Вейль Г. Математческое мышление / Пер. с англ. и нем. – М.: Наука, 1989. – 400 с.
9.Винер Н. Я – математик. 2-е изд., стереотип. / Пер. с англ. – М.: Наука, 1967.
10.Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк 1 / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2020 № 12 (30). С. 29-42
11.Грекова И. Кафедра / Повести. – М.: Советский писатель, 1983. 542 с.
12.Гуртовцев А.Л. Гипатия, или растерзанная муза. - Мн.: Интернет-издание, 2016. — 30 с.
13.Е.С. Вентцель – И.Грекова. К столетию со дня рождения / Сост. Р.П. Вентцель, Г.Л. Эпштейн. – М.: Изд.дом «Юность», 2007. – 240 с.
14.Карпинская Р.С., Лисеев И.К., Огурцов А.П. Философия природы: коэволюционная стратегия. – М.: Интерпракс, 1995. – 352 с.
15.Ковалевская С.В. Избранные произведения. – М.: Сов. Россия, 1982. 352 с.
16.Левин В.И. Елена Сергеевна и Дмитрий Александрович Вентцели – выдающиеся военные ученые и педагоги. – СПб: Наукоемкие технологии, 2017. 53 с.
17.Манин Ю.И. Математика как метафора. – М.: МЦНМО, 2008. — 402 с.
18.Математика наших дней: Сборник / Сост. С.Я. Заславский. Перев. Н.Г. Гуревич. – М.: Знание, 1976. 64 с.
19.Математики о математике / Левин В.И. - М.: Знание, 1972. — 48 с. - Вып. 12 (Сер. Математика и кибернетика)
20.Морделл Л.. Размышления математика. Пер. с англ.  — М., Знание, 1971. 32 с.
21.Понтрягин Л. С. Жизнеописание Льва Семёновича Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г.,Москва. – М.: Прима В, 1998. — 302 с.
22.Пуанкаре А. О науке: пер. с франц.- М.: Наука, Главная редакци физико-математической литературы, 1983. - 560 с.
23.Суханов А. П. Информация и прогресс. - Новосибирск : Наука, 2008. - 270 с.
24.Тростников В.Н. Всемирный конгресс математиков в Моске. – М.: Знание, 1967. 64 с.
25.Успенский В.А. Апология математики. – М. : Альпина нон-фикшн, 2017. 622 с.
26.Харди Г.Г. Исповедь математика // Математики о математике : сб. статей / Пер. с англ. – М.: Знание, 1967. С. 4-15.

Опубликовано: Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк второй / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2021. № 1 (31)С. 41-57.