О гиперстепенях

     — ...по мере необходимости во всё большем количестве вычислений человеку пришлось сначала придумать цифры (или их аналоги, как у древних славян), потом появились знаки, обозначающие те или иные простейшие действия с числами.
     Однажды кому-то пришла в голову мысль упростить запись сложения одинаковых чисел — так появилось умножение. Спустя ещё некоторое время догадались заменить перемножение одинаковых сомножителей возведением в степень. Так почему бы не предположить, что когда-нибудь возникнет потребность и в аналогичном преобразовании для степени — этакая «гиперстепень», где показатель степени сам содержит степени? Тут только важно договориться, в какой последовательности определять итоговый показатель степени.
     Для наглядности рассмотрим несколько простых примеров.
     (Примечание. Ввиду ограниченной возможности использования различных символов на Прозе.ру будем возведение в степень обозначать знаком ^).
     Пусть в основании будет число 2, а показатель степени (например 4) запишем в квадратных скобках: 2^[4]. Запись этого выражения словами выглядит так: «два в степени два в степени два в степени два в степени два», то есть число в квадратных скобках соответствует количеству словосочетаний «в степени». Ничего, кроме ужаса, такая формулировка не вызывает, а потому перейдём непосредственно к пошаговым вычислениям.

     1. 2 в степени 2:

                2^[1] = 2^2 = 4

     2. (2 в степени 2) в степени 2:

                2^[2] = 4^2 = 16

     3. ((2 в степени 2) в степени 2) в степени 2:

                2^[3] = 16^2 = 256

     4. (((2 в степени 2) в степени 2) в степени 2) в степени 2:

                2^[4] = 256^2 = 65536

     Если договориться о возможности положить в основание степенного показателя другое число (например 3), получим запись иного вида: 2^3[4]. Действуя в той же последовательности, можно попытаться вычислить значение этого выражения:

     1. 2 в степени 3:

                2^3[1] = 2^3 = 8

     2. (2 в степени 3) в степени 3:

                2^3[2] = 8^3 = 512

     3. ((2 в степени 3) в степени 3) в степени 3:

                2^3[3] = 512^3 = 134217728

     4. (((2 в степени 3) в степени 3) в степени 3) в степени 3:

                2^3[4] = 134217728^3 = ...

     Количество разрядов в этом числе уже таково, что редкий настольный калькулятор способен точно отобразить его на своём дисплее, а ведь в качестве примера взяты самые маленькие числа натурального ряда! Нетрудно заметить, что подобные вычислительные манипуляции имеют итогом поистине астрономические значения (либо — если аналогичным образом подойти к отрицательным показателям степеней — практически не отличающиеся от нуля).

     Можно рассмотреть иную интерпретацию первоначально предложенной записи, если отталкиваться от показателя степени, а не от основания. Для такого случая во избежание путаницы заменим квадратные скобки уголковыми (2^<4>):

     1. 2 в степени 2:

                2^<1> = 2^2 = 4

     2. 2 в степени (2 в степени 2):

                2^<2> = 2^4 = 16

     3. 2 в степени (2 в степени (2 в степени 2)):

                2^<3> = 2^16 = 65536

     4. 2 в степени (2 в степени (2 в степени (2 в степени 2))):

                2^<4> = 2^65536 = ...

     Как видно, и в данном случае мы очень быстро подобрались к гигантским числам.

     Подобный подход можно применить и к числам, представляющим последовательное извлечение корня n-ной степени. Тогда показатель степени запишется в виде дроби — так же, как и для обычных чисел.
     (Примечание. Поскольку при публикации на Прозе.ру нет возможности вывести на печать символ квадратного корня, вместо него придётся использовать общепринятую комбинацию букв SQRT, как в приведённом ниже примере).

       2^1/2[4] = SQRT (SQRT (SQRT (SQRT(2)))) = 1,0442737...

     Для более наглядного представления рассмотрим несколько примеров применительно к миру, в котором мы живём. За точку отсчёта возьмём привычное окружающее пространство с геометрическим эталоном 1 метр, а за основание — число 2.
     Для показателя [1] удаление по вертикали от исходной точки составит 4 метра, то есть немного выше потолка.
     Для показателя [2] удаление по вертикали от исходной точки составит уже 16 метров, это примерно соответствует крыше современного четырёхэтажного дома.
     Следующий шаг даст удаление 256 метров, что составляет почти половину высоты Останкинской телебашни.
     Показатель [4] выводит нас на высоту, превышающую 65 километров от поверхности земли, а [5] — на 4295 километров — уже космос.
     При показателе [6] мы удаляемся почти на восемнадцать с половиной миллионов километров, что составляет примерно одну восьмую расстояния от Земли до Солнца, а значение [7] будет соответствовать уже 340 триллионам километров — это без малого 36 световых лет, что почти в девять раз превышает расстояние до ближайшей звезды (Проксима Центавра).
     Если идти в обратном направлении и рассматривать отрицательные показатели степени, то при значении [-1] опустимся до 25 сантиметров от поверхности и, будучи размером с новорождённого младенца, ощутим себя Гулливером в Стране великанов.
     Для показателя [-2] удаление от поверхности составит около 7 сантиметров, что погружает нас в масштаб детских игрушек.
     При показателе [-3] расстояние до поверхности составит около 4 миллиметров, и малозаметные прежде неровности превратятся в существенные детали рельефа, а песчинка будет выглядеть размером с яблоко.
     Показатель [-4] позволил бы наблюдать клеточное строение биологических объектов, а значение [-5] — структуру ДНК.
     Описать, как будет выглядеть окружающее пространство при показателе [-6] и дальнейшем уменьшении масштаба, не представляется возможным, поскольку выходим на размеры, соответствующие внутреннему строению атома и электромагнитным колебаниям.

     Спрашивается: для чего нужны столь экзотические манипуляции? В настоящее время сколь-нибудь практического применения не просматривается, но кто знает, что их ждёт в будущем? Быть может, они окажутся востребованы при операциях с условно бесконечно большими или условно бесконечно малыми величинами, ну а пока пусть остаются лишь очередной математической фантазией.
     Благодарю за внимание!
    
    
     25.VII.2021


     Примечание.
     Любителям математической экзотики также предлагается публикация «О квазиконечных периодических дробях» (http://proza.ru/2016/03/31/6).