Введение в философские проблемы математики. Оч. 4

Аннотация. В последнем очерке-эссе автор приводит некоторые из возможного спектра этико-эстетических многообразий (оценок и суждений) о математике, как части духовной культуры  и сопровождает их своим субъективным мнением. Красоту математики все реже и реже могут видеть те люди, что не являются посвященными в мир математики, и этот мир для них – «тайна за семью печатями». Феномен «вавилонской башни» создан полуторавековой интенсивной деятельностью по формализации математического знания на основе претензий всемогущества методов всепроникающей логики. Задается автор и вопросом: куда ведет формализация и догматизм в математике? В математике XX века (да и второй половины XIX века) наиболее ярко обозначены две линии. Одна идет от философа И.Канта, другая – от логика Фреге. В целом, более доминирует вторая. Но первая линия часто доставляет беспокойство постоянными инновациями и ощутимыми достижениями. Многие «прикладники» и «системные аналитики» часто бывают похожими на формальных логиков – они вдруг совершенно забывают, что большинство понятий, объектов и процессов являются нечеткими по своей сути, и с этим надо считаться в первую очередь. Автор отмечает, что самое перспективное направление математической отрасли знания в XXI веке – это археология математики. Современные историки математики собирают чайными ложками взбитые цветные сливки на поверхности математического айсберга. Всё остальное погружается в пучину океана математического безмолвия, и навсегда исчезает из поля зрения научного знания.

Ключевые слова: история математики, интуиционизм, математическая логика, формализация, системный анализ, философия математики, психология математики

Эпиграф 1. Система трех операций (действия над классами) показывает нам, что мышление над качественными формами, основанное на этих трех операциях, не обнимает собой даже алгебрарического мышления, не говоря уже о математическом мышлении вообще… А поэтому, если действительно все процессы логического мышления основаны на началах теории качественных умозаключений, то необходимо будет признать логическое мышление не только не общим, но, наоборот, крайне специальным и притом весьма элементарным, т.к. оно может быть поставлено в параллель только с теми начатками количественного мышления, которые соответствуют элементарной стороне алгебры.
П.С. Порецкий

Эпиграф 2. Математика не ставит себе вовсе целью вечное созерцание собственного пупка, она имеет отношение к природе, рано или поздно она приходит в соприкосновение с ней.
А. Пуанкаре

Эпиграф 3. Интуиция, опыт исследователя, рассуждения по аналогии являются такими же «законными» способами получения информации, как и методы, использующие математические модели и чисто логические построения, связанные с их анализом. Эти методы не взаимозаменяемы. Как бы ни были совершенны математические методы, они никогда не заменят догадки, озарения. И не только в нематематических дисциплинах, но даже и в самой математике.
Н.Н. Моисеев

Данный очерк, четвертый по счету, завершает скромный цикл очерков-эссе [9, 10, 11] посвященных необъятной и вечно актуальной теме философских  и психологических проблем математики и системного анализа, которую, естественно, удалось рассмотреть только в самом первом приближении и глубже осознать некоторые исторические причины перманентного кризиса в математическом познании мира.
Для завершающего очерка снова использован метод эпиграфов-камертонов, создающий настрой на определенное восприятие текста.
В первом случае, это высказывание российского логика-математика П.С. Порецкого (по времени относящееся к началу 80-х годов XIX века), где звучит близкая автору очерка идея о качественной ограниченности логического мышления, сыгравшей свою негативную роль в процессе избыточной и сомнительной формализации математической науки и математического образования в XX веке.
Во втором случае, мысль выдающегося математика Анри Пуанкаре о том, что математика (как мы понимаем это изречение) – есть инструмент познания природы, а не только способ погружения в дебри изощренной абстракции и восхищенного самолюбования свой способностью играть в отвлеченные символические игры.
В третьем случае, в высказывании российского (советского) математики Н.Н. Моисеева, мы еще раз отмечаем ту важную и неодолимую роль интуиции в математике и во всех формах научного познания, направленного на адекватное постижение окружающего нас мира.
Одна из основных идей, задающих тон в книге «Апология математики» В.А. Успенского [32], говорит о математике, как части духовной культуры.
Пожалуй, идея эта гораздо более философская, чем собственно математическая. В «Философских проблемах математики» Б.Л. Яшина [35] ей посвящена целая завершающая глава «Математика и культура». Надо сказать, что взгляды и мнения философов и математиков по этому поводу будут весьма различны, и весь возможный спектр такого рода этико-эстетических многообразий (оценок и суждений) даже и представить весьма сложно, не говоря о его прозрачном и однозначном отображении в одном небольшом очерке. Да и пока что цель сама, такого рода и подобия, видится трудно реализуемой. Только что разве коснуться её отдельным краем, в виде краткого размышления. Иным, романтическим математикам, сама их наука открывается как искусство.
Тот же выдающийся математик XX века Герман Вейль воспринимал занятие математикой – подобно мифотворчеству, культуре или музыке – это одна из наиболее присущих человеку областей его творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии [34].
Г.Харди, апологет чистой математики, утверждал, что «красота – есть первый пробный камень для математической идеи, потому как в мире нет места уродливой математике» [33].
Но эту удивительную красоту все реже и реже могут видеть те люди, что не являются посвященными в мир математики, и этот мир для них – «тайна за семью печатями». То есть, так как таких людей явное большинство (от 99,01% до 99,98%), то красота становится мифической и недоступной почти для всех, за исключением самих математиков. И как сказал однажды Н.Винер (один из отцов современной кибернетики и информатики): «подчеркнутая отчужденность математиков связана столько же с их интеллектуально-эстетическим снобизмом, сколько с реальными трудностями контакта с непрофессионалами» [8].
Но как не удивительно, с каждым годом всё более и более, сами математики с трудом находят общий язык и взаимопонимание в своей «вавилонской башне, в скоплении автономных дисциплин, изолированных друг от друга по своим целям, методам и даже по языку» [5].
И во многом, этот феномен «вавилонской башни» создан полуторавековой интенсивной деятельностью по формализации математического знания на основе претензий всемогущества методов всепроникающей логики.
Как говорил замечательный советский российский математик В.И. Арнольд: «выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой, и характерными приметами формализованного преподавания являются изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств» [2].
Российский философ науки В.В. Ильин, характеризуя научно-познавательные течения и программы XX века замечает: «не выдержала испытания догма о якобы абсолютно строгом характере математики… Многие положения, утверждения и проблемы математики – не разрешимы. Наличие неразрешенных проблем вытекает (в общем случае) из теоремы Геделя о неполноте – далее представляется внушительный (но далеко не полный) перечень доказанных неразрешимостей математических проблем, одна их которых (на наш взгляд) является наиболее наглядной и показательной: “попытки уточнить понятие алгоритма (теории лямбда- конверсии Черча, рекурсивных функций Клини, финитных комбинаторных процессов Поста и др.) привели к общему выводу о невозможности алгоритма, решающего проблему разрешимости» [16].
Погружаясь в историю математики XX века, почти неизбежно вспоминаешь одного из выдающихся мыслителей этого века, фантаста и футуролога С.Лема: «любая, даже самая точная наука развивается не только благодаря новым теориям и фактам, но и благодаря домыслам и надеждам ученых. Развитие оправдывает лишь часть из них. Остальные оказываются иллюзией» [20].
И здесь следует небольшое авторское отвлечение: неизбежно вспоминаешь выдающегося немецкого математика Д.Гильберта с его титанической борьбой за идеальную формализацию математической науки. Борьбой с Кронекером, Пуанкаре, Брауэром…
Формализация Гильберта в математике сродни формализации Витгенштейна в философии – своеобразный гегелевский абсолютизм с претензией на установление границ абсолютного знания. Кстати, тот же Витгенштейн посетил в марте 1928 года в Вене выступление математика-интуициониста Брауэра, и, выслушав его доклад «Математика, наука и язык», где утверждалось, что математическое рассмотрение – это волевой акт человека и что не может быть и речи о причинной связи действительного мира независимо от человека» [25], серьезно пересмотрел свои философские взгляды на мир и смог преодолеть многолетний психологический кризис, что впоследствии выразилось в его поздней философии, гораздо более разумной, чем его «Логико-философский трактат» [12].
Если задавать себе вопрос с философской и этической (одновременно) точки зрения: куда ведет формализация и догматизм в математике? То чаще всего видится превращение математики посредством бесконечных спекуляций математической логики  в искусственную технологию манипулирования познанием – в своеобразную схоластику XX века, перекочевавшую в XXI век, идеал которой, превращение человеческого разума в искусственную счетную машину, бесконечно манипулирующую обилием изобретаемых символов, максимально погруженных в безжизненную абстракцию…
Да и вообще, все 23 знаменитые проблемы Гильберта, как считал В.И. Арнольд, вовсе не главное в математике XX века. По нашему субъективному мнению (не опасаясь криков многочисленных в математике беотийцев), вполне вероятно, это ложный путеводный ориентир, который предложил выдающийся математик, исходя из своего интереса и предпочтения. Великие ведь тоже ошибаются. Чаще – по мелочам, но иногда и в главном.
Кто будет спорить со мной, что Огюст Коши не великий математик? Однако же умудрился сыграть свою трагическую роль в судьбе двух юных математиков гениев: Нильса Хенрика Абеля и Эвариста Галуа. И причем, вероятнее всего, сделал это в полном сознании ума. Разве это не удар по его горячо любимой математической науке? Почему бы и Д.Гильберту, оппонируя Пуанкаре, не придумать такую «мышеловку» для математиков XX века?
На этом авторское отвлечение прерывается, и мы снова возвращаемся в русло истории традиционной математики.
Условно говоря, в математике XX века (да и второй половины XIX века) наиболее ярко обозначены две линии. Одна идет от философа И.Канта, другая – от логика Фреге. Разное время, разные измерения, но тем не менее, уже больше сотни лет в методологических основаниях математики имеется устойчивый водораздел между этими двумя линиями. Чаще всего первую обозначают: Кант – Пуанкаре – Брауэр (конструктивизм – конвенционализм – интуиционизм). Вторую: Фреге – Кантор – Гильберт (условно: логицизм – формализм – классицизм).
В целом, более доминирует вторая. Но первая линия часто доставляет беспокойство постоянными инновациями и ощутимыми достижениями.
Считается, что «конструирование математических понятий в мире интуиции – одна из сторон учения Канта о математической интуиции, оказавшая огромное влияние на формирование методологии интуиционизма» [25].
Вопрос истоков интуиционизма достаточно глубоко рассмотрен М.И. Пановым в монографии «Методологические проблемы интуиционистской математики». Со своей стороны можем только подчеркнуть, что И. Кант весьма основательно оценил потенциал математического познания: «Расширение познания в математике и возможность новых открытий простирается до бесконечности» [18]. И его значение для развития человеческого разума: «само достоинство математики (этой гордости человеческого разума) основывается на том, что она научает разум усматривать порядок и правильность, а также замечательное единство движущих сил природы в общем и в частностях в размерах, далеко превышающих ожидания философии, опирающейся на обыкновенный опыт, и таким образом дает повод и поощрение для применения разума, выходящего за пределы всякого опыта и снабжает философию, посвятившую себя этой цели, превосходными материалами, подкрепляющими её исследования, насколько их природа допускает это, с помощью соответствующих наглядных представлений» [17].
Конструировать понятие (по Канту) – это значит показать соответствующее ему созерцание, т.е. наглядное представление [25]. Ему созвучен А. Пуанкаре: «математики действуют, применяя процесс «конструирования»; они «конструируют» сочетания все более и более сложные» [26]. Кавычки могут здесь означать, что Пуанкаре понимает это конструирование в некоторой степени условно, и, вероятно, не полностью по Канту.
Герман Вейль (вероятно, уже под влиянием Брауэра): «мы должны считать, что математика есть прежде всего конструкция. Используемые в математике системы аксиом лишь устанавливают границы области значений тех переменных, которые участвуют в конструкции» [6].
Да и сам Д.Гильберт, на наш взгляд, изрядно нарушал строгие законы формальной логики и «грешил» конструктивизмом, как, например, в «Основаниях геометрии», где он стремится избегать закона исключенного третьего, и строит геометрию, не прибегая к теории множеств, ведя речь о конечных конструкциях, и не пользуясь аксиомами непрерывности [27].
Собственно, по нашему субъективному мнению, весь интуитивизм Брауэра вырос из стремления доказать, что в математике огромное значение имеет содержательная, а не формальная сторона [25].
Как сказал один умный человек (он же – известный логик и философ): «ни один человек, ни одно человеческое сообщество и ни одна эпоха не могут думать сразу обо всем» [31].
Так вот большинство ярых сторонников логицизма и формализма в математике (и в других научных направлениях) видимо не догадывались о существовании такого полезного правила-ограничения.
Еще раньше, в XIX веке, в России бытовал такой любопытный литературный персонаж по имени Козьма Прутков. Он, скорее всего, не занимался ни логикой, ни математикой, но тоже изрек хорошее правило-ограничение, полезное для современных почитателей и творцов математической логики: «Если у тебя есть фонтан – заткни его и дай ему возможность отдохнуть!». Это, конечно же, ирония, но в ней присутствует здравое зерно мысли.
Сколько было в истории науки попыток создания единственной и непротиворечивой всеобъемлющей логики? И что мы имеем в настоящее время? Засилье всевозможных теорий множеств, математических и иных альтернативных логик, нередко забивающих само содержание и смысл математического познания и науки. И здесь трудно не согласиться с Брауэром, считавшим, что логика в математике выполняет только роль стенографии и вспомогательного технического средства в процессе математического творчества.
Как утверждал интуиционист Гейтинг: «чтобы строить математические теории, не нужно никаких философских предпосылок, но ценность, которую мы приписываем этой деятельности, зависит от наших философских идей». И главное: «если действительно путь науки – формализация языка, то интуционистская математика не принадлежит к науке в этом смысле слова» [13].
Давайте, к примеру, рассмотрим один небольшой фрагмент из работы Альфреда Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» [30]: «логические понятия пронизывают всю математику… и логические законы постоянно меняются – будь то сознательно или бессознательно – в математических рассуждениях.
Создатели современной логики, вводя слово «или» в круг своих рассмотрений, хотели, может быть бессознательно, упростить его значение и сделать последнее более ясным и независимым от всех психологических факторов, особенно от наличия или отсутствия знания. Вследствие этого, они расширили употребление слова «или», и решили рассматривать дизъюнкцию всяких двух высказываний как осмысленное целое, если бы даже и не существовало связи между ними по содержанию или по форме; и таким образом, было решено сделать истинность дизъюнкции – подобно истинности отрицания или конъюнкции – зависимой только от истинности её членов. Поэтому тот, кто пользуется словом «или» в смысле современной логики, будет рассматривать выше приведение выражение 2*2=5 или Нью-Йорк – большой город как имеющее смысл или даже истинное высказывание, ибо его вторая часть несомненно истинна».
И вот скажите сейчас (после этого утверждения) о строгости логической науки (в частности – математической логики), которая может (достаточно регулярно) порождать абсурд и произвол?
Не зря, видимо, А.Пуанкаре утверждал, что «логика приводит к уродствам». А более полная его мысль об отношении к логике звучала более демократично: «кроме того, не одна только логическая правильность суждений, ведущих от аксиом к теоремам, должна нас занимать. Разве вся математика исчерпывается правилами совершенной логики? Это было бы все равно, как если бы мы сказали, что всё искусство шахматного игрока сводится к правилам хода пешек. Из всех построений, которые могут быть скомбинированы из материалов, доставляемых логикой, нужно сделать выбор. Настоящий геометр и производит этот выбор здраво, руководствуясь верным инстинктом или же некоторым смутным сознанием, о – я не знаю какой именно – более глубокой и более скрытой геометрии, которая одна и составляет ценность воздвигнутого здания.
Искать происхождение этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии, которые чувствуются, но словесно не формулируются – вот прекрасная задача для философов, которые не допускают, что логикой исчерпывается всё…
Можно ли приняв однажды принципы логики, я уже не говорю открыть, но даже доказать все математические истины, не прибегая снова к интуиции» [26].
Ранее А.Пуанкаре утверждал, что «чувственная интуиция есть самое обыкновенное орудие изобретения в математике».
Аналогично, Брауэр отвергал за логикой право быть «инструментом для добывания математических истин». Считая, что математика рождается на интуитивной, дологической стадии, а за ней возникает язык как средство фиксации и передачи математических мыслей. Однако, это средство не точное, ибо изначально не точен человеческий язык. Логика – это всего лишь механическая имитация языка, все недостатки которого сразу же становятся недостатками логики. Поэтому единственным источником математики является интуиция» [25].
И здесь самое время вспомнить о введенном Брауэром в конце 40-х годов XX века понятия «творящего субъекта» или «идеального математика», не получившее дальнейшей разработки, прежде всего потому, что еще достопочтимый Фреге рекомендовал категорически изгонять психологизм из математики  (впрочем, это была целая эпоха борьбы с «психологизмом» в естествознании, которая и до нашего времени успешно продуцирует свои архетипы в подсознании многих современных математиков).
Замечательный российский математик Ю.И. Манин замечал, что психологические рассуждения Брауэра апеллируют, в основном, к элементарному самонаблюдению, и «не принимают в расчет достижений научной психологии и нейрофизиологии», поэтому «сверхупрощенные концепции математической интуиции, предлагаемые в полемическом задоре, далеки от реальности» [21].
Критика интуиционизма и тогда и сейчас в моде, как ни странно и у нас, и на Западе. Но парадокс в том, что кроме Канта, Пуанкаре, Брауэра и Г.Вейля никто так глубоко не проникал в осмысление математической интуиции.
И более того, именно самонаблюдение в математике дает наиболее достоверные результаты о математической интуиции, а вовсе не бихевиоризм, когнитивная психология или даже микропсихоанализ Сильвио Фанти. Хотя, на тему математической интуиции сквозь призму трансперсональной психологии много размышлял В.В. Налимов – но это уже отдельная тема, выходящая за рамки данного очерка. Кроме того, ранее мы уже отмечали, какие замечательные описания (самонаблюдения) по поводу математической интуиции встречаются в автобиографических текстах Н.Винера, Л.Понтрягина, Н.Моисеева и В.Арнольда.
И еще раз возвращаясь к замечательной книге М.И. Панова «Методологические проблемы интуиционистской математики» хотелось бы процитировать из неё фразу многими нелюбимого у нас (как ни странно – и на Западе тоже) философа «анархиста» Пола Фейерабенда: «вызывающие бурные восторги дополнения к философии в виде формальной логики придало смелости невежеству, обеспечив его органоном. Больше чем-либо другое это позволяет бесплодным отцам позитивизма отрицать их недостатки, и утверждать, причем не без гордости, что их интересует не прогресс познания, а его «яснение» или его рациональность» [цит. по 26].
Как считал Г.Вейль, Брауэр осуществил в своей математике идею, чтобы каждое суждение имело бы свой собственный наглядно реализуемый смысл – что весьма похоже реализуется помимо интуицинистов [13, 19], также и конструктивистами [22].
Более того, утверждал Г.Вейль, «на уровне суждений аксиоматический метод есть чистейшей воды конструктивизм» [6].
В философии науки отмечается, что основатель конвенционализма Анри Пуанкаре утверждал, что в основе научных теорий лежат соглашения (конвенции) между учеными и их выбор обусловлен соображением удобства, простоты и т.д., критериями, непосредственно не связанными с их истинностью [29].
Весьма близкой позиции к конвенционализму придерживался и Г.Вейль: «построения математического ума являются одновременно и свободными и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос – заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения» [7].
Для сравнения А. Пуанкаре: «никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая; та или иная геометрия может быть только более удобной» [26].
На наш взгляд, парадигма конвенционализма ни в коей мере не вступает в непреодолимое противоречие с требованиями объективности научного знания. И если теоретически системы взаимонепереводимы и образуют разные «картины мира» (как утверждал польский логик и философ К.Айдукевич [29], то выбор системы подчинен прагматическим критериям (простоты, эвристичности, максимальной экспланативности и др.).
А. Пуанкаре подчеркивал такой выбор также с позиции прикладного значения математики: «математические теории не имеют целью открыть нам истинную природу вещей; такая претензия была бы безрассудной. Единственная цель их – систематизировать физические законы, которые мы узнаем из опыта, но которых мы не могли бы даже и выразить без помощи математики» [26].
А если мы коснемся более широко проблем развития и применения прикладной математики не только в физике, которая является своеобразным испытательным полигоном и форпостом прикладных математических конструкций и экспериментов, а обратим свое внимание на развитие и применение идей и математических построений в системном анализе, что «широко простирает руки во все дела человеческие», то с особой наглядностью можем убедиться в том, что «любой факт может быть обобщен бесконечным множеством способов, из которых надо выбирать, а при выборе можно руководствоваться только соображениями простоты» [26].
«Простое описание делает анализ довольно простым, если это описание адекватно реальности», - так часто утверждал Н.Н. Моисеев, любивший повторять, что «помимо математического аппарата есть целый ряд методов преодоления неопределенностей» [23].
Очень похожей позиции в обосновании математического моделирования придерживался В.И. Арнольд, говоривший о преимуществе «мягких» моделей, необремененных более сложными и громоздкими математическими построениями» [2].
Многие «прикладники» и «системные аналитики» часто бывают похожими на формальных логиков – они вдруг совершенно забывают, что большинство понятий, объектов и процессов являются нечеткими по своей сути, и с этим надо считаться в первую очередь, ибо втискивая нечеткий процесс в «жесткую модель» прикладной математики, они ведут себя как «слон в посудной лавке» (или как в песне Андрея Макаревича: «Пусть весь мир прогнется под нас!»).
«Мягкое» моделирование (В.И. Арнольд) и «мягкие» методы системного анализа имеют безусловное преимущество (в большинстве практических случаев) перед жесткими моделями и жестким формальным системным анализом.
В качестве примера применения «мягких» методов системного анализа можно привести метод анализа иерархий [28], одинаково охватывающий как факторы, по которым возможно проведение определенных измерений, так и неосязаемые факторы, по которым требуются суждения. В конечном счете, обнаруживается, что так называемые «твердые» оценки не имеют значения сами по себе, отдельно от их утилитарной интерпретации.
Метод анализа иерархий обеспечивает простые и прямые средства для измерения взаимозависимости в системе.
Если эта система живая – она может проявлять волю. Так обычно действуют все социальные системы от индивидуума до социума любого уровня сложности. Такая система выбирает и задачи, и средства их выполнения. Аккоф и Эмери называют такие системы целеустремленными [1].
Число свойств всякой системы неограничено велико. Для каждого конкретного исследования существенны лишь некоторые из них. Существенность тех или иных свойств может меняться во времени [1].
Для моделирования и анализа систем разного уровня сложности, в т.ч. и целеустремленных систем, важное значение имеет простота и удобство отображения процессов и взаимосвязей системы.
«Теория графов дает простой, доступный и мощный инструмент построения моделей и решения задачи упорядочения объектов… Кроме языков теории графов задачи упорядочения объектов можно формулировать в терминах теории матриц с элементами ноль-один, или в терминах теории конечных множеств… Имея в своей основе простейшие идеи и элементы: точки, соединенные линиями, теория графов строит из них богатое многообразие форм, наделяет эти формы интересными свойствами, и в результате становится полезным инструментом при исследовании самых разнообразных систем» [3].
Конечно же, идя по пути простоты и удобства в процессе моделирования и анализа целеустремленных систем, никогда не следует забывать о реалистичности и адекватности отображаемых объектов мира. Как утверждал Н.Н. Моисеев: «более невероятная и более реалистическая точка зрения состоит в том, что мир наполнен уникальными объектами, которые связаны в единое целое уникальной системой связей» [24].
Как свидетельствует испанский философ Х.Ортега-и-Гассет, беседовавший с Германом Вейлем в 20-х годах XX века, последний не исключал того, что «сложное здание» строгой науки может придти в упадок и от него может остаться  лишь «гротескный» памятник, если хотя бы одно поколение утратит способность его понимать» [4].
Учитывая, какое наступление ведется  в последние десятилетия на математическую науку и математическое образование во многих ведущих странах мира, можно говорить о том, что поколение XXI века уже начинает существенно терять математическую культуру. Пройдет несколько десятков лет и вполне вероятно, что существо споров между интуиционистами, формалистами и конструктивистами понимать будет некому…
Еще около ста лет назад Г.Вейль излагал мысль о том, что, несмотря на почтенный возраст, математика отнюдь не страдает прогрессирующим склерозом, вызванным все возрастающей сложностью» [6].
Советский математик Б.В. Гнеденко, около 45 лет назад, уже отмечал: «ежегодно публикуются тысячи научных работ и доказываются десятки тысяч новых теорем, а также предлагаются новые теории» [14].
«При этом нередко получается так, что некоторые источники нового в математике не признаются в такой степени, как другие, или даже вовсе отрицаются» [14].
Если говорить более откровенно, то в активном научном обороте оказывается не более 5% публикуемых математических трудов. Даже большая часть монографий оказывается невостребованной у читающей математической публики, не говоря об отдельных статьях. Из оставшихся 95% можно составить несколько градаций, типа: прочитано 1-3 раза, процитировано 1-2 раза, непрочитано и не процитировано ни одного раза – к последней градации, вероятно, можно отнести не менее половины всех публикаций (в основном ведь читают названия, и если название вызвало некоторый интерес – могут прочесть аннотацию, т.е. несколько предложений. Чудаки, которые читают все статьи подряд в каждом математическом журнале, уже все вымерли в XX веке, а если кто-то и сохранился, то, скорее всего, в изолированном рефугиуме и без всяких контактов с коллегами).
Таким образом, из месяца в месяц, из года в год, происходит накопление текстов, заполненных всевозможными математическими построениями (теориями, доказательствами, теоремами и новыми открытиями различных граней математического взаимодействия со всевозможными символами и знаками). Раньше это накопление происходило в виде печатных книг и журналов, в виде рукописей и автографов-оригиналов всех математиков разного ранга и уровня. Сейчас – это накопление в значительной мере переместилось в электронную форму – но результат один и тот же. Бо;льшая часть продуцируемых (творимых) научных текстов погружается в пучину невостребованности.
И это весьма серьезная проблема, потому как никто вам не даст гарантии, что невостребованы тексты только бездарные, только эпигонские и маловразумительные. Вполне вероятно, что если проводить целеустремленные раскопки  (создав для этого новую целеустремленную систему), то окажется, что извлеченные отдельные самородки будут действительно потрясать воображение даже видавших виды математиков. В данном случае я не имею ввиду тексты математических «графоманов» (никак не связанных с теорией графов, а скорее открывающих перпетуум мобиле и полный расчет квардатуры круга в теории многомерных множеств), а вполне разумные, вполне научные математические тексты, которые отличаются особой оригинальностью, и далеки от общепринятых шаблонов сиюминутного научного мейнстрима.
Поэтому, опять же – на наш субъективный взгляд – самое перспективное направление математической отрасли знания в XXI веке – это археология математики. Современные историки математики собирают чайными ложками взбитые цветные сливки на поверхности математического айсберга. Всё остальное погружается в пучину океана математического безмолвия, и навсегда исчезает из поля зрения научного знания. И только мощная система археологических раскопок математических публикаций и архивных материалов позволит отыскивать невостребованные математические шедевры и непризнанных математических гениев (таких как Эварист Галуа или Рамануджан), хотя бы задним числом, спустя 50 лет после их физической смерти.
Скажем, кто например, из читающих эту статью математиков (удивлюсь, если таковые всё таки найдутся) может сказать, насколько востребованы в российской или мировой математике тезисы Виллема Бета о необходимости синтеза логики, оснований математики, истории точных наук и психологии мышления, а также теории семантической логики, использующей концепцию возможных миров?
А в какой степени востребованы сейчас в современной науке математические идеи Фердинанда Гонсета, Генри Гудмена, Василия Васильевича Налимова и многих других философов математики, оказавшихся вдали от общества, в котором правит бал математическая элита нашего времени?
О том, что в современной математике присутствуют симптомы прогрессирующего склероза, вызванного всевозрастающей сложностью, думаю, сегодня признался бы и сам Герман Вейль. Дифференциация и специализация внутри математической науки достигла невероятной степени, что трудно сейчас предполагать возможный синтез математического знания на основе единого научно обоснованного (и главное – понятного многим, а не отдельным уникумам типа Джейкоба Лурье) системно-логического фундамента, обладающего наглядностью, убедительностью и не лишенного определенного здравого смысла – иначе может просто погибнуть математическое образование, когда понятия, теоремы и доказательства будут доступны пониманию одних только компьютеров.
Возможно, теория категорий с её высокими (и всевозможными) топосами, на основе принципов интуиционистской логики [15] сможет переаксиоматизировать «вавилонскую башню» современной математики.
Хочется верить, что человеческое измерение в этой науке еще не исчерпано, и философско-психологическое осмысление методологии и методов математики поможет увидеть новые пути и новые экологические ниши древнего искусства (все таки, по большому счету, высокая математика – это высшее научное искусство).

ЛИТЕРАТУРА

1.Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах / Пер. с англ. Под. ред. И. А. Ушакова. — М.: Советское Радио, 1974. — 272 с.
2.Арнольд В.И. Жёсткие и мягкие математические модели. 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2008. — 32 с.
3.Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети: пер с англ. - М.: Наука, 1974. - 368 с.
4.Бирюков Б.В. «Свет не вне меня, а во мне» в кн. Г.Вейль Математическое мышление. – М.: Наука, 1989. – С. 338-359.
5.Бурбаки Н. Архитектура математики / Перевод с французского Д.;Н. Ленского // Математика, ее преподавание, приложения и история, Матем. просв., сер. 2, 5, 1960, С. 99–112.
6.Вейль Г. Математическое мышление / Пер. с англ. и нем. – М.: Наука, 1989. – 400 с.
7.Вейль Г. Полвека математики. Пер. с англ. – М.: Знание. 1969. — 48 с. — (Математика, кибернетика).
8.Винер Н. Я – математик. 2-е изд., стереотип. / Пер. с англ. – М.: Наука, 1967.
9.Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк 1 / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2020 № 12 (30). С. 29-42
10.Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк 2 / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2021 № 1 (31). С. 41-57
11.Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк 3 / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2021 № 2 (32). С. 48-62
12.Витгенштейн Л. Философские работы в 2-х т./ Пер. с нем. – М.: Гнозис, 1994. 828 с.
13.Гейтинг А. Интуиционизм. Введение / Пер. с англ. – М.: Мир, 1965. – 199 с.
14.Гнеденко Б.В. Об источниках нового в математике// Современная культура и математика. М.: Знание, 1975. – С. 35-51.
15.Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. Пер. с анг. - М.: Мир, 1983. — 487 с.
16.Ильин В.В. Теория познания. Введение. Общие проблемы / В.В. Ильин. – М.: Издательство Московского университета, 1993. – 168 с.
17.Кант И. Критика чистого разума / Пер. с нем. – СПб.: ИКА «Тайм-аут». 1993. 472 с.
18.Кант И. Пролегомены /Пер. с нем. – М.:Академический проект, 2008. 174 с.
19.Клини С.К., Весли Р.Е. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций. М.: Наука, Физматлит, 1978. - 271 с.
20.Лем С. Сумма технологии. М.: АСТ, Terra Fantastica, 2002. - 669 с.
21.Манин Ю.И. Доказуемое  и недоказуемое. – М., 1979.
22.Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике / Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. 135 с.
23.Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. – 488 с.
24.Моисеев Н.Н. Современный рационализм / Н. Н. Моисеев; Рос. науч. гуманитар. фонд, Междунар. независимый экол.-политол. ун-т. — М.: МГВП КОКС, 1995. — 376 с.
25.Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984. 223 с.
26.Пуанкаре А. О науке: пер. с франц.- М.: Наука, Главная редакци физико-математической литературы, 1983. - 560 с.
27.Рашевский П.К. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопросв – В кн.: Д.Гильберт. Основания геометрии. М.; Л., 1948, С. 30
28.Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. Перевод с английского Р. Г. Вачнадзе, под редакцией И. А. Ушакова - М: Радио и связь, 1991. 224 с.
29.Современная западная философия : Словарь / Сост. Малахов В.С., Филатов В.П. – М.: Политиздат, 1991. 414 с.
30.Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. Пер с англ. – М.: Гос. изд-во иностранной литературы. 1948. 321 с.
31.Уайтхед А. Избранные работы по философии. Пер. с английского. - М.: Прогресс, 1990. - 720 с.
32.Успенский В.А. Апология математики. – М. : Альпина нон-фикшн, 2017. 622 с.
33.Харди Г.Г. Исповедь математика // Математики о математике : сб. статей / Пер. с англ. – М.: Знание, 1967. С. 4-15.
34.Яглом И.М. Герман Вейль. – М.: Знание. 1967. 48 с. (Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика ; 10/1967).
35.Яшин Б.Л. Философские проблемы математики: история и современность. – М./Берлин: Директ-медиа, 2018. 209 с.


Опубликовано: Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк четвертый / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2021. № 3 (33). С.18-37.