Логос. Что такое математика. Часть 1

               А.А. Вотяков



               Л  О  Г  О  С





        (Русский  стиль  мышления)









                Москва   1994 .





    Издание осуществлено на полиграфической базе "ИЧП Антонов"


    Эта книга отвечает на вечные вопросы:
    откуда  берутся  правильные  мнения,
    что такое знание и можно ли управлять
    своей интуицией.  Книга рассчитана на
    тех, кто интересуется сутью процессов
    продуктивного  мышления.  Она  многое
    может  дать  читателю,  но  и  многого
    требует от него.






                (С)  Вотяков А.А.  2004





                Введение.

   - "Русский стиль мышления" - выходит, что русские мыслят иначе, чем остальные народы?
   - Да, иначе. Достаточно посмотреть, как они из танков расстреливали свой "Белый дом", чтобы понять это.
   - Но это же ужасно!
   - Это ни плохо, ни хорошо. Просто они мыслят иначе и считают это правильным.
   - Тогда почему они так мыслят?
   - А вот это уже интересный вопрос и эта книга дает на него ответ. Однако читать все три тома: "ЛОГОС и магия", "МАГИЯ и логос", "Логос плюс Магия", - видимо, не все из вас захотят, поэтому настоящее введение призвано частично осветить проблему "русского стиля мышления".
    Еще совсем недавно наш букварь начинался словами: "Мы не ра-бы. Ра-бы не мы". Ни одна страна не была так озабочена проблемой рабства. Очень похоже на то, что русское слово "славяне" и английское "slave" имеют один и тот же корень - для людей Запада славяне всегда были рабами. Для правящих классов России - крепостными, быдлом, "населением".
   Раб и закон - их взаимоотношения всегда были трагичны. Законы пишутся не для рабов. Даже законы природы воспринимаются рабом иначе, чем его господином. Не обязательно раб глуп, ленив или несчастен - вспомним хотя бы Эзопа, но он чаще всего находит поддержку и опору не в законах и юристах, а внутри себя, у своей собственной интуиции. Тело его страдает, однако душа не опутана казуистикой законов, мнимыми обязанностями перед обществом. Раб хуже питается, хуже отдыхает, однако душа его свободна, интуиция в прекрасном состоянии, его не уговоришь стать Президентом Соединенных Штатов, директором крупного банка, ведущим спортсменом или просто богатым бездельником, потому что он беззаботен и этим счастлив (чего свободному жителю Запада понять не дано).

   В условиях хронической  нехватки  информации логика не срабатывает, ее место в жизни раба занимает интуиция - способность поступать правильно в логически противоречивой ситуации. Особую роль начинает играть тот отдел нашего подсознания, который осуществляет обработку информации в условиях ее острейшего недостатка. Это еще не логика, но уже и не гадание на кофейной гуще. Древние греки высоко ценили эту способность и называли ее Логосом. Когда Аристотель создавал свою Логику, он пользовался Логосом. Когда Демокрит формулировал атомную теорию строения вещества, он тоже пользовался Логосом. Когда Декарт формулировал свое видение мира, ставшее основой парадигмы современного естествознания, он неявно использовал Логос.
   В этой работе Логос (наконец-то) будет контролируемо использоваться в рассуждениях. Подобно Декарту, мы тоже будем с надеждой всматриваться в окружающий нас мир, однако в отличие от него увидим совершенно иную картину. Подобно ему, открывшему "на кончике пера" закон инерции, мы тоже откроем новый закон природы, однако тут же усомнимся в том, что выражению "закон природы" можно придать мало-мальски приемлемый рациональный смысл.
   Широкое привлечение Логоса - неотъемлемая часть "русского стиля мышления". Что кажется кощунственным с точки зрения закона, может не быть таковым с точки зрения Логоса.
   В данной работе осуществлена демонстрация возможностей Логоса. Эта книга является одновременно и учебником и сборником упражнений, поэтому читать ее следует несколько раз. Из непроницаемых глубин подсознания Логос постепенно извлекается и предъявляется для всеобщего обозрения. Эта книга предоставляет вам возможность не только познакомиться с работой своего Логоса, но и научиться управлять ею.






                Том первый.







                Л    О    Г    О    С

                и

                м а г и я .





   МАГИЯ  В

   ЕСТЕСТВОЗНАНИИ.




       Мне лично кажется
 чрезвычайно  удивительным , что
 прогнозировать  можно, пользуясь
 математикой,   то  есть,  просто
 следуя   определенным   правилам,
 не  имеющим  никакого  отношения
 к   тому,   что   происходит   в
 действительности.


                Ричард Фейнман.










          Магия в Естествознании. Введение.

   Хотя наука и магия несовместимы, они, тем не менее, замечательно уживаются друг с другом. Для того чтобы понять, почему это происходит, нам, прежде всего, следует выяснить, что их объединяет.
   Сферой деятельности человека, являющейся отрицанием магии, является технология. Здесь и далее слово "технология", за неимением более подходящего, употребляется для обозначения таких видов деятельности, результат которых не зависит от места, времени и деятеля, которого, в принципе, можно заменить автоматом. С этой точки зрения обжиг горшков и вообще все виды деятельности, к которым Боги непричастны, являются технологией, а любовь в многообразных ее проявлениях (религия, в частности) - магией.
   После этого мы в состоянии понять, что науку и магию объединяет то, что они не являются технологиями (и не только потому, что в науке человека нельзя заменить автоматом). Более того, можно было бы сформулировать следующее общее правило: чем дальше отстоит конкретная отрасль науки от технологии, тем в большей степени она является магией. В своих замечательных лекциях по физике Ричард Фейнман пишет:

   "Из-за нехватки места мы не коснемся также связи физики с техникой, с промышленностью, с общественной жизнью и военным искусством. Даже на замечательной связи, объединяющей физику с математикой, мы не задержимся. (Математика, с нашей точки зрения, не наука - в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт.) Кстати, не все то, что не наука, уж обязательно плохо. Любовь, например, тоже не наука. Словом, когда какую-нибудь вещь называют не наукой, это не значит, что с нею что-то неладно: просто не наука она, и все".

   В этой книге нас не будет интересовать вопрос, какая из наук является более естественной. Но когда мы зададим себе другой вопрос: какая наука является в большей степени технологией: математика или физика, то после тщательного изучения этой непростой проблемы мы окажемся перед неизбежным выводом - такой наукой является математика, хотя магии в ней более чем достаточно.
   Сформулируем теперь основную идею. Технология и магия  пронизывают всю нашу жизнь от рождения до  самой смерти. На глобусе нашей деятельности чистая магия и чистая технология как бы образуют два полюса, тогда как конкретные виды деятельности, - это острова и континенты, которые одними своими частями расположены ближе к технологии, а другими, наоборот, ближе к магии. На экваторе магия и технология плавно переходят друг в друга. Чтобы четко ориентироваться в окружающем нас мире необходимо остро ощущать, местоположение этого экватора. Эта книга научит вас этому.
   Однако нам предстоит проделать нелегкий и непростой путь. В процессе чтения вы убедитесь в том, что до нас очень многие исследователи вплотную подходили к решению этой проблемы, но неизменно отступали назад, потому что ее нельзя преодолеть наскоком. Фейнман, Эйнштейн, Пуанкаре, Ньютон, Аристотель, Платон, Сократ, - вот далеко не полный список авторов чрезвычайно близко подходивших к решению этой проблемы и осветивших ее со всех сторон. В принципе, все, что нам нужно знать, мы уже знаем и интуитивно пользуемся этим, надо только привести эти знания в систему и начать пользоваться ими сознательно.
   Разные науки пользуются разными методами выявления истины. Доказательство физики очень часто не является таковым с точки зрения чистой математики, а многие выводы, которые могут быть получены при помощи аксиомы индукции, лишены физического смысла. Например, утверждение: "если на Земле уже живет свыше одного миллиарда человек, то еще один человек прожить на ней сможет" - является истинным, однако вывод, основанный на аксиоме индукции, "следовательно, на земле может прожить бесконечно много людей", является неверным.
   Ввиду того, что математика строится из сравнительно небольшого набора истин и имеет хорошо разработанную теорию доказательства, мы начнем выявление места магии в науке именно с нее. Эти исследования составят первый, раздел работы "Математика без магии". Второй раздел "Физика без магии" останется, в отличие от первого раздела, незаконченным (вполне возможно, что его вообще никогда и никому не удастся закончить).

                Раздел   первый









    МАТЕМАТИКА   БЕЗ

          МАГИИ.








Быть может заниматься
 наукой - это лишь неутомимо все
 вновь и вновь открывать очевидное".
         Р. Шовен









    ЧТО   ТАКОЕ


    МАТЕМАТИКА?









   "От незнанья все возникает,
 Но все растворяется в знаньи".

Шанкара. "Незаочное постижение".



                Что такое математика. Введение.

   С математикой мы знакомимся довольно рано и в этом смысле она просто уникальна, являясь единственной точной наукой, которую начинают изучать с первого класса и которой в той или иной мере вынуждены пользоваться практически все. В этой ситуации вопрос: что такое математика, - неизбежно должен был бы относиться к числу стандартных детских почему и зачем, на который можно сразу дать тривиальный и исчерпывающий ответ: "Пойдешь в школу - узнаешь".
   Жизнь, однако, устроена иначе, и этот вопрос редко интересует детей, недоумевают по этому поводу обычно люди взрослые и эрудированные. И даже специалист, профессиональный математик, всю свою жизнь посвятивший служению этой науке, затрудняется сформулировать ответ на самый, казалось бы, для него простой и естественный вопрос.
    Известна легенда, что великий русский математик А.М. Ляпунов ответил однажды так: "Математика - это то, чем занимаюсь я и Стеклов".
    И подавляющее большинство ответов математиков имеют тот же самый смысл, но тратят они на это не 8 слов, а значительно больше
    Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер в своем чрезвычайно остроумном докладе "Непостижимая эффективность математики в естественных науках", сказал:
   "...я бы мог определить математику как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам, над специально придуманными понятиями. Особо важная роль при этом, разумеется, отводится придумыванию новых понятий"
   Видный американский математик Гаррет Биркгофф в своем знаменитом докладе "Математика и психология" высказал такое мнение:
   "Математика, как самая умственная отрасль наук, имеет естественное сродство с психологией - наукой об уме. То, что они не соприкасались ближе обусловлено отчасти нашим незнанием их обеих, но еще больше тем обстоятельством, что математики и психологи мыслят различными понятиями".
    Великий советский физик лауреат Нобелевской премии, академик Л.Д. Ландау выразил свое отношение к математике в свойственной ему лаконичной манере, деля весь массив наук (математические, естественные и гуманитарные) на:
        "Сверхъестественные науки, естественные науки и неестественные науки".
    Эту "сверхъестественность" математики Юджин Вигнер выразил следующими словами:
   "Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им".
   Уже эти примеры достаточно убедительно показывают, что на вопрос, что такое математика, нельзя ответить кратко и исчерпывающе, ибо ни среди потребителей этой науки, ни среди ее творцов нет единодушия по этому вопросу. Похоже, здесь мы сталкиваемся с той же самой ситуацией, которая описана в древней индийской притче, где четверо слепых обменивались мнениями, после того, как они ощупали слона: суждение каждого из них было в значительной мере правильным, однако оно противоречило мнению других и полной картине, которую способен дать один единственный взгляд со стороны. Но если мы захотим увидеть математику "со стороны" нам придется проделать длинный и нелегкий путь.
   Во первых, надо найти позицию, с которой эта необъятная наука будет видна целиком (не на микроуровне с ее чрезвычайно сложно нагромождающимися и переплетающимися деталями, как ее видит профессиональный математик, и не с какой-то одной стороны, как ее видит прикладник, а целиком со всем созданным и еще не созданным). И, во-вторых, придется потратить какое-то время на то, чтобы развить в себе новое интеллектуальное чувство, новый вид управляемой сознанием интуиции, которая позволит перейти от "осязания" математики или испытания ее "на вкус" к "видению" ее.
   Чтобы не отпугнуть читателя, сразу оговорюсь, что не намерен примирять непримиримые точки зрения на математику. Мы будем заниматься иным: анализом уже существующих точек зрения и синтезом новой теории доказательства, краеугольный камень которой был заложен еще Сократом. Как это ни странно, никто не отнесся к намерениям великого философа серьезно, и камень втуне пролежал до наших дней. Что касается пессимистических высказываний известных математиков:
"Бесполезно было бы пытаться сколько-нибудь полно описывать взаимодействие между математикой и физическими науками", - то они будут расцениваться как указания к выполнению прямо противоположных действий.
   В самом деле, поскольку "взаимодействие" между двумя науками в действительности наблюдается, то не является ли причиной непреодолимых трудностей синтеза именно невозможность объяснения столь важного явления. Но возможно ли в принципе найти наглядное объяснение тому, что математика оказалась столь тесным и непостижимым образом связанной с физикой? Оказывается можно, если предположить, а затем и доказать, что существует не одна интеллектуальная игра, называемая математикой, а как минимум две такие игры, в которые постоянно играет наш мозг.
   В первую интеллектуальную игру играет наше сознание, тогда как во вторую, фактически "антиинтеллектуальную игру" - наша интуиция. В интеллектуальную игру - математику, логику, нас учат играть в школе, тогда как второй игре не учит никто. Правила этой игры и наше умение как-то пользоваться ею, видимо, "зашиваются" в наш мозг на генетическом уровне. А ведь эту игру тоже можно извлечь из глубин бессознательного, вспомним, что когда-то способность мыслить логически тоже находилась в безраздельной власти бессознательного, пока Аристотель не сумел извлечь ее на сцену сознания и оформить ее в виде логики. Когда мы с вами проделаем эту работу, то станет ясно, что, как физическая, так и математическая интуиция базируются на правилах, или, вернее сказать, законах этой более глубокой игры, являющейся по существу скорее физикой, чем математикой.
   В математическом творчестве эта игра выполняет только подсобную роль, подсказывая результат и схему, придерживаясь которой, можно записать доказательство, тогда как в физическом творчестве она служит главным двигателем того, что принято называть физической интуицией.
   О том, насколько странной и возможно даже неприемлемой для вашего сознания окажется эта игра, Вы сможете выяснить в последних главах этого раздела. Именно тогда Вы сможете понять, почему так трудно ее было извлечь из бессловесных глубин  бессознательного,  и  именно  тогда Вы сможете оценить уровень динамичности Вашего интеллекта и узнать, способны ли Вы научиться активно управлять своей интуицией или по-прежнему предпочитаете пассивно пользоваться ее услугами.






Ч а с т ь  1.


   Критический    анализ

   основных  предрассудков,

   связываемых с математикой.




   Как много зла в чрезмерной
 тонкости и как она враждебна
 истине.

        Сенека Луций Анней.





                Глава 1.   Математика - это вовсе не игра.

   Не так-то просто теперь установить, кто первым высказал эту странную мысль, что по сути своей математика является игрой, но еще труднее объяснить, почему такая поверхностная идея оказалась столь привлекательной. Несомненно только, что большую часть вины за стремительное распространение этой заразной идеи следует возложить на знаменитый монументальный трактат А.Н. Уайтхеда и Б. Рассела "Principia Mathematica".
   Гаррет Биркгофф в своем докладе "Математика и психология" особо подчеркнул:
 "...громадное значение этого труда заключается в его основном тезисе: всякое математическое мышление, в принципе, может быть механически истолковано как манипуляция символами согласно предписанным правилам, некое подобие шахматной игры. Это утверждение я буду называть ниже тезисом Рассела".
   Гильберт и Нейман тоже считали, что "математику следует рассматривать как комбинаторную игру с основными символами", а в наши дни уже ни один уважающий себя математик не упустит возможности разъяснить своим недостаточно компетентным согражданам, что математика - это всего лишь игра по определенным правилам наподобие шахмат, и даже посетовать на дремучий консерватизм тех ошибочных представлений, которые излагались в школе около 40 лет назад. Не могу удержаться от того, чтобы не привести какой-нибудь пример на этот счет:
   "В старых школьных учебниках геометрии бытовала фраза: "Справедливость аксиом подтверждается многовековым опытом человечества". Этот тезис является отражением позиции Аристотеля; однако с точки зрения "чистого" математика (если только существуют совсем уж чистые математики!) он не имеет никакого смысла. В самом деле, как может "многовековой опыт человечества" (или какие угодно иные аргументы) подтвердить (или опровергнуть) тот факт, что слон на шахматной доске ходит исключительно по диагонали, - ведь этот акт представляет собой условное соглашение, входящее в определение слона как шахматной фигуры, и никакой проверке не подлежит".
   Для того чтобы ясно увидеть, почему математика не имеет права считаться игрой, рассмотрим конкретный пример какой-нибудь игры, например, те же самые шахматы.
    Шахматиста конечно можно представлять себе и упрощенно, как механическое устройство, обученное передвижению шахматных фигур согласно зафиксированным правилам, однако  подобное  убогое  представление  может  возникнуть только у того, кто совсем не умеет играть в шахматы: ходов, например, не запомнил и фигуры еще путает; кто всю трудность игры видит именно в способности безошибочно узнавать фигуры и, не нарушая правил, передвигать их по доске. И что интересно, даже такой, с позволения сказать, "знаток" шахматной игры уже способен без особых усилий (хотя, быть может, всякий раз  сверяясь  со своей записной книжкой) проверить правильно ли играет (или играл), скажем, чемпион мира. А так как "знаток" затрачивает на проверку значительно меньше времени, чем чемпион на свою игру, то у него (естественно, на основании таким образом приобретенного личного опыта) только укрепится убеждение, что даже чемпион мира не вполне хорошо запомнил, как следует переставлять по доске шахматные фигуры, не нарушая довольно мудреных правил древней игры.
    С другой стороны, тот, кто умеет и любит играть в шахматы, не видит более в жесткости правил игры циничного посягательства на свободу перемещения по шахматной доске. Ему открывается новая форма свободы, поистине широчайшие возможности "облапошить" противника, путем мысленного просмотра многочисленных вариантов продолжения игры и выбора среди них наилучшего; а помогают ему в этом те самые жесткие правила, которые на первых порах ему так сильно мешали.
    На этом уровне понимания игры, перемещения фигур только фиксируют последовательность этапов шахматного творчества, тогда как суть шахматной игры всегда лежит вне шахматной доски. Он удивит математика еще одной  странностью,  оказывается, записать шахматную партию может почти каждый, тогда как нетривиально ее прочесть не всякому удается, поэтому особым почетом пользуются те, кто наделен такой редкой способностью - это так называемые шахматные комментаторы. И, наконец, еще одна неожиданность, когда в комментариях вам встретится выражение "здесь шахматист допустил ошибку" или "противник сделал непонятный ход", то это не значит, что в этом месте в записи партии была обнаружена ошибка, или, что, делая этот ход, шахматист не по правилам передвинул фигуру. Между прочим вот эти особенности и присущи каждой игре, но совсем не присущи математике, и даже более того в математике все это обстоит как раз наоборот. Даже признанные мастера по этому "виду спорта" допускают ошибки именно в записи, именно в том, что делают ходы, не разрешаемые правилами, то есть они, несмотря на титанические усилия, иногда оказываются  вынужденными показать, что под давлением каких-то внутренних обстоятельств, они не могут не играть в какую-то другую игру (а может быть и не игру) и панически боятся того, что в конце концов их кто-нибудь в этом уличит.
   Так что же, искренне удивитесь Вы, неужели на всем свете нет ни одного человека, играющего честно в эту самую игру, которая, по мнению Гильберта, является математикой? В том то и дело, что хотя на свете есть много самых разных чудаков, но именно вот таких почему-то нет. Теоретически можно представить себе, что кто-то настолько уверовал в тезис Рассела, что решил освоить эту самую игру. Он выучил правила, накупил бумаги и стал играть честно. Как Вы думаете, можно ли теперь назвать его математиком? Да даже если он будет играть в эту игру по 16 часов в сутки, каждый день, на протяжении 50 лет, все равно язык не повернется назвать его математиком.
   Математика - это никакая не игра (я просто вынужден сказать Вам эту неприятную новость), это - наука. И хотя нет ни одной игры, которая могла бы претендовать на высокое звание науки, математики почему-то получают удовольствие от того, что могут сказать, что такая серьезнейшая и фундаментальнейшая отрасль научного знания, как математика, является игрой, несмотря на то, что это противоречит не только здравому смыслу, но и, наконец, тому, что деньги, на которые они покупают свой хлеб насущный, им платят не в Монте-Карло, а в кассах серьезных научных учреждений из фондов, предназначенных на развитие науки. Только сознательно закрывая глаза на все эти особенности математики, можно продолжать называть ее игрой.
   В действительности, процесс доказательства не столько напоминает игру, сколько процесс сборки: информация попадает  на  некую  разветвленную  сеть конвейеров, где ее обрабатывают шаг за шагом, выполняя каждый раз одну из элементарных операций, и на выходе получают результат, своего рода готовое изделие. Математик при этом выполняет сразу и роль изобретателя, и роль конструктора, и роль технолога. Он обычно хорошо знает, что он хотел бы получить на выходе, и даже представляет, какую структуру должна иметь эта сеть конвейеров. Однако теорема не может считаться доказанной, а алгоритм построенным, пока им не написана "технологическая карта обработки", то есть пока доказательство не доведено до такого состояния, когда его можно без опасений публиковать.
   К интерпретации математики в рамках этого образа мы позже вернемся. В заключение этого параграфа хотелось бы отметить еще одну странность. Довольно часто после того, как автор уже изложил содержание тезиса о том, что математика является игрой, он обычно в той или иной форме высказывает также и сомнения в ценности этого тезиса. Так Гаррет Биркгофф в том же самом докладе "Математика и психология", выдержка из которого была процитирована в самом начале этой главы, говорит:
   "Тезис Рассела, что символическая логика свела чистую математику к своего рода шахматной игре, был технически неверен. Конечно, не исключено, что удастся изобрести другую формальную систему, свободную от таких недостатков, и тем самым оправдать это воззрение, но, судя по всему, большинство математических логиков сегодня настроено на этот счет не очень оптимистически".
   Подобно ему Яглом И.М., как бы желая смягчить эффект от процитированного выше утверждения, пишет через 100 страниц в той же самой книге:
    "Мы широко использовали аналогию между математикой и шахматами. Но насколько она полна, эта аналогия? Ведь, скажем, от индийских погонщиков (и дрессировщиков) слонов умения играть в шахматы обычно не требуют, считая, что знание привычек шахматных слонов в профессиональном отношении им не понадобится; напротив, при подготовке будущих инженеров всегда настаивают на основательном знании ими геометрии, полагая, что для них это не только полезно, но и необходимо. Известно, что ни в одном университете мира нет шахматного факультета, но математические факультеты (и отделения) есть практически во всех - видимо человечество все же привыкло совершенно по разному относиться к "математической" и к шахматной игре".

     Глава  2.   Математика - это не язык.

   Галилео Галилей считал:
    "Философия написана в той величественной книге, которая постоянно открыта у нас перед глазами (я имею ввиду Вселенную), но которую невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не узнать те письмена, которыми она начертана. Ее язык - язык математики, и эти письмена суть треугольники и другие геометрические фигуры, без которых невозможно понять в ней ни единого слова: без них мы можем лишь вслепую блуждать по беспросветному лабиринту".
   Ту же мысль короче выразил выдающийся американский физик Джошуа Уиллард Гиббс (1839-1903), с научным творчеством которого во многом связано становление современной научной картины мира: при обсуждении на совете Йельского университета вопроса о том, чему надо в подготовке студентов уделять главное внимание - математике или (древним) языкам, молчаливый Гиббс недовольно произнес: "Но ведь математика - это тоже язык".
   Однако за 100 лет со времен Гиббса, а тем более за 300 лет со времен Галилея, воды утекло довольно много и воззрения на математику за это время существенно изменились, так что просто необходимо даже познакомиться с мнением какого-нибудь профессионального математика наших дней, к примеру, Ю.И. Манина:
   "Работа ЭВМ, если отвлечься от ее воплощения "в железе", состоит в обработке и порождении символьных текстов. Таким образом, она представляет собой языковую деятельность, понимаемую широко... Языковая деятельность вычислительной машины является математической в некотором  глубоком значении этого слова, даже когда речь идет о программе, переводящей с венгерского языка или сочиняющей одноголосые мелодии. Сама по себе "математическая речь" человека - удивительный пасынок-вундеркинд естественной речи. Структура и семантика языка математики в какой-то мере поняты благодаря огромной работе специалистов по математической логике".
   Казалось бы, все правильно, однако эта только что нарисованная картина не только не способствует прояснению ситуации, в которой оказалась математика наших дней, но, наоборот, окончательно ее запутывает. Действительно, согласимся на время с Ю.И. Маниным, и будем, как и он, считать, что математическая деятельность (не важно чья, вычислительной машины или человека) неразрывно связана с порождением символьных текстов. Но ведь по воде, а тем более по воздуху или плазме, писать не будешь, следовательно,  математика  оказывается  неразрывно  связанной с твердым состоянием вещества и является всего только одним из многочисленных эффектов физики твердого тела.
   Но имеем ли мы право сделать вывод в этой ситуации, что обитатели планет, поверхность которых сплошь покрыта  водой, никогда не создадут математики, как бы далеко не продвинулись они в своем развитии? Конечно, нет. Разумнее было бы допустить, что запись текста - это второстепенный процесс в математической деятельности, некое подручное средство, позволяющее преодолеть досадные эволюционные особенности человеческой памяти. И все же, какую бы память мы не взяли, в той или иной мере, она обязательно использует свойства твердости; но, в таком случае, почему же тогда математика так успешно справляется и с остальными состояниями вещества: жидким, газообразным, плазменным и даже с вакуумом? Короче говоря, либо нам придется признать, что математика - это какой-то вид магии, либо допустить, что память, а значит и язык (ибо язык без памяти существовать не может), выполняют в математике только второстепенную роль.
   Практика, то есть опыт взаимодействия математики с миром физических явлений решительно высказывается в пользу второго, казалось  бы, совершенно неприемлемого предположения. Действительно, многие теоремы математики  "непостижимо эффективно" описывают реальные процессы, а ведь у природы нет ни языка, ни памяти, пользуясь которыми она могла бы воздействовать на процесс так, чтобы он протекал в согласии с той или иной теоремой, значит, она и без памяти и без языка прекрасно знает всю прикладную математику со всем, что в ней уже доказано, и чего еще доказать не удалось. "Знает" практически (не будучи даже знакомой ни с идеями, лежащими основаниях математики, ни с их конкретными формальными реализациями), видимо потому, что просто не способна поступать иначе, так как дееспособность ее сильно ограничена. В отличие от природы, дееспособность нашего разума ограничена значительно слабее, поэтому-то он и может свободно порождать любые символьные химеры. Для ограничения этой способности Аристотелем  была  разработана  система  жестких  правил, регламентирующих условия перехода от посылок к следствию из них, то есть была изобретена логика - "механическое подспорье", которое сдерживает способность разума безудержно плодить интеллектуальные химеры. Однако вот что важно, в нашем разуме существует еще и такая часть, дееспособность которой радикально ограничена (ответственность за ее формирование и функционирование следует возложить на дарвиновские процессы эволюции), ограничена настолько, что она просто не может не предчувствовать поведение природы. Многословная и легкомысленная компонента нашего сознания может не считаться с мнением этой бессловесной компоненты, может даже не подозревать о том, что она вообще существует, однако в некоторых ситуациях мы оказываемся вынужденными пользоваться ее способностью оставаться в согласии с природой, иными словами, вынуждены  пользоваться  нашими врожденными способностями принимать правильные решения, частным случаем которых являются и математические способности.
   Память, язык, доказательство, запись, - нужны математикам для того, чтобы передать, сделать доступным восприятию другого разума некоторое глубокое прозрение, обычно называемое математическим открытием, совершенное математической интуицией. Гаррет Биркгофф, сравнивая наш мозг с вычислительной машиной, говорит:
"Надеюсь, предыдущее обсуждение убедило вас, что мозг представляет собой, по меньшей мере, гибридную вычислительную машину, зависящую существенным образом от наших непрерывных чувств: слуха, зрения, мышечного движения и пр."
Но почему он ничего не сказал о языке? Почему не добавил,  обладающую языком - специальным средством дискретной природы, при помощи которого она обменивается информацией с другими экземплярами машин той же самой серии? Видимо, тоже сомневался в том, что язык играет важную роль в математике.
   Подведем предварительный итог: представление, что  математика является языком по-видимому далеко не безупречно, более того вполне возможно, что, обладая разными истоками в сознании, они являются диалектическими противоположностями, извечными, непримиримыми врагами. И, коль скоро  в  нас зашевелился червь сомнения, естественно было бы вернуться назад и поискать "червоточину", из которой он выполз. Разберем для этого поподробнее самое обширное и самое красноречивое из цитированных выше утверждений, сначала только первую его часть:
   "Работа ЭВМ, если отвлечься от ее воплощения "в железе", состоит в обработке и порождении символьных текстов. Таким образом она представляет собой языковую деятельность, понимаемую широко. До появления вычислительных машин языковая деятельность была исключительной прерогативой человека и возможность ее частичного отчуждения вызвала огромный общественный интерес".
    Вообще говоря, это утверждение выглядит довольно странным как по форме, так и по содержанию. Проанализируем его сначала по форме. Для этого заменим в нем ЭВМ на какую-нибудь другую машину, например, на печатный станок первопечатника Ивана Федорова, а остальные компоненты выберем по обстоятельствам. В результате всех этих преобразований получим аналогичный текст:
    "Работа печатного станка, если отвлечься от его воплощения "в железе", состоит в порождении литературных текстов. Таким образом она представляет собой писательскую деятельность, понимаемую широко. До появления печатных станков писательская деятельность была исключительной прерогативой грамотного человека и возможность ее почти полного отчуждения вызвала огромный общественный интерес."
   Все ясно - получилась пародия, следовательно, по форме анализируемое утверждение является скорее внушением, чем доказательством.
   Проанализируем теперь это же самое утверждение по содержанию. Для этого придется рассмотреть саму работу, которую делает ЭВМ, отвлекаясь, естественно, от ее воплощения "в железе". А выполняет ЭВМ чрезвычайно примитивную работу: просто последовательно считывает текст программы и попутно осуществляет кое-какие операции; то есть она выполняет работу заведомо более простую, чем ту которую делает обычная живая клетка, когда считывает биологическую информацию для того, чтобы попутно осуществить синтез белка, и чуть-чуть более сложную, чем та, которую выполняет музыкальная табакерка; она тоже считывает информацию со своего барабана и попутно, совершая некоторые операции, вызванивает свою бесхитростную мелодию. При чем тут языковая деятельность?
   Языковая деятельность с обработкой и порождением символьных текстов не имеет ничего общего, только совершенно неграмотный человек решится настаивать на том, что языковый текст является символьным текстом, что страница книги составлена из отдельных букв, разделенных широкими пробелами на строчки, что сами строчки, в свою очередь, разделяются пробелами на более короткие кусочки. И все волшебство чтения для него заключается в том, что какую бы книгу он ни открыл, какую бы строчку он в ней не выбрал, каждая группа букв (не один пот прошибет, пока вспомнишь, как они называются) имеет смысл, складываясь в какое-то уже известное слово. Но если человек умеет читать, то он уже не замечает ни букв, ни строк, ни страниц, и как бы парадоксально это ни звучало, он не  сможет Вам ответить: ни сколько букв, ни сколько слов, строк, страниц или даже книг он уже прочитал. То есть один и тот же языковый текст произведет на двух этих  людей совершенно различное впечатление, тогда как действительно символьный текст - одинаково удручающее.
   Не уподобляется ли математик, позволяющий себе утверждать, что вычислительная машина способна к языковой или математической деятельности, простому графоману, который тоже, подходя чисто формально к труду писателя, ценит в нем только одну способность, но не способность хорошо писать, которой он по его мнению тоже обладает, а способностью пробить публикацию. Убеждение, что только печатный станок делает человека писателем, фактически ничем не отличается от убеждения, что способность составлять формализованные тексты, является самой важной способностью, характеризующей математическое творчество.
   Еще одна подозрительная особенность. Хорошее знание языка почему-то не облегчает изучение математики, более того, специалисты в области языка, писатели, например, или поэты, не знают, не любят и даже не понимают математики, а математики, в свою очередь, не подарили миру ни одного выдающегося литературного произведения, хотя они любят, ценят, и может быть даже завидуют мастерам языка. С другой стороны, всем известно, что существует глубокая и плодотворная связь между математикой и физикой, но почему-то  физику  никто не решается назвать языком, хотя ее тексты больше похожи на языковые тексты, чем тексты математики.
   За каждым словом языка обязательно скрывается какая-то конкретная реальность, и именно наличие этой реальности  позволяет расшифровывать даже мертвые языки, причем чем больше слов содержит исследуемый фрагмент текста, тем легче его расшифровать. Напротив, отсутствие конкретной реальности за символами математики не позволяет ответить даже на, казалось бы, существенно более простой вопрос: не выражают ли один и тот же смысл два внешне различающиеся по записи формальных предложения, зависящие скажем от сотни одинаковых переменных. Над языком не висит "проклятье размерности", поэтому нельзя утверждать, что языковый текст, в котором используется тысяча различных слов, в общем случае сложнее текста, в котором используется только сотня.
   Именно наличие конкретной реальности за символами языка позволяет определять одни слова языка через другие, совершенно не боясь "порочного логического круга". В языке нет неопределяемых понятий, тогда как математика не может больше существовать без них. И хотя математика наших дней все еще вынуждена пользоваться языком, она постоянно трепещет перед ним. Именно язык является источником подавляющего числа парадоксов современной математики, что в общем-то и не удивительно, потому что в процессе своего естественного развития язык служил не только целям накопления информации об окружающем мире, но и в неизмеримо больших масштабах использовался для обмана и дезинформации. Так что математика просто вынуждена была объявить язык своим "врагом номер один", начать против него настоящую войну и видеть с этого момента в каждом слове живого языка потенциальный  источник осквернения. Наиболее сильно от этой войны пострадал естественно не язык, а ни в чем неповинная физика, которая была изгнана из математики за ее пристрастие к неформальным рассуждениям (но такова, видимо, судьба всех войн за чистоту идеала).
   Еще 100 лет назад математика могла считать себя языком, потому что тогда она была еще наполнена конкретным содержанием, но за прошедшие годы последние следы конкретности были, наконец, вытравлены из нее и современная математика не имеет практически ни одной точки соприкосновения с языком. Конечно математики продолжают еще называть математику языком и даже создали новую дисциплину математическую лингвистику, которая "рассматривает слова и цепочки слов (предложения), оторванные от их смысла: это изучение бессмысленных слов и предложений", но все это является не более чем обычной военной хитростью, потому что математика и язык - это непримиримые враги, можно сказать, диалектические противоположности.
   Так что завершающую часть анализируемого нами утверждения Ю.И. Манина:
 "Языковая деятельность машины является математической в некотором глубоком значении этого слова, даже когда речь идет о программе, переводящей с венгерского языка или сочиняющей одноголосые мелодии. Сама по себе "математическая речь" человека - удивительный пасынок-вундеркинд естественной речи. Структура и семантика языка математики в какой-то мере поняты благодаря ее постоянной связи с естественными науками, а также благодаря огромной работе специалистов по математической логике,"
- следует расценивать как образец тонкой иронии, к которой не могут не прибегать современные математики, когда вопрос касается деликатных отношений, установившихся между математикой и языком

       Глава  3.    Математика - это не наука.

   Такой приговор математике был вынесен Ричардом Фейнманом:
    "Из-за нехватки места мы не коснемся также связи физики с техникой, с промышленностью, с общественной жизнью и военным искусством. Даже на замечательной связи, объединяющей физику с математикой, мы не задержимся. (Математика, с нашей точки зрения, не наука - в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт.) Кстати, не все то, что не наука, уж обязательно плохо. Любовь, например, тоже не наука. Словом, когда какую-нибудь вещь называют не наукой, это не значит, что с нею что-то неладно: просто не наука она, и все." И по-видимому, не один он в этом уверен.
   В приведенном высказывании мы сталкиваемся с еще одним предрассудком, который с необъяснимым упорством пропагандируют как физики, так и математики. Наиболее ясно, с моей точки зрения, этот предрассудок выражен советским математиком И.Я. Ягломом:
   "Естественные и гуманитарные науки изучают объективно существующую реальность - единственным критерием истины, скажем для физика является совпадение получаемых им результатов с наблюдаемыми, с прямым экспериментом; так, например, тот же Л.Д. Ландау на сделанный ему упрек в не строгости доказательств однажды ответил так: "А Вы можете указать доказательство, которое лучше моего будет совпадать с экспериментом?". Рассказывают также (хотя это, вероятно, не более, чем легенда), что молодой Ландау (в то время еще не академик и не лауреат Нобелевской премии), допустив в одной из своих книг ошибку в вычислениях, написал: "Умножив правую часть последнего равенства на 2, получим..." - ведь если после умножения на два получается результат, лучше чем раньше совпадающий с опытными данными, то значит эта операция законна и в дальнейших оправданиях не нуждается! Таким образом, физическое рассуждение является правильным, если полученный с его помощью результат совпадает с реально наблюдаемыми фактами, и неправильным, если этот результат противоречит экспериментам; никакого другого критерия истинности физик не знает."
   И как бы парируя именно это необоснованное обвинение, лауреат Нобелевской премии по физике Е. Вигнер пишет:
   "Высказанной только что точке зрения противоречит тот факт, что некоторые теории, ошибочность которых нам  заведомо известна, позволяют получать удивительно точные результаты.
      ...Рассмотрим несколько примеров "ошибочных теорий", дающих вопреки своей ошибочности, удивительно точное описание различных групп явлений. если не быть чересчур придирчивым, то некоторые подробности, относящиеся к этим примерам, можно опустить. Успех первых основополагающих идей Бора в теории строения атома был весьма ограниченным, как, впрочем, и успех эпициклов Птолемея. Теперь мы находимся в более выгодном положении и можем точно указать все явления, которые допускают описание в рамках этих примитивных теорий. Мы не можем утверждать ничего подобного о так называемой теории свободных электронов, которая дает удивительно точную картину свойств большинства, если не всех, металлов, полупроводников и изоляторов. В частности, теория свободных электронов объясняет тот факт (который так и не удалось объяснить на основе "настоящей теории", что удельное сопротивление изоляторов может в  1026 превосходить удельное сопротивление металлов. Более того, не существует экспериментальных данных, которые бы убедительно показали, что сопротивление конечно при условиях, когда, согласно теории свободных электронов, оно должно было бы обращаться в бесконечность. тем не менее мы убеждены, что эта теория представляет собой лишь грубое приближение при описании явлений, происходящих в твердых телах, ее должна была бы заменить более точная картина.
      Достигнутые к настоящему времени успехи позволяют считать, что ситуация с теорией свободных электронов несколько тревожна, но отнюдь не свидетельствует о каких-то непреодолимых противоречиях. Теория свободных электронов заставляет нас сомневаться в другом: насколько мы можем доверять численному совпадению между теорией и экспериментом как показателю правильности теории. К такого рода сомнениям мы привыкли."
   Но из этих двух высказываний становится ясно так же и другое: портрет физика в исполнении математика почему-то всегда оказывается карикатурой, за что физики, в свою очередь щедро платят математикам той же самой монетой. Многовековая история науки свидетельствует о том, что математика и физика являются близкими родственниками, и эта роднящая их близость отнюдь не случайна, что бы там ни говорили. Неслучайна хотя бы потому, что обе они изучают один и тот же объект, совершенно искренне заблуждаясь в том, что это не так. Но чтобы выяснить этот таинственный объект, начать лучше всего с физики - попробуем вначале выяснить, что такое физика. Слово предоставим Е. Вигнеру:
      "Что такое физика? Физик видит свою задачу в открытии законов неодушевленной природы. Чтобы смысл этого утверждения стал ясным необходимо проанализировать понятие "закон природы".
      Окружающий нас мир поразительно сложен, и самая очевидная истина заключается в том, что мы не в состоянии предсказать его будущее. В известном анекдоте лишь оптимист считает будущее неопределенным, тем не менее в данном случае оптимист прав: будущее непредсказуемо. Как заметил однажды Шредингер, "чудо, что несмотря на поразительную сложность мира, мы можем обнаруживать в его явлениях определенные закономерности."
      Одна из таких закономерностей, открытая Галилеем, состоит в том, что два камня, брошенные в одни и тот же момент времени с одной и той же высоты, упадут на землю  одновременно. Именно о таких закономерностях и идет речь в законах природы."
   Удивительно знакомый симптом: лауреат Нобелевской премии по физике не может, как и математик до него, ответить на, казалось бы, самый простой и естественный для физика вопрос: что такое физика?
   Чтобы понять почему это происходит, проанализируем  вначале самую первую и наиболее решительно сформулированную часть ответа Е. Вигнера: "Физик видит свою задачу в открытии законов неодушевленной природы," - между прочим именно это утверждение вполне определенно и недвусмысленно указывает на ту пропасть, которая разделяет математику и физику (математик изобретает аксиомы, тогда как физик - открывает законы природы), но существует ли эта пропасть в действительности, не является ли она всего только плодом нашего воображения - вот в чем вопрос? Для того, чтобы прояснить ситуацию следует уточнить в чем проявляется различие между изобретением и открытием. Авторитетное мнение, которое поможет нам в этом разобраться, возьмем из работы Жака Адамара:
   "Разница между этими понятиями хорошо известна. Открытие касается явления, закона, живого существа, которое уже существовало, но которое раньше не было известно: Колумб открыл Америку, но она существовала до него. Бенджамин Франклин изобрел громоотвод: ранее громоотвод не существовал."
   А как же обстоит дело с законами природы? Где был закон природы до того, как его открыли? Где записала и хранила его неграмотная природа? Ответ ясен - нигде. Природе и не нужен никакой закон, потому что только в нашем сознании существуют те степени свободы, которые этот новый закон запрещает, значит, закон природы нужен только нашему сознанию, а вовсе не природе. Но что же тогда открывает физик? До того, как физик опубликовал свой закон природы или принцип, этого закона нигде не было. В природе не было, потому что он природе не нужен, а в сознании не было, потому что мы еще не замечали, что дееспособность нашего сознания нуждается в дополнительных ограничениях, чтобы не создавать химер, которым в природе ничего не соответствует. Значит, физик изучает наше сознание при помощи наблюдений явлений неживой природы, опираясь на которые он шаг за шагом вписывает все новые и новые законы в "процессуальный кодекс", ограничивающий дееспособность нашего сознания.
   Стоп, скажете Вы, но ведь физика - это не столько мысли теории и законы природы сколько чрезвычайно нужные нам двигатели, источники энергии и технологические процессы. (А что вас собственно смущает?) - все это тоже продукты нашего сознания, только материальные продукты. Исчезнет сознание - исчезнут и они, через пару другую миллиардов лет и следов-то от них не останется. Для того-то физик и изучает наше сознание, чтобы другой, изобретатель, пользуясь разработанным физиком "уголовным кодексом для сознания  вида  Homo Sapiens" смог, отбрасывая при помощи законов природы заведомо нереализуемые творения своего сознания, найти, наконец, идею, которую вроде бы можно материально реализовать. Затем последуют несколько лет упорной работы - и вот, является на свет материальный продукт нашего сознания, компьютер, например, или пишущая машинка. Фактически, физик имеет дело сразу с двумя природами: одна материальная, находится вне его сознания, а другая, нематериальная и поэтому, нуждающаяся в законах и принципах, то есть в запретах и ограничениях, - в сознании. Математик тоже занимается изучением нашего сознания, но в отличие от физика он не вводит в заблуждение себя и других относительно того, что он изучает и видит свою цель в том, чтобы обобщать до предела круг понятий, к которым были бы применимы продукты деятельности его сознания, называемые им теоремами.
   Подведем итог, если математика - не наука, то физика на том же самом основании не может считаться естественной наукой. Науками в полном смысле естественными можно называть только описательные науки: географию, ботанику, минералогию и подобные им.
   Еще одна странность, по "мерилу", установленному  Фейнманом, математика в момент ее зарождения: в древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае - безусловно была наукой, но вот, в 1863 году родился Давид Гильберт и где-то в промежутке между 23 января 1863 года, когда он родился, и 14 февраля 1943 года, когда он умер, математика развилась настолько, что стала не наукой, то есть суждение Фейнмана явно зависит от некоторого конкретного момента времени (для профессионального физика - это непростительная оплошность).
   Впрочем, на самом деле, странно совсем другое, почему математики и физики изучают только наше сознание, а не весь наш разум? Почему, например, многие восхищаются красотой общей теории относительности, но никто не попытался явно сформулировать самый главный, но так и оставшийся неопубликованным процесс, благодаря которому Альберту  Эйнштейну  удалось сгенерировать безошибочную идею, приведшую к созданию новой теории. Можно было бы надеяться, что, изучив этот процесс, можно было бы сгенерировать какую-нибудь не менее красивую теорию. Вместо этого физики, включая и самого Эйнштейна, пошли по пути формального обобщения теории, то есть стали пользоваться стандартными (для математики) приемами обобщения формальных теорий.
   Однако эта типичная для физики ситуация только внешне напоминает известный анекдот о пьяном, который, потеряв ключи, ищет их не там, где он их потерял, а там, где светло. Чтобы понять (почему всегда происходит так, что создатель новой физической теории никогда не пытается исследовать интуитивный процесс, при помощи которого он совершил важное открытие, но всегда стремится к математическому обобщению уже найденной им модели, обрекая себя следовать далее стандартными путями) нам придется проанализировать еще один предрассудок.

   Глава  4.  Не  страдает ли современная математика
от того, что она недоступна для дилетантов?

   Мы, видимо, никогда не сможем до конца постичь, почему 26 летний помощник эксперта патентного бюро создал теорию, потрясшую весь мыслящий мир. Действительно, сказать, что он гений, значило бы не сказать ничего, потому что гении рождаются постоянно, рождались они и до Эйнштейна и после него и практически одновременно с ним (Нильс Бор, например, моложе Альберта Эйнштейна всего лишь на 6 лет). Риман, Мах, а после них, Лармор, Лоренц, Пуанкаре, - профессионалы, академики, титаны мысли, размышляли над тем же самым, а решил проблему любитель, работавший помощником эксперта патентного бюро и увлекавшийся физикой в свободное от основной работы время, то есть дилетант, но дилетант-гений. Его гениальность проявлялась в том, что он безошибочно ухватывал суть дела, его интуиция безотказно вела его к успеху. И, обладая такой мощной интуицией, он мог бы без особого труда раскрыть механизм ее действия, но по странной прихоти его же собственной интуиции он этого для нас не сделал.
   "Подумаешь, - скажете вы, - невелика потеря, он ведь сделал большее". Как знать, я думаю, что он мог бы сделать несравненно больше, если бы не испортил свою интуицию. Действительно, первые его шаги были потрясающе безошибочны: квантовая теория фотоэффекта, специальная теория относительности, молекулярная теория и теория броуновского движения, общая теория относительности, - какое головокружительное начало, а потом отказ за отказом. Кто может оценить, чего, например, стоила науке занятая им особая позиция в квантовой теории, а бесперспективная концепция разрабатываемой им единой теории поля, или, наконец, неудачная оценка работы Фридмана по космологии, разве все это не свидетельствует о том, что его интуиция испортилась? Чтобы понять механизм порчи интуиции, нам придется проанализировать процесс, происходящий при обучении.
   Известно, что новорожденный мало, что может, но по мере  своего  развития  обучается  многому.  Основная схема процесса обучения довольно проста. Отправным звеном для всего процесса обучения всегда служит некоторая первичная способность, некий уже спонтанно действующий бессознательный процесс, например, способность к звукоподражанию. Обучение начинается с подключения сознания к анализу этого бессознательного процесса, обычно обучающий осуществляет расчленение сложного процесса на последовательность элементарных актов (ребенка учат воспринимать и воспроизводить отдельные слоги и простейшие слова), а обучаемый постепенно подводит под полный контроль своего сознания восприятие и воспроизведение этих элементарных актов.
   После уверенного освоения некоторого набора элементарных актов, начинается следующий этап, этап сознательного синтеза. Обучение следует считать законченным когда оба этих процесса, то есть и синтез, и анализ, перемещаются в сферу бессознательного, становятся спонтанно действующим бессознательным процессом, некоторой новой первичной способностью, которая может служить отправным звеном для какого-то другого процесса обучения.
   При обучении речи бессознательным процессом, на котором базируется процесс обучения, является способность к звукоподражанию. При обучении письму и чтению таким бессознательным процессом становится процесс уверенного восприятия устной речи. Обучение логике базируется на бессознательной способности воспринимать доказательство. Формируется эта способность в раннем детстве и базируется, в свою очередь на другом бессознательном процессе.
    На определенном этапе развития у ребенка почему-то возникает потребность выдать желаемое за действительное, прихвастнуть, обмануть, соврать. Но обмануть маму невероятно трудно, мама не только всегда догадывается в чем ее хотят провести, но и никогда не упускает случая показать, что "у лжи короткие ноги", то есть она не только догадывается в чем дело, но и всегда предоставляет  доказательство, мотивировку своей догадки: "Ну а вот тут ты меня обманываешь, потому что ..." - и вскоре мы слышим уже и от ребенка: "А это ты все врешь, Верка, потому что ...".
   Умение воспринимать доказательство и доказывать быстро развивается, ребенок становится заядлым спорщиком, учится врать правдоподобно, осваивает искусство убеждения, с удовольствием разыгрывает друзей и близких и, наконец, весь этот сложный комплекс оказывается погруженным в сферу бессознательного со всеми прилипшими к нему в этом возрасте атрибутами, которые в более зрелом возрасте проявляют себя в субъективных  ощущениях, сопровождающих процесс бессознательного поиска доказательства. Математики обычно указывают, что поиск доказательства напоминает процесс вспоминания, узнавания, сопровождается чувством азарта, удовольствия, ощущения превосходства, как будто бы играешь в азартную игру. Короче говоря, с математикой нас знакомят задолго до того, как мы приступаем к ее изучению, фактически мы неявно усваиваем то, на чем будет базироваться потом наша математическая интуиция, поэтому математика имеет глубочайшие корни в бессознательном.
   Обучение интуиции должно протекать по этой же самой схеме. Вначале, мы должны будем сознательно проанализировать примеры конкретной работы интуиции (благо таких примеров в литературе описано немало). Чтобы глубже понять суть механизма интуиции, нам придется поработать над текстами древних греков; идея очень проста: до того, как Аристотель открыл и опубликовал свою логику, оба механизма ответственных за правильность умозаключений как логических, так и тех, которые мы сейчас назвали бы чисто интуитивными, находились в одинаковом статусе, поэтому рассуждения древних, являясь неким винегретом из логики и того, что ей никак не является, окажут нам неоценимую услугу.
   Открытие Аристотеля, позволившее заменить тонкий и деликатный процесс интуитивного доказательства, грубым, почти механическим процессом соблюдения определенных предписаний, так называемых законов логики, произвело ошеломляющее впечатление на последующие поколения. Еще бы усидчивость и скрупулезность стали конкурировать с вдохновением! Но ведь сам-то Аристотель несомненно пользовался чем-то другим, когда открывал свою логику (нельзя  же открыть  логику при помощи логики, потому что логика это запрещает), значит, не исключено, что это другое тоже кем-то изучалось в древности и быть может даже было где-то сформулировано в виде неких менее механических правил, которые открытие Аристотеля неминуемо должно было затмить (что и произошло в действительности) - грубая механика одолела тонкий интеллект Эллады.
   И вот по прошествии 25 веков мы, жители 20 века, не просто разучились, а, чего греха таить, панически боимся мыслить, а тем более публиковать нелогичные статьи, но ведь нелогично - это еще не значит ошибочно, наоборот, в некоторых случаях - это гениально. Ньютон, например,  испытав на себе падение яблока, догадался, что оно двигается ускоренно потому, что его притягивает Земля; однако перейти от этого факта к выводу, что всякие два тела должны взаимно притягиваться, знаменовало собой откровенное презрение законов логики (до Ньютона миллионы людей наблюдали падение яблок, но логика не позволяла им сделать этот вывод). А то что эта противоречащая логике догадка оказалась соответствующей действительности, означает, что наш мозг обладает каким-то более мощным инструментом, чем логика, работу которого она подавляет, превращаясь очень часто из двигателя прогресса в предательский тормоз.
   Состояние интуиции удобно представлять себе в виде озера, на поверхности которого мысли и желания порождают волны. У новорожденного ложе озера еще почти что не заполнено водой, мысли и желания его примитивны, а структура волн, передающая сложность мысли, чрезвычайно  проста. Но вот вступают в действие процессы обучения или самообучения и картина начинает меняться. Накопление знаний можно сравнить с возведением сооружения - оно растет, а вода по мере развития мозга все прибывает. Вид и структура волн на поверхности воды зависит не только от внешних воздействий (ветров страстей, чувств и ощущений) но и от фрагментов сооружения, находящегося в непосредственной близости от поверхности воды. Когда сознание отключается  от внешних воздействий, характер волн на поверхности будет зависеть только от длительности отключения и особенностей сооружения  (части,  расположенные  ближе  к поверхности, будут оказывать более сильное влияние, чем части расположенные глубоко).
   Представим теперь такую ситуацию:
     1) сознание способно отключаться на длительное время, то есть обладатель его не лишен задатков гениальности;
     2) строительство сооружения по какой-то причине было давно заброшено, так что все оно оказалось под водой.
   В этой ситуации, после длительного отключения внешних воздействий на сознание, волны на поверхности, в конце концов, почти что исчезнут, и хотя поверхность станет однообразной, небольшие неоднородности останутся и они будут отражать не детали, а глобальную структуру сооружения. С одной стороны, вроде бы никаких конкретных мыслей уже нет, а с другой стороны как бы ниоткуда сами собой являются идеи, нелогичные (но верные!) представления, которые поэтично называют "озарением интуиции".
   Судьба несомненно благоволила Альберту Эйнштейну, когда вынудила его к бездействию после окончания Цюрихского Политехникума.
"Летом 1900 года Эйнштейн сдал экзамен на получение диплома преподавателя физики. По всем экзаменационным предметам он получил хорошие, хотя и не самые высокие оценки. После экзамена он в течение целого года испытывал отвращение ко всякого рода занятиям по своей специальности. Необходимость забивать голову всеми данными науки, как существенными, так и несущественными, подействовала на него устрашающе, и в течение некоторого времени после выпускных экзаменов ему были невыносимы любые мысли, относившиеся к научным проблемам."
   (За пять лет, с лета 1900 года по декабрь 1905 года глубоко погрузилось все, чему его учили в Цюрихском Политехникуме.)
      А два чумных года Ньютона, (в Кембридже разразилась чума и студенты были вынуждены бездельничать два года), разве они не оказали на него подобного же благотворного воздействия?
   "За это короткое время Ньютон разработал метод флюксий, произвел важнейшие опыты по физике и установил исходные положения теории всемирного тяготения. Сравнительно недавно в бумагах Ньютона нашли следующую запись: "В том же году начал я думать о тяготении, простирающемся до орбиты Луны... Все это происходило в два чумных года 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете своих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда либо после."
   Однако продолжим наше рассуждение, основанное на аналогии. Гениальный дилетант  (причем не просто дилетант, а дилетант, забывший почти все, чему его учили) увидел (иного слова не поберешь) своим внутренним зрением идею. Он еще может быть немало помучается, пока она, наконец, обретет такую форму, что ее удастся как-то изложить, чтобы ее могли понять и другие. И вот в процессе подготовки ее к публикации он вынужден выстроить новое сооружение, начинающееся от какой-то детали ранее утонувшего сооружения и доведет его до поверхности. Вначале это чаще всего тонкая иголка и она не очень сильно возмущает волны, гуляющие по поверхности, поэтому он в принципе, может вскоре увидеть еще какую-нибудь идею, затем третью, четвертую. Все однако кончается, когда он не захочет больше оставаться дилетантом - и превратит тонкие иголки в солидные конструкции, как и всякий профессионал, он начнет их постоянно надстраивать, превращая в грандиозную издали видимую строительную площадку. Что произойдет в этих условиях с интуицией? Ну, конечно, она пропадет, как будто ее никогда и не было.
      Эта аналогия может не соответствовать реальному положению вещей, если только можно придать более или менее ясный смысл этому выражению. Трудно сказать, кто первым предложил представлять мысли в виде волн на поверхности водоема, потому что этот образ встречается еще в древнеиндийских текстах. Однако двух примеров все равно явно недостаточно для того, чтобы сказать, что это представление выдержало хотя бы элементарную проверку экспериментом. (Заметьте, что это возражение является чисто логическим, но чтобы парировать его, я поступаю совершенно нелогично, привожу третий, развернутый пример, хотя отлично осознаю, что ни третий ни четвертый, ни даже пятый примеры помочь в этой ситуации не могут). Итак, рассмотрим более подробное и более яркое свидетельство Анри Пуанкаре:
      "Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс мы сели в обнибус для какой-то прогулки; в момент когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея, без всяких, казалось бы предшествовавших раздумий с моей стороны... Из-за отсутствия времени я не сделал проверки, так как, с трудом сев омнибус, я тотчас же продолжил начатый разговор, но я уже имел полную уверенность в правильности сделанного открытия. По возвращении в Кан я на свежую голову и для очистки совести проверил найденный результат.
      В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другой вещи. Однажды, когда я прогуливался по берегу, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла на ум мысль, что арифметические преобразования квадратичных форм тождественны неевклидовой геометрии.
      ...Затем я переехал в Мон-Валерьян, где я должен был продолжить военную службу. Таким образом, занятия у меня были весьма разнообразны. Однажды во время прогулки по бульвару, мне вдруг пришло в голову решение этого трудного вопроса, который меня останавливал. Я не стал вникать в него немедленно и лишь после окончания службы вновь взялся за проблему. У меня были все элементы и мне оставалось лишь собрать их и привести в порядок. Поэтому я сразу и безо всякого труда полностью написал эту работу".
    Разве не поразительно то, как протекала работа Пуанкаре над вторым только его научным трудом, над, пожалуй самым уникальным творением гения Пуанкаре - теорией фуксовых функций? Подобно Ньютону и Эйнштейну горный инженер Анри Пуанкаре тоже находился в это время в восхищения достойном состоянии дилетанта.
      "По окончании второго курса Политехнической школы, в октябре 1874 года (21 год), Пуанкаре поступает в Горную школу. Он сознательно готовит себя к профессии инженера и заканчивает школу в марте 1879 года, будучи третьим (по успеваемости) в своем выпуске. Получив назначение в Везуль, Пуанкаре проработал там с 1 апреля по 1 декабря 1879 года, после чего, получив приглашение от Канского Университета, занял место преподавателя на факультете точных наук.
      Свое призвание Пуанкаре осознал в годы учения в Горной школе, когда он предпринял свои первые исследования, и мысли его обратились к более возвышенным темам.
      Результатом трудов Пуанкаре явилась его докторская диссертация "О свойствах функций, определяемых дифференциальными уравнениями в частных производных", которую он защитил 1 августа 1879 года.
      ...Вскоре после завершения работы над диссертацией, привлеченный блестящими, но не доведенными до конца работами Фукса по теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, Пуанкаре приступает к интегрированию всех линейных дифференциальных уравнений с алгебраическими коэффициентами и полностью решает эту задачу еще не подозревая о ее трудности и общности.
      ...Работа Пуанкаре была по достоинству оценена Камилом Жорданом, сказавшим: "Она выше обычных похвал. К ней в полной мере можно отнести слова, некогда написанные Якоби Абелю: "Ее автору удалось решить задачу, о которой до него никто не смел и мечтать".
   Но ведь и Абель был всего только дилетантом, а не профессиональным математиком, когда на 22-ом году жизни ему пришла в голову дерзкая мысль: доказать, что общее алгебраическое уравнение, степень которого выше четвертой, неразрешимо в радикалах. И это ему тоже удалось! А Эварист Галуа, а Янош Бойаи, разве они не были типичными дилетантами? Разве не трагично, что ни одному из них так и не удалось стать профессиональным математиком?
   Кстати, одновременно с Пуанкаре над теорией фуксовых функций работал профессиональный математик, великий Феликс Клейн.
       "Однако Клейн, которого Гильберт встретил в 1885 году, уже не был прежним ослепительным талантом. За два года до этого в середине его занятий автоморфными функциями, один молодой  математик из провинциального французского университета начал публиковать работы, показывающие, что его усилия сосредоточены в той же области. Клейн сразу же оценил силу своего соперника и начал с ним лихорадочную переписку. Почти нечеловеческими усилиями он заставил себя добиться цели раньше Анри Пуанкаре. Окончательный результат в этом соревновании был, по существу, ничейным. Но Клейн не выдержал. Ко времени приезда к нему Гильберта он только недавно оправился от целого года глубокой душевной депрессии и физической усталости, вызванных его нервным потрясением".
Но ведь всего только за 15 лет до этого Клейн сам был гениальным дилетантом.
      "В возрасте 17 лет он был ассистентом у Юлиуса Плюккера в Бонне. В то время он решил, что "после приобретения необходимых знаний  по математике", он посвятит свою жизнь физике. Затем, спустя два года, Плюккер умер (аналогично тому, как в период жизни Минковского в Бонне умер Генрих Герц). Переезд в Геттинген, где математики составляли значительно более энергичную группу, чем физики, сделал из Клейна математика, а не физика".
      "Феликс Клейн был ассистентом Плюккера в Бонне в конце шестидесятых годов и там он изучил геометрию. В 1870 г. когда ему было двадцать два года, он побывал в Париже. Здесь он встретился с Софусом Ли, норвежцем, который был на шесть лет старше его, но заинтересовался математикой лишь незадолго до их встречи. Молодые люди встречались с французскими математиками, среди них с Камилом Жорданом, работавшим в Политехнической школе, и изучали их труды. Как раз в 1870 г. Жордан написал "Трактат о подстановках" - книгу о группах подстановок и о теории уравнений Галуа. Клейн и Ли начали сознавать основное значение теории групп и в последующем они разбили математику примерно на две части: Клейн в основном сосредоточился на дискретных, а Ли на непрерывных группах".
      "Клейн пытался убедить Гильберта поехать на семестр в Париж, а после этого уже вернуться в Кенигсберг. Гильберт писал Гурвицу: "Он сказал что Париж в это время похож на пчелиный улей в смысле научной активности, особенно это касается молодых математиков; период занятий там мог бы оказать самое плодотворное и стимулирующее влияние на меня, особенно если бы удалось найти хороший подход к Пуанкаре.
      Сам Клейн в молодости совершил путешествие в Париж вместе со своим другом Софусом Ли. Оба они овладели там теорией групп, которая сыграла важную роль в их научных карьерах. После этого по словам Гурвица, Клейн всегда старался посылать многообещающих молодых немецких математиков в Париж".
Всего только через год после посещения Парижа Клейн
      "... показал, что неевклидовы геометрии можно истолковать, как проективные геометрии с метрикой Кели. Это, наконец, повело к полному признанию находившихся в пренебрежении теорий Бойаи и Лобачевского. Теперь была установлена их логическая обоснованность. Если бы в неевклидовой геометрии были логические погрешности, то их можно было бы обнаружить в проективной геометрии, но лишь немногие математики были склонны допустить такую ересь".
Ровно через год Клейна посетила новая блестящая идея.
   "В 1872 г. Клейн стал профессором в Эрлангене. В своей вступительной лекции он разъяснил важность понятия группы для классификации различных областей математики. В этой лекции, которая стала известна под именем "Эрлангенской программы", любая геометрия объявлялась теорией инвариантов особой группы преобразований".
   Короче говоря, совершенно бесполезный с точки зрения логики прием - добавление к двум примерам, связанным с судьбой Ньютона и Эйнштейна, третьего, связанного с Пуанкаре, не просто убеждает в обоснованности ранее высказанного предположения, но и заставляет взглянуть на проблему дилетантизма еще с одной стороны, чисто по-человечески, наконец, взглянуть на нее.
   Надо ли удивляться тому, что профессионалы должны органически не выносить дилетантов, трепетать перед ними, ненавидеть их всеми фибрами своей души? Вспомним хотя бы то, что Нобелевская премия по физике была присуждена Альберту Эйнштейну за открытие фотоэффекта, что в Академию Наук его избрали за работы по молекулярной теории. А вспомним судьбу работ Галуа которые он посылал Коши, или судьбу работ Абеля, посланных Гауссу, или судьбу работ Бойаи и Лобачевского. А чего стоит эта гнусная уловка профессионалов, эта циничная фраза, пользуясь которой они со спокойной совестью уничтожают своих конкурентов, и которой потом спокойно прикрываются от суда потомков - вот она эта фраза: "этот ученый значительно опередил свое время, поэтому современники не поняли и не оценили по достоинству его работ". А Эвклид, наконец, что мы знаем об Эвклиде? Он, видимо, тоже был гениальным дилетантом и, видимо поэтому, ни один геометр, ни один историк не посчитал себя обязанным написать хоть что-нибудь о нем.
   "О самом авторе "Начал" мы знаем немного, сведения наши отрывочны и недостоверны. О произведениях Эвклида древние писали много, об авторе же "Начал" - ничего".
   Причины, по которым профессионалы ненавидят дилетантов, по-человечески понятны. Во-первых, дилетанты девальвируют труд профессионалов. Во-вторых, им как бы безо всякого труда достается и результат и восхищение ошеломленных современников. И это восхищение вполне можно понять. Действительно, если что-то открывает профессионал, то чему тут удивляться: соответствующее образование он получил, это его обязанность, за это ему деньги платят, и вдруг, какой-то дилетант, шутя, делает такое, о чем профессионалы "не смели и мечтать". Уже одно это достойно восхищения и подражания с точки зрения дилетантов в математике, которыми являются подавляющее большинство жителей нашей планеты. И, в-третьих, многие профессионалы понимают, что погнавшись за материальными благами, они потеряли свой бесценный дар (не зря же Эйнштейн говаривал, что он предпочел бы работать фонарщиком и заниматься физикой только из чистой любви к ней).
   Идея закрыть дилетантам доступ в математику становится в свете всего этого чрезвычайно естественной и неизбежной. Нетрудно даже предсказать кто и под каким соусом реализует ее в математике. Сделать это должен какой-нибудь суперпрофессионал, находящийся в продуктивном, но довольно преклонном для математика возрасте, разумеется мотивировка должна быть возвышенной и благо-родной. В общем как это обычно и случается, естественные предположения, основанные на знакомстве с человеческой природой, сбываются более или менее точно. Эту грязную работу выполнил Давид Гильберт. Видимо, крепко засела в его подсознании злая шутка, которую судьба сыграла с Клейном, и он после знакомства с работами Альберта Эйнштейна, видимо панически боялся проиграть рукопашную схватку с новым дилетантом в математике. Обосновывая необходимость выполнения этой работы, он живописал математический рай который, по его словам, несомненно наступит, как только предлагаемая им программа будет осуществлена.
       Идея Гильберта предельно проста, чтобы заблокировать нестандартную деятельность интуиции, он предлагает глобальную стандартизацию математики, стандартизацию на вечные времена, включающую:
     1) аксиоматизацию всех ее разделов;
     2) формализацию средств, которыми отныне разрешается пользоваться в математике;
     3) утопическую программу аксиоматизации и формализации физики и по возможности всех остальных естественных наук;
    4) непримиримую борьбу с проявлениями чистой  интуиции в математике, в частности бескомпромиссную войну с интуиционизмом до последних своих дней.
   Не надо обладать даром пророка, чтобы предсказать к какому состоянию это в конце концов приведет математику. История уже дала нам пример такого нововведения. (Ну конечно же!) повторится ситуация, имевшая место, во времена создания "Начал" Эвклида. Потому что эти самые "Начала" геометрии обернулись в действительности ее "концом" к счастью это оказался не окончательный конец, а только застой почти что на 2 тысячи лет. Свет гения в яркой вспышке осветил тогда всю математику, и она из развивающейся науки превратилась в застывшую фотографию, или точнее в красивую скульптуру, запечатлевшую пульсацию живой творческой мысли. Геометрия стала чем-то вроде географии наших дней все известно, описано, систематизировано, доказано, что Земля круглая, так что в какую сторону ни иди - ничего существенного больше не откроешь, разве что какую-нибудь мелочь, в общем по большому счету - это не наука.
   "Математика - это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако мощной способностью моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и еще в большей мере продолжает приносить ее сейчас. Можно даже пойти дальше и сказать, что математика необходима для покорения природы человеком и вообще для развития человека, как биологического вида, ибо она формирует его мышление".
   Грустно читать такую браваду. Ну что может отражать замкнутый в себе микрокосм, кроме того, что в нем замкнуто? Мы то с Вами, я надеюсь, уже осознаем, что главная черта, главная способность нашего разума, осталась вне микрокосма современной математики. И потом, замыкаться в себе - это вообще уже самое последнее дело.
   А был ли в истории человечества хотя бы один гениальный дилетант, который сознательно всю свою жизнь стремился к тому, чтобы не стать профессионалом, который за всю свою жизнь не взял ни гроша за свой, как мы теперь считаем, основной труд? Такой человек был. Понятно, что он не мог умереть своей смертью, но тут интересно другое, до того как его  уничтожили, он успел все же прожить 70 лет. Этим воинствующим дилетантом был Сократ. Интуиция Сократа оставалась чрезвычайно острой и тонкой до самых  последних мгновений его жизни.
      "Одна из биографических легенд сообщает, что Софрониск по принятому тогда обыкновению, в связи с рождением Сократа обратился к оракулу с вопросом о характере обращения с сыном и воспитания его. Смысл божественного наставления был примерно таков: Пусть сын делает то, что ему заблагорассудится; отец не должен его к чему-то вынуждать и от чего-то удерживать. Отцу лишь следует молиться Зевсу и Музам о благом исходе дела, предоставив сына свободному проявлению своих склонностей и влечений. В иных заботах его сын не нуждается, так как он уже имеет внутри себя на всю жизнь руководителя, который лучше тысячи учителей и воспитателей". Под внутренним руководителем при этом имелся ввиду даймоний (демон) Сократа - его гений, внутренний оракул, голос, предостерегавший против дурных поступков. Уже на исходе своей жизни, представ перед судом, Сократ отзывался о своем демоне так: "Со мной приключается нечто божественное или чудесное... Началось это у меня с детства: возникает какой-то голос, который всякий раз отклоняет меня от того, что я бываю намерен делать, а склонять к чему-нибудь никогда не склоняет. Вот этот-то голос и возбраняет мне заниматься государственными делами".
   Чем же интересен Сократ для нас, жителей 20 века? Да тем, что он первый, можно сказать почти формально, изложил в диалоге "Менон" метод, на котором базировалась его интуиция. Прошло 24 века, но механизм интуиции так и не был никем раскрыт, несмотря на то, что со времен Сократа он нисколько не изменился и несмотря на то, что миллионы людей прочитали этот диалог в интерпретации Платона. Непонятно, почему никто не увидел подлинного смысла этого диалога, основной его жемчужины, которую Платон, а может быть и сам Сократ, тщательно зарыл в навоз античного красноречия.

 
    Глава  5.   О самом главном, наконец, предрассудке.

      "Со времен греков говорить "математика" - значит говорить "доказательство". Некоторые даже сомневаются, что вне математики имеются доказательства в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой мы хотим придать ему здесь. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Евклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпохи, когда понятие доказательства было под угрозой утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы искали именно у греков".
Странный текст, не правда ли? Сразу и не поймешь чего в нем больше математики или проповеди о национальной исключительности древних греков.
   Этим удивительным текстом начинается первая книга многотомного трактата Николо Бурбаки "Элементы математики". Прочитав первое предложение, можно даже подумать, что слово "доказательство" в греческом языке передается словом "математика", но словарь почему-то опровергает такое предположение. "Математика" и "доказательство" имели и имеют для всех греков совершенно разный смысл. Конечно в математике используются доказательства, но главный ее продукт - это результат. (Во-первых, существуют различные доказательства, приводящие к одному и тому же результату, и если бы доказательства были важнее результата, то по одним и тем же результатам можно было бы защищать много диссертаций. Во-вторых, не следует забывать, что существует и при том немало чрезвычайно строгих доказательств, которые не дают никаких новых результатов. И, в-третьих, существуют недоказанные результаты (долгое время, например, теорема Ферма была всем известна, но не доказана). Кто-то может утверждать, что тогда она еще не была теоремой, потому что она не была доказана, а кто-то возразит, что она, тем не менее, и не была опровергнута! Таким математиком мог бы быть, например, Жак Адамар:
"Как говорил мне мой учитель Эрмит: "В математике мы больше слуги, чем господа". Хотя истина нам еще не известна, она предсуществует и неукоснительно предписывает нам дорогу, по которой мы должны следовать под страхом заблудиться".
   Иными словами, в первом предложении Н. Бурбаки желаемое выдается за действительное. Но то же самое придется сказать и об остальных трех предложениях,  если достаточно тщательно проанализировать их. Значит, этот текст является внушением своего рода магическим заклинанием. При беглом чтении он выглядит чрезвычайно убедительно, потому что составлен в полном соответствии с приемами практической дезинформации. Убедительность первому предложению придает, например, фраза "со времен древних греков" - нашему подсознанию почему-то очень нравятся ссылки на древних греков. Но раз со времен греков, значит, и во времена "святой инквизиции"; однако начать внушение фразой "Во времена святой инквизиции" - значило бы погубить все, что за этим последует, хотя логически такая замена естественно допустима. Убедительность второму предложению придает фраза "некоторые сомневаются даже", именно она призвана парализовать наше критическое начало (всех нас большую часть времени грызут сомнения, поэтому невольно проникаешься симпатией ко всем сомневающимся, редко кто способен критиковать человека, признающегося в том, что он сомневается). Третье предложение противопоставлено второму, сформулированное в довольно решительном тоне, оно воспринимается нашим подсознанием с чувством удовлетворения, как завершение этапа сомнений. Четвертое предложение начинается с того, что повторяет третье, но особую убедительность придают ему выражения "под угрозой утраты", "находилась в опасности" (просто замечательно, что удалось все так счастливо уладить!)
   Нельзя отделаться от естественного недоумения: для чего же все это нужно было делать? Ответ мы найдем в той же самой книге, в самом начале первой главы:
"Знаки любой математической теории T таковы:
      1  Логические знаки: , ?, V, (.
      2  Буквы.
      Мы понимаем под этим прописные строчные латинские буквы, снабжаемые штрихами. Так A, A', A",... - , буквы. Во всяком месте текста можно ввести буквы, отличные от встречавшихся в предыдущих рассуждениях.
      3 Специальные знаки, зависящие от рассматриваемой теории".
Согласитесь, что если читателя предварительно не подготовить как следует, то он неминуемо будет воспринимать этот текст, в худшем случае, как откровенное издевательство, в лучшем - как розыгрыш. Значит, предшествующий текст, названный "введение", занимающий чуть больше 7-ми полных страниц, обосновывает целесообразность серьезного отношения к дальнейшему тексту, то есть служит своеобразным неофициальным обоснованием официальных оснований математики. Но может быть нам не следует придавать этому злополучному отрывку такого большого значения, ведь этот текст мог случайно попасть в эту книгу. Чтобы разрешить это сомнение, пришлось просмотреть несколько современных руководств по математической логике и основаниям математики, И что же, во многих из них наблюдается похожая картина. Недостаток места не позволяет рассмотреть все находки такого рода, но думается и трех из них будет вполне достаточно.
      "Итак мы собираемся изучать логику, и притом с помощью математических методов. Но тут мы сталкиваемся с парадоксом: разве для того, чтобы изучать логику с помощью математики (да и вообще любым систематическим методом), нам не придется пользоваться самой логикой?
      Этот парадокс решается просто, но чтобы до конца понять, как это делается, потребуется некоторое время. Основная идея здесь состоит в том, что мы будем тщательно различать логику, которую мы изучаем, и логику, с помощью которой это делается. Но тогда нам придется различать и соответствующие языки: изучаемая нами логика формулируется на некотором языке, который мы будем называть предметным языком (или языком-объектом), поскольку этот язык - так же как и связанная с ним логика - является предметом (объектом) нашего изучения. Язык же, в рамках которого мы исследуем предметный язык (употребляя при этом те логические средства, которые могут понадобиться), мы так и назовем языком исследователя. Соответственно можно говорить о предметной (или объектной) логике и логике исследователя.
      Необходимо все время помнить об этом различии между изучаемой (предметной) логикой и логикой как средством такого изучения (т.е. логикой исследователя). Тому, кто не готов к этому стоит сразу же закрыть эту книгу и подыскать себе другое занятие по вкусу (скажем, составление шарад или пчеловодство)."
    С. Клини, "Математическая логика".
      "Отличительной чертой математики, в противоположность другим наукам, является использование доказательств, а не наблюдений. Физик может выводить физические законы из других физических законов, но как окончательное подтверждение физического закона он обычно рассматривает согласованность с экспериментом. математик может при случае использовать наблюдение: например, он может измерить углы многих треугольников и прийти к выводу, что сумма этих углов равна 180 градусов. Однако он признает этот факт как математический закон только тогда, когда это будет доказано.
      Несмотря на это, ясно, что невозможно доказать все математические законы. Самые первые законы, которые принимаются, не могут быть доказаны, так как нет более ранних законов, из которых они могут быть выведены. Поэтому мы должны выбрать некоторые начальные законы, называемые аксиомами, которые принимаются без доказательства; остальные законы, называемые теоремами, доказываются, исходя из аксиом.
      На каком основании мы принимаем аксиомы? Здесь мы могли бы попытаться   применить  наблюдение, но это не очень практично и не в духе математики. Поэтому мы пытаемся выбрать в качестве аксиом такие законы, которые, как мы полагаем, очевидны по самой природе рассматриваемых понятий.
      Так мы сводим большое число законов к небольшому числу аксиом. Похожее сведение происходит с математическими понятиями. Мы обнаруживаем, что можно определить некоторые понятия в терминах других понятий. Но опять-таки самые первые понятия, которые мы используем, не могут быть определены, так как нет более ранних понятий, в терминах которых их можно было бы определить. Поэтому мы выбираем некоторые понятия, называемые основными понятиями, которые остаются неопределенными; остальные понятия, называемые производными понятиями, определяются в терминах остальных. К основным понятиям, так же как и к аксиомам предъявляется требование: они должны быть столь просты и ясны, что мы можем понимать их без точного определения."
    Дж. Шенфилд, "Математическая логика".
      "Характерной особенностью формальной аксиоматики - в отличие от содержательной - является необходимость установления ее непротиворечивости. Между тем содержательная аксиоматика вводит свои основные положения со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует их как итог определенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что нам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить эту уверенность успехом развиваемой теории.
       ... С другой стороны, мы не можем ограничиться содержательной аксиоматикой по той простой причине, что в науке - если не всегда, то все же по преимуществу - мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не может быть обоснована путем ссылки на очевидность ее аксиом или на опыт. Более того, ее обоснование и может быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, т.е. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опыта. Придти к выводу о непротиворечивости этой теории нам не поможет и ссылка на приблизительную значимость ее основных положений. В самом деле, противоречие может наступать как раз в результате того, что мы считаем вполне определенным какое-нибудь отношение, которое имеет место только в некотором ограниченном смысле".
     Давид Гильберт "Основания математики".
   Неужели все эти тексты (возможно искренне удивитесь  Вы) тоже плохи? (Да ведь они к тому же не имеют ничего общего с ранее приведенным отрывком из сочинения Николо Бурбаки!)
   Это только кажется, что не имеют, в действительности же и Клини, и Шенфилд, и Гильберт говорят об одном и том же, о том, что несомненно волнует их больше всего. Если отбросить риторику, то суть этих текстов можно передать довольно лаконично:
   Клини. Честно говоря, я не знаю, как можно изучать логику, совсем не пользуясь при этом логикой, и уверен, что никто не может этого знать.
   Шенфилд. Я не знаю никакого свойства природы, пользуясь которым можно было бы обосновать выбор аксиом и основных понятий математики, и уверен, что никто не может этого обосновать.
   Гильберт. Я не знаю, как можно строго обосновать содержательную аксиоматику, и уверен, что никто не может  этого знать.
   Теперь видно, что все три текста выражают одну и ту же идею: если математик в своих размышлениях о математике зашел в тупик, то помочь ему выбраться оттуда может только другой математик. (Или еще короче) - только математическое доказательство является доказательством. Таким образом, Николо Бурбаки оказался в конечном счете честнее и откровеннее их всех, указав открыто и прямо в самых первых строках своего трактата на главный предрассудок, на источник многих зол в математике:
   "Некоторые сомневаются даже, что вне математики существуют доказательства в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков".
   Теперь Вы, кажется, почувствовали, наконец, в чем заключается суть работы, которую нам предстоит выполнить в следующей главе. Во-первых, мы найдем (и притом без особого труда) класс доказательств, лежащих и всегда лежавших вне математики. В процессе изучения этих доказательств мы откроем в них специальный подкласс доказательств, которые обладают не меньшей убедительностью, чем математические доказательства, более того мы увидим, что не всякое математическое доказательство является бесспорно убедительным доказательством, то есть в этой главе мы опровергнем обоснованность сомнений Николо Бурбаки. И вот, когда мы поймем это, приведенные выше соображения Клини, Шенфилда и Гильберта покажутся нам слабыми и мы, быть может поколебавшись некоторое время, совершим решительный шаг вперед и, покончив с логикой Аристотеля, сможем постичь, наконец, существенно более глубокую и архисовременную идею Сократа.
   Она фактически утверждает, что в сфере правильного мышления тоже действует некий закон сохранения, который подобно закону сохранения энергии позволяет отметать все, что претендует на роль "вечного двигателя в сфере мышления". Можно сказать, что история повторяется, поскольку естественным обобщением этого закона является некий принцип, который в теории доказательства как бы выполняет роль принципа наименьшего действия. И подобно тому, как в механике (вначале принцип наименьшего действия выводили из законов Ньютона, а потом сочли целесообразным, наоборот, выводить законы Ньютона из принципа наименьшего действия), мы, пользуясь новым принципом, выведем в последних разделах этой книги и законы логики, и аксиомы арифметики. Спешить, однако, не будем.







Ч а с т ь    2.