Логос. Что такое математика. Часть 2

Часть 2


        Нематематические


        доказательства.



    Мы привыкли считать, что
 когда  нечто  изменяется,  оно
 находится в состоянии изменения,
 а  когда  нечто  движется,  оно
 пребывает  в  состоянии  движения.
 Теперь нам известно, что это не так.
        Бертран Рассел.

          Глава  1.  С чего же все началось?

   Случается, что гениальный математик пишет иногда некий интуитивный текст, вроде бы никакого отношения не имеющий к изучаемому им вопросу, в котором все случайно и взаимно не обусловлено. В действительности это не так, в таком интуитивном фрагменте очень часто содержится зерно решения очень трудной проблемы, с которой его интуиция уже справилась, однако сознание все еще отвергает найденное решение.
    "Стадо из четырех овец и роща из четырех деревьев находятся между собой в таком отношении, в каком ни одно из них не находится с кучей из трех камней или рощей из семи деревьев. Хотя для печатного выражения этого труизма мы использовали слова, обозначающие числа, отношение, о котором идет речь, само лежит в основе понятия кардинального числа. Не прибегая к пересчету овец или деревьев, их можно попарно сопоставить друг другу, например привязав овец к деревьям так, что каждая овца и каждое дерево будут принадлежать в точности к одной паре"  (С. Клини, "Введение в метаматематику").
Хотя мы никогда не узнаем, кто же первым догадался воспользоваться этим отношением, мы почти наверняка можем сказать, почему он прибег к этой уловке. Подозревая, что кто-то крадет у него овец, он, чтобы окончательно убедить в этом и самого себя и других, сопоставил каждому дереву одну овцу (идея ясна: деревья не нужны тому, кто пришел украсть овцу). Хозяйство стало больше, больше стало завистников, тут уж не только считать научишься, но и письменность, пожалуй, изобретешь!
   "Ранним своим развитием египетская письменность обязана прежде всего широкому применению ее в больших хозяйствах и в государственном делопроизводстве. Этой же причиной объясняется и относительно высокий уровень счета в Раннем царстве. К началу 1 династии египетские счетчики орудовали громадными числами: язык и письменность уже тогда имели особые слова и знаки для обозначения десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов. Система счисления в своей основе была "десятеричной" ("Всемирная история", том 1, c. 157).
   "Первым лицом в государственном управлении после царя был верховный сановник (во многих исследованиях его называют арабским титулом "везир"). Он был одновременно главным судьей, но круг его полномочий как верховного сановника очертить довольно трудно...
   То, что сановник был неизменно и верховным судьей, подчеркивает важность для знати судопроизводства как орудия ее господства. Хотя судьи часто были жрецами богини Маат - "правды" и хвастались своей справедливостью, незаконное лишение по суду наследства или отдача бедного в руки сильному были распространенным явлением. Судопроизводство было довольно развитым; требовалось множество судей и писцов, так как подробно записывались многочисленные свидетельские показания. В судебном порядке, хотя и тайно,  рассматривались  даже  провинности  царицы.   Наказания  полагались разные, например лишение имущества, но особенно в ходу была палочная расправа; даже такое заметное лицо, как начальник одного из разрядов дворцовых ремесленников, считал нужным хвалиться, что он от роду ни разу не был бит перед каким-либо сановником" ("Всемирная история", том 1, c. 172).
   Кстати, обратите внимание на очень важную, как мне кажется, деталь - "мате-мат-ика" состоит из двух имен "Египетской Богини правды" - "Маат-маат", что обозначает множественное число "Маат" и окончания "тика" (библиотека, фонотека и т.д.), то есть "математика" в переводе с древних языков на русский означает "хранилище правд".
   Воры несомненно были самым древним стимулятором истории (не будь воровства - математика возможно все еще не появилась бы на планете). Однако для нас сейчас важно другое - за три тысячи лет до того, как появилось первое математическое доказательство (а возможно, что даже и значительно раньше), человечество уже пользовалось судебными доказательствами, и, упорно отвергая в этой сфере достижения математической логики, продолжает ими пользоваться и по сей день.
   Вы видимо уже почувствовали, что математика и юриспруденция являются родственниками и даже конфликтуют между собой по-семейному, по традиционной схеме конфликта отцов и детей. Математики и физики вроде бы единодушны в том, что юриспруденция заслуживает разве лишь только пренебрежительного отношения, тогда как юристы относятся к представителям обеих наук с уважением. Это отеческое отношение, в свое время помогло математике выйти из тупика, куда завела ее революционная перестройка, произведенная Эвклидом. После почти двух тысяч лет застоя, юристы вдохнули в математику новую жизнь. Почти все крупные математики до Лейбница включительно, либо были юристами, либо готовили себя к юридической деятельности, либо выросли в семьях юристов: Виет, Ферма были профессиональными юристами; Декарт изучал правоведение; Лейбниц готовил себя к карьере юриста; Кардано, Паскаль, братья Бернулли выросли в семьях юристов.
   После Лейбница связь времен как будто бы оборвалась: математики с юридическим образованием больше так и не появлялись,  а семьи юристов, которых во все времена было немало на Земле, перестали поставлять математике своих талантливых сыновей. Математика, как бы наполнившись от юриспруденции оживляющей силы (как Ахей от матери Земли) стремительно зашагала своим собственным путем и даже стала стыдиться своего родства с юриспруденцией (впрочем, может быть не всегда так будет, возможно она еще вспомнит ее, когда очутится в следующем тупичке).
   Вы все еще сомневаетесь в том, что математика - это законная (и по-видимому, к тому же единственная) дочь юриспруденции? Вам нужны дополнительные доказательства? Пожалуйста, они будут. С документами тут, правда, совсем плохо, дата рождения математики безвозвратно забыта и установить точно ее возраст невозможно, но ведь доказывать можно, опираясь на имеющиеся косвенные улики:
   1) и математика и юриспруденция не только ничего не производят, но и сознательно отмежевываются от всякого рода материальной деятельности, подменяя все бумажной волокитой; - и юристы, и математики - безнадежные крючкотворы и отпетые формалисты;
   2) и те, и другие говорят, что служат истине - никого, заметьте, не пожалеют ради того, чтобы их истина восторжествовала;
   3) и математики, и юристы изучают доказательства и ведут непримиримую борьбу с доказательствами, которые им кажутся неправильными, - не существует никаких двух других видов человеческой деятельности, которые были бы по существу, содержанию и форме так близки друг другу.
   Если Вы не можете доказать, что у математики есть на этот счет бесспорное алиби, то Вам не остается ничего другого, как признать, что юриспруденция является ее законной матерью. Но если имеет смысл считать, что математика имеет мать, то просто необходимо разыскать и ее бабку, потому что по своему жизненному опыту мы знаем, что характеры детей в большей степени похожи на характеры своих бабок и дедок, чем на характеры собственных родителей. Эта, вроде бы заведомо глупая рекомендация, окажется в действительности пророческой и в свое время окажет нам большую услугу.
   Сейчас же настало время нам, математикам, трезво, наконец, поглядеть в глаза горькой нашей правде. Оказывается это ты, юриспруденция, - наша мать и мы уже больше не сомневаемся в том, что в нас заложены твои гены. Ты, правда, стара, консервативна и подозрительна. Однако теперь мы понимаем, что это от того,  что всю жизнь  свою  ты вынуждена была возиться с грязью, хотя всегда стремилась, держа в одной руке кнут, а в другой пряник, насаждать чистоту, справедливость и порядок. Ты одна взрастила свою дочь, стремясь удерживать ее подальше от грязи и низменных человеческих страстей, чтобы она не замечала и не знала того, что они постоянно окружали и все еще окружают ее со всех сторон. Ты готовила ее к чистой возвышенной работе, тому заветному, на что тебе самой нехватало ни времени, ни сил; ты поддерживала ее в самые трудные годы жизни, а сама трудилась, трудилась, трудилась, не теряя ни секунды даром, обходясь без оваций и восхищений восторженных потомков; ты зафиксировала столько доказательств...
   А может они не так уж и плохи твои доказательства? Если бы, скажем в математике, человек, доказавший теорему, не только не спешил бы ее опубликовать, а, наоборот, подобно преступнику, опубликовал бы десяток другой ошибочных, но весьма правдоподобных теорем, в каждой из которых чрезвычайно трудно отыскать ошибку. Если бы он, стараясь скрыть смысл открытой им теоремы, нанимал десятки адвокатов, которые приводили бы бесконечные вереницы правдоподобных доводов, якобы противоречащих истинному результату, то что сталось бы с хваленой математической красотой, ясностью и строгостью?
   Нет, нелегка, видимо, жизнь юриспруденции. Но и я, читающий эти строки, тоже хорош - ни разу не просмотрел ни одного настоящего судебного доказательства, все детективы больше читал, а они (вполне может оказаться) имеют такое же отношение к настоящему судебному доказательству, как научно-фантастический рассказ о математиках к математическому доказательству. Впрочем, где же можно познакомиться с судебными доказательствами, их вроде бы нигде не публикуют?
   Это не совсем так. В книге Белкина Р.С. "Собирание, исследование и оценка доказательств" приведено несколько настоящих судебных доказательств. В следующей главе мы познакомимся с одним из них.

                Глава  2.    Пример судебного доказательства.

   "Недалеко от железнодорожного полотна был обнаружен труп Побединского.
Осмотром трупа было установлено, что Побединский убит двумя выстрелами из гладкоствольного ружья. Под трупом, лежавшим в канаве, обнаружили бумажный пыж с написанным на нем фиолетовыми чернилами словом "кор" и пыж из серого войлока. В 8 м от трупа нашли еще три войлочных пыжа, два из которых были облиты стеарином.
   В 15 м от трупа на земле лежала небольшая деревянная лопата, изготовленная из одной доски. Посредине лопаты были хорошо заметны полоса и отверстие с явными следами ржавчины по окружности. По этим признакам можно было предположить, что доска, из которой была изготовлена лопата,- от забора, отверстие - от гвоздя, а полоса - от рейки, к которой доска была прибита. На лопате виднелись продольные выпуклые линии, - по-видимому, следы, оставленные орудием при ее изготовлении.
   В 50 м от места обнаружения трупа находился посев картофеля, на котором обнаружили следы копки картофеля лопатой, и льняной мешок с двумя черными полосами посредине и обгоревшими краями, в котором было около 5 кг картофеля.
   Для того чтобы сократить круг лиц, среди которых следовало искать убийцу, решено было посоветоваться со специалистами по вопросам снаряжения патронов, пыжи от которых были обнаружены на месте убийства. Специалисты заявили, что ни в коем случае не разрешается закрывать дробь или картечь в снаряженном патроне войлочным пыжом, а затем заливать стеарином. Пыж должен быть из тонкого картона, так как войлочный пыж мешает правильному полету дроби или картечи. Стеарин при этом должен заливаться не по всей поверхности пыжа, а в виде тонкого ободка.
   Возникла версия, что убийцей Побединского был человек, не имеющий элементарных охотничьих навыков. Выявленный в ходе расследования оперативно-розыскными мероприятиями свидетель Сугак показал, что в день обнаружения трупа в 1 км от места убийства он видел неизвестного гражданина с ружьем, ехавшего не велосипеде со стороны убийства к городу. Сугак описал приметы этого человека, его одежду и заявил, что может его опознать. По указанным свидетелем приметам был установлен некий К., в доме которого немедленно произвели обыск: осмотрели также заборы вблизи строений, принадлежащих К.
   При обыске в доме К. были найдены кусочки войлока для пыжей, картечь, дробь и порох, снаряженный патрон, на бумажном пыже которого фиолетовыми чернилами было написано слово "кор". Под бумажным пыжом в патроне оказался войлочный пыж, залитый стеарином, а под ним - дробь.
   В сарае, принадлежавшем К., обнаружили лопату, изготовленную из доски, 17 снаряженных патронов с надписанным фиолетовыми чернилами словом "кор", двуствольное ружье, кусок мешковины с прожженными отверстиями, сходной с тканью мешка, обнаруженного на месте убийства, топор, а возле сарая - щепу от досок. При осмотре нашли и то место в заборе, где отсутствовала доска, из которой как предполагалось, были изготовлены обе лопаты.
   Все это дало основание заподозрить К. в причастности к убийству и задержать его. На ногах у К. оказались портянки из мешковины с обгоревшими краями.
    Проведенными по делу экспертизами было установлено:
   а) куски мешковины, обнаруженные в сарае и на ногах К., составляют одно целое с мешком, найденным на месте убийства;
   б) щепки, обнаруженные возле сарая К., отделены от лопаты, найденной на месте убийства, при ее изготовлении;
   в) лопата из сарая К. и лопата с места убийства изготовлены одним и тем же топором, который нашли в сарае К.;
   г) слово "кор", написанное на пыже с места убийства, выполнено К.;
   д) серый пыж, обнаруженный на месте убийства по составу волокон однороден с пыжами снаряженных патронов, найденных у К.;
   е) извлеченные из трупа Побединского дробь и картечь по своему химическому составу соответствуют дроби и картечи в снаряженных патронах, найденных у К.
   Таким образом, исследование добытых фактических данных показало их относимость к делу, связь с предметом судебного исследования. Фактические данные тем самым стали судебными доказательствами, изобличавшими К. в совершении убийства.
   Следствием было установлено, что К. систематически занимался кражей картофеля, для чего изготовил специальную лопату. Рано утром он поехал на велосипеде на участок Побединского, взяв с собой мешок и - на случай, если его попытаются задержать - ружье. Во время копки картофеля его застал Побединский, пришедший убирать картофель. Чтобы избежать ответственности за совершенную кражу, К. двумя выстрелами из ружья убил Побединского и скрылся".

                Глава  3.    Анализ судебного доказательства.

   Каким бы волнующим и поучительным ни был этот пример не будем, однако, терять из виду основной цели: стремления самим разобраться в существе судебного доказывания. Прежде всего, просто невозможно не заметить, что приведенное выше судебное доказательство обладает ясно выраженной структурой (в тексте были даже специально выделены самостоятельные части, обладающие значительной убедительностью - это утверждения: "а", "б", "в", "г", "д", "е"). Они являются как бы своеобразными леммами основного доказательства.
   Убедительность "а" основывается на уверенной распо-знаваемости того, что найденные в различных местах и в различное время куски ткани некогда составляли единый предмет - льняной мешок. Особенности чередования нитей ткани мешка, обуславливаются спецификой процесса его изготовления, случайными факторами, проявляющими свое действие в рамках существующей технологии изготовления мешка. Совпадение порядка следования нитей в двух исследуемых кусках льняного мешка, имеющих в зоне разрыва разную толщину, и поэтому чередующихся неравномерно, позволяет уверенно обосновать былую целостность ткани.
   Если убедительность вывода, основанного на этом наблюдении, покажется кому-то недостаточной, то можно отправить на экспертизу каждую разорванную нить отдельно и установить взаимнооднозначное соответствие между разорванными волокнами в каждой такой нити. Привлекая все более мощные оптические средства, можно практически неограниченно увеличивать объем информации, подтверждающей былую целостность исследуемых кусков ткани.
   - Позвольте,- возразит недремлющий оппонент, - но эта информация доказывает только, что конфигурация элементов поверхности двух кусков ткани в так называемой "зоне разрыва" такова, что эти куски, видимо, неплохо дополняют друг друга, однако вывода о былой целостности строго говоря, еще никак не обосновывает.
   Что ж,  действительно, в данном случае доказательство одного утверждения было сознательно подменено доказательством другого. Но винить в этом одну только юриспруденцию было бы, по меньшей мере, нечестно. В математике, например, тоже чрезвычайно часто осуществляются точно такие же подмены. Действительно, при проверке того, что два формальных предложения совпадают, математик вначале установит взаимно однозначное соответствие между символами, входящими в оба предложения (аналогично тому, как это делалось с нитями кусков мешковины); затем он проверит тождественность символов в каждой такой паре (аналогичную операцию мы проделывали бы с нитями по отдельности). Но ведь этим самым он только докажет, что каждые два символа совпадали в тот момент времени, когда он их сравнивал (а если начать проверку завтра и не с начала предложения, а с конца?). Короче говоря, только многовековой опыт, полное неверие в "нечистую силу", абсолютная уверенность в том, что текст проверяемого предложения не сфабрикован всемирно известным иллюзионистом, а сам проверяющий находится в твердом уме и добром здравии, - позволяют сделать вывод, что рассматриваемые тексты идентичны.
   Математическое отождествление основано на соглашении, по которому два предложения, составленные из одних и тех же символов, записанных в одном и том же порядке, считаются тождественными. Но ведь точно такое же соглашение (инструкция для следователя) могла бы существовать и о льняных мешках, найденных на месте убийства. Однако нам с вами полезно будет также узнать, что в данном случае следствие могло бы обойтись и без "соглашения о льняных мешках". Надо только более тщательно провести доказательство. Дело в том, что нити мешка имели растительное происхождение и, следовательно, каждое волокно нити содержит также и биологическую информацию. О былой целостности этого волокна свидетельствуют не только зона разрыва волокна, но и весь его объем, кое-где оставшиеся ядра клеток, содержащие полные наборы хромосом. На мешке могла быть также какая-то надпись или рисунок (на нем были в частности две черные полосы и кроме того у него были обгоревшие края); в нем безусловно что-то хранили раньше и частицы этого материала застряли между волокнами ткани. Из волокон мешка можно, в принципе, начать составлять стебли льна.
   Короче говоря, в двух кусках разорванного мешка содержится масса информации, свидетельствующая именно о былой целостности этих кусков.
   Таким образом, в данном случае мы сталкиваемся, можно сказать, с "натуральным доказательством" - особым типом нематематических доказательств, широко используемых в судопроизводстве, естествознании (Д.И. Менделеев в свое время составил из отдельных элементов целое - таблицу, носящую его имя), истории (археологи, просеивая мусор, выбирают из него осколки черепков и из них собирают целые вазы), физике элементарных частиц (экспериментаторы отделяют от "мусора" нужные им события и по следам восстанавливают картину произошедшего события). Абстрактной тенью натурального доказательства, основанного на уверенном распознавании отношения, выражаемого словосочетанием "часть от целого", является отношение включения из теории множеств, то есть "собственное подмножество множества".
   Убедительность "натурального доказательства" базируется не на аксиомах, и не на логике, а на важном свойстве окружающего нас мира: сохранять информацию (изменение информации свидетельствует о материальном воздействии на ее носитель), на каком-то информационном аналоге закона инерции.
   Обратите теперь внимание на то, что доказательность остальных утверждений (за исключением разве лишь утверждения "в") основана на уверенной распознаваемости целого по его частям. Однако не только эти вспомогательные утверждения, но и основное утверждение о виновности гражданина К., основаны на уверенном отождествлении части с целым. Действительно, основное доказательство:
   "Следствием было установлено, что К. систематически занимался кражей картофеля, для чего изготовил специальную лопату. Рано утром он поехал на велосипеде на участок Побединского, взяв с собой мешок и - на случай, если его попытаются задержать, - ружье. Во время копки картофеля, его застал Побединский,  пришедший  убирать  картофель. Чтобы  избежать  ответственности за совершенную кражу, К. двумя выстрелами убил Побединского и скрылся", - рисует общую картину преступления. Фрагменты этой картины, обнаруженные на месте преступления: труп, мешок, пыжи, лопата, - уверенно вписываются в нее и именно на этом основании связь основного действующего лица - гражданина К., с мешком, лопатой, пыжами и трупом считается доказанной.
   Доверие, оказываемое судопроизводством "натуральным доказательствам" основывается, по-видимому, на интуитивной уверенности в том, что они надежнее чисто логических доказательств. Противоречивость одного "натурального доказательства" не вызывает автоматически противоречивости всех остальных таких доказательств, тогда как в математике дело обстоит именно таким образом, все доказательства оказываются в ней связанными самой настоящей "круговой порукой" (одно единственное противоречие делает противоречивым все высказывания математики). Системы круговой поруки возникают обычно только при наличии чрезвычайных опасностей, какие же чрезвычайные обстоятельства заставляют математику так упорно держаться за систему круговой поруки? В естественных науках этого не наблюдается. Например, теория движения тектонических плит основана на уверенности в том, что отдельные куски земной коры (например, Африка и Южная Америка) некогда образовывали единый континент, и, хотя в целом эта теория довольно противоречива, доказательность того, что Африка и Южная Америка являются частями некогда расколовшегося материка, от этого не снижается.
   Существует еще одно обстоятельство, безусловно не такое бесспорное как первое, но играющее тем не менее заметную роль в дальнейшем изложении. Вообразим, что на судебный процесс по делу гражданина К. прибыл инспектор из соседней галактики (служебная командировка на периферию за какие-то провинности). Он естественно сноб, мыслит категориями пятизначной логики и о наших мыслительных способностях отзывается чрезвычайно нелестно. Как вам кажется, сочтет ли он "натуральное доказательство" того, что части ткани,  проходящей по этому делу,  некогда образовывали единое целое - мешок, убедительным?
   Согласен, ситуация слишком фантастична, однако "натуральное доказательство" понятно человеку даже не знакомому с логикой (детективы читают, любят и ценят почти все, тогда как логику, математические доказательства - почти никто). Убедительное доказательство причастности к преступлению смогло однажды предоставить существо, даже не имеющее собственного языка - служебная собака американской полиции по кличке Рекс. Согласно заметке (я помню, что где-то читал ее, но так и не смог найти где, чтобы привести эдесь точную ссылку), которая называлась "Самый умный пес", полицейский пес повел себя довольно странно, когда в участок доставили ничем непримечательного бродягу. Рекс выбежал из комнаты и менее чем через минуту вернулся и положил на пол перед бродягой пуговицу с остатками материи. Эта пуговица была доставлена в участок из ближайшего морга, где она была извлечена из судорожно сжатого кулака покойника. На плаще бродяги отсутствовала именно такая пуговица.
   Для собаки доказательность связи между бродягой и пуговицей была основана по-видимому на запахе. Судебная доказательность обнаруженной Рексом связи могла быть усилена специальной экспертизой. В данном случае "собачье доказательство" оказалось настолько убедительным для преступника, что он немедленно дал важные показания, позволившие полностью раскрыть преступление.
   Для нас этот случай должен быть важен и интересен вовсе не тем, что справедливость в конце-концов восторжествовала, и не тем, что преступность в США достигла таких небывалых размеров, что даже псы стали раскрывать некоторые убийства, а тем, что здесь мы как бы сталкиваемся с парадоксальной ситуацией - доказательство как будто бы есть, а языка, на котором оно излагалось, вроде бы нет. Язык здесь тоже есть и описанием его мы займемся в следующей главе.


                Глава  4.    Разумно ли в наши дни сомневаться в том, что натуральный язык существует?

   Что мы знаем о собаке? Да примерно то же самое, что и о любом млекопитающем. Во-первых, то, что оно через свои органы чувств и нервную систему воспринимает окружающий мир и каким-то образом реагирует на его воздействия. Мозг животного в наши дни принято представлять, как чрезвычайно сложное вычислительное устройство - несколько более простое, чем человеческий мозг, но значительно более сложное чем любая современная вычислительная машина, а это позволяет, пользуясь образами популярной кибернетики, говорить о животных как о самообучающихся "черных ящиках " биологического происхождения. Практика общения с этими "черными ящиками" показывает, что программу, управляющую реакциями животного на воздействия внешнего мира, можно дописывать, корректировать, усложнять посредством некоторого системного языка, видимо единого для всех живых существ, так что в конечном счете они начинают вести себя в совершенно несвойственной им манере, совершая действия, казалось бы явно противоречащие их природе.
   "Однажды я за десять минут научила пятисантиметрового помацентра (рыбу ласточку) проплывать сквозь обруч. Крупного рака-отшельника я научила дергать за веревочку и звонить в колокольчик, требуя ужина. У Дэвида Элисиза, виртуоза дрессировки, маленький осьминог взбирался на ладонь и позволял себя вытащить из воды, а кроме того, по команде переворачивался вверх тормашками и выбрасывал струйку воды из своего сифона в воздух, так что получался осьминожий фонтан. Дрессировка низших животных открывает поистине неограниченные зрелищные возможности, и, насколько мне известно, ею нигде не занимались, кроме одного аквариума в Японии. Черепахи, омары, карпозубики - выдрессировать можно буквально любую тварь при условии, что Вы найдете способ эффективного ее поощрения, а так же придумаете интересный номер, соответствующий ее возможностям. Доктор Ларри Эймс, профессор Гавайского университета, сконструировал крохотнное приспособление, с помощью которого делил ежедневный рацион золотой рыбки на восемь микроскопических частей. Он пользовался этим приспособлением для экспериментов с выбором. Золотые рыбки, насколько я с ними знакома, не слишком бойкие создания, но рыбки Ларри буквально выпрыгивали из воды, торопясь добраться до своих кнопок. Я прямо-таки упивалась этим зрелищем. Как говорят про цирковых собак, рыбки Ларри "работали с душой".
   Доктор Роджерс Футс, известный специалист по обучению шимпанзе, как-то признался мне, что его заветной мечтой было выяснить, нельзя ли выдрессировать мясных мух кружить по команде слева направо и справа налево. Отец современного оперантного научения Б.Ф. Скиннер клянется, что вечно будет жалеть об одной неосуществленной своей мечте: научить двух голубей играть в настольный теннис! Однако из всех профессорских достижений в дрессировке  выше  всего  я  ставлю  то, о котором мне поведал доктор Ричард Гернстайн из Гарварда: он в минуты досуга выдрессировал морского гребешка, этого плебейского родственника устрицы, хлопать створкой раковины ради пищевого поощрения. ("Карен Прайор "Несущие ветер").
   Этим системным языком оказался язык кнута и пряника - натуральный язык, который прекрасно понимают все животные как большие, так и маленькие, да что животные, этот язык мы, люди, понимаем лучше всяких слов. А нет ли еще более фундаментального натурального языка? Оказывается, есть и Вы с ним тоже хорошо знакомы и, чтобы почувствовать это достаточно только намекнуть, иными словами, по-сократовски начать с какого-нибудь конкретного примера.
   Вот, например, старинное кресло, на нем, говорят, сидел Людовик XIV. Какая работа, какие формы! А это что за дырочки? Вы только посмотрите, какая досада! Беспощадные древоточцы, что они с ним сделали! Для Людовика оно было мебелью, а для них хлебом насущным. Для утопающего - это будет спасительная опора на воде, а для замерзающего - топливо для костра. К чему я клоню? Естественно к утверждению, что объективно никакого кресла нет, объективно существуют только 6 килограммов древесины. Однако этой древесине придана изысканная форма, из нее создали деревянный символ, некое натуральное слово и мы его ощущаем, видим (подобно тому как в кляксе, образуемой струйкой чернил, стекающих с кончика пера авторучки, которой кто-то водил по бумаге, мы видим иногда поэтическое произведение, а иногда злонамеренную порчу дефицитной бумаги).
   Но в таком случае и все, что нас окружает - это тоже какие-то натуральные слова, но не плоские, а объемные, в которых буквами являются атомы, скопления атомов. Это верно, что натуральных букв там многовато для одного слова, но математика большим числом не испугаешь, С точки зрения математика роман Льва Николаевича Толстого "Война и мир" тоже ничто, в принципе, не мешает считать, состоящим из одного единственного слова, в котором встречаются и буквы, обозначающие знаки препинания, и пустые буквы, соответствующие пробелам. И такое экстравагантное, с точки зрения  школьного  учителя  литературы  и  русского языка, восприятие бессмертного романа не требует героических усилий воображения, потому что в наши дни именно так хранится информация в многочисленных электронных досье и банках данных. Но для нас сейчас важно не это, а то, что с этой вроде бы ни к чему не обязывающей точки зрения многие проблемы, волновавшие философов прошлых веков, получают совершенно неожиданное освещение. По Канту, например, объективно существующие вещи ("вещи в себе") непознаваемы. В новой интерпретации это мнение будет выглядеть так: если слово содержит достаточно большое число букв, то оно становится "вещью в себе", то есть становится непознаваемым. Чем, например, "Война и мир" не "вещь в себе"?
   1. Роман нельзя два раза прочитать одинаково, как "нельзя дважды войти в одну и ту же реку". С течением времени изменяется смысл слов, объем соответствующего слову понятия; а с другой стороны, в процессе чтения изменяется сам читатель, изменяется его внутренний мир и, наконец книга не остается той же самой, особенно если она берется из районной библиотеки. Полезно также вспомнить, что существуют и такие литературные произведения, которые не только не имеют ни одного одинакового кусочка с романом Льва Николаевича Толстого, но даже и составлены из букв другого алфавита, про которые тем не менее литературоведы единодушно говорят, что они являются всего только подражаниями "Войны и мира" - американским или японским.
   2. Подобно тому, как буква только условно может считаться элементарным объектом ( на бумаге - это сложная структура из волокон клетчатки и красителя; в звуке - это специфические колебания воздуха, а в нейронной сети мозга - лавина импульсов), так и натуральная буква - атом, тоже является не элементарным объектом, а состоит из ядра и электронов, а ядро тоже не элементарно, состоит из протонов и нейтронов, а они, в свою очередь из кварков и глюонов, а они в свою очередь...
   3. Почти все мы читали это длинное слово "Война и мир", но никто, видимо, не сможет сказать сколько в этом "слове" букв, или сколько, скажем в прочитанном нами издании  романа  грамматических  ошибок; потому что это никого не интересует, как никого не интересует и то, сколько атомов содержится в музейном кресле, какая часть их была съедена личинками древоточцев.
   Можно, видимо, привести немало и других аргументов в подтверждение мнения, что всякая "вещь в себе" непознаваема до конца хотя бы потому, что всякая попытка ответить на вопрос, почему в данном "слове" буквы должны быть расположены именно в этом порядке, а не каком-нибудь ином, неизбежно приводит к необходимости исследования необъятного множества перестановок фрагментов этого "слова", то есть порождает задачу несравненно более сложную, чем простое восприятие текста - в этом случае мы сталкиваемся с объективной непознаваемостью, проявляющей себя через так называемое "проклятье размерности". Стоит ли удивляться тому, что критическим анализам романа "Война и мир", видимо, не будет конца; одних только школьных сочинений на эту злободневную тему было написано во много раз больше, чем содержится букв в гениальном романе.
   Все, что нас окружает - это натуральные слова натурального языка. Разные читатели по разному воспринимают эти слова, по разному переводят их на язык своего личного компьютера при помощи своих устройств ввода информации, короче говоря, по разному видят один и тот же мир. Наш мозг по разному воспринимает даже один и тот же неизменяющийся во времени предмет, поскольку он вызывает разные мысли, навевает разное настроение.
   Без мыслей, без настроения, кресло Людовика - это только 6 кг. бесполезной древесины; именно мысль, именно настроение, порождаемые в свою очередь мыслью и настроением мастера тех давних дней, проявляющих себя в форме, которую он придал этой древесине, своего рода "законсервированная мысль", будит в нас ответные эмоции и не позволяет видеть перед собой только 6 кг испорченной временем древесины.
   Мы подошли к самому важному разделу этой главы, настало время ввести понятие - "натуральное предложение". Натуральное предложение фактически является естественным  обобщением  аналогичного  понятия  "предложение"  из обычного языка, однако, на первых порах только люди, обладающие развитым воображением, смогут сразу же ощутить это.
   Определение. Будем называть натуральным предложением всякое явление или процесс (короче говоря, натуральное слово), которое наше сознание воспринимает как комплекс, состоящий из двух качественно различных компонент. Одну компоненту будем называть деловой частью натурального предложения, другую - знаком препинания (натуральным знаком препинания, естественно).
   Без сознания (а оно, как мы ранее убедились, может быть настолько примитивным, что и сознанием то его еще не принято называть) натуральных предложений не существует, хотя явления, породившие их, существуют и существуют совершенно независимо от сознания, просто никаких частей в них выделено не будет. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих определение.
   1. Комплекс, состоящий из 6 кг. древесины (деловая часть предложения) и эмоций, которые она вызывает у наблюдателя (знак препинания), образует натуральное предложение.
   2. Натуральное предложение образует комплекс, состоящий из зайца, бегущего по заснеженному полю (деловая часть предложения) и оставляемому им следу (натуральный знак препинания).
   Заяц не может бежать по заснеженному полю, не оставляя следа, и след тоже не может возникнуть сам собой. Однако наше сознание (хотя, видимо, и не только наше) способно их уверенно разделять. Возможно, это происходит потому, что нам чаще всего приходится видеть только следы, оставленные какими-то неизвестными зайцами, или, наоборот, видеть подстреленных зайцев, оставлявших свои следы неизвестно где. Именно ощущение независимости одной части явления от другой (кстати, совершенно необоснованное ощущение) является основанием для уверенного разделения конкретного явления, не имеющего частей, на две части. Условимся конкретно известную часть явления называть деловой частью  натурального предложения, а менее определенную часть, воспринимаемую сознанием в некотором роде как переменную - знаком препинания, хотя на самом деле эта часть явления столь же конкретна, как и первая. Так, видя зайца, бегущего по заснеженному полю, и оставленный им след, мы понимаем, что заяц в данном случае конкретнее следа, которого мы не в состоянии увидеть целиком. В этом случае след, как переменная компонента восприятия должен быть отнесен к знаку препинания.
   Видя след зайца на заснеженном поле, двигаясь вдоль него, чтобы увидеть зайца, мы осознаем, что этот след более конкретен и лучше нам известен, чем заяц, который его оставил. В этом случае заяц, как неопределенная компонента явления должен быть отнесен к знаку препинания. Заметим, что хотя это предложение образовано из тех же самых частей, оно однако отличается от ранее рассмотренного.
   Для охотника, выследившего зайца по следу и подстрелившего его, обе части одинаково интересны и конкретны, поэтому он, возможно, их не разделяет и никакого натурального предложения не видит.
   3. Комплекс, состоящий из набора слов и сопровождающей их интонации образует разговорное предложение. Двусмысленность таких предложений возникает из-за недостаточно четкого различения той части комплекса, которую говорящий относил к знаку препинания.
   4. Из комплекса, состоящего из книги и ее текста тоже можно образовать два предложения. Предположим, Вы в первый раз видите книгу "Россия во мгле". В этом случае название книги, автор и ее толщина являются конкретной частью наших знаний о ней, а содержание книги - знаком препинания.
   Но вот книга прочитана и роли, возможно, переменились: содержание книги стало деловой частью предложения, а название - знаком препинания.
   5. Рассмотрим, наконец, пример, в котором натуральное предложение является доказательством. Предположим, что мы установили контакт с цивилизацией, не верящей в существование антипротона (протон им вроде бы известен). Наша  планета  решила  предоставить им доказательство.  С этой целью с Земли была отправлена экспедиция. По прибытии в район дислокации наших собратьев по разуму, экспедиция начала сооружать ускоритель. Вполне возможно, что для создания ускорителя им придется синтезировать железо из протонов, которые им предоставили хозяева, а также медь и другие необходимые материалы в нужном количестве; затем изготовить из них нужные детали; собрать электростанцию и ускоритель; отладить их и запустить; получить антипротоны и предъявить их для экспериментов.
   Для землян, комплекс, состоящий из последовательности операций, предшествовавших получению пучка антипротонов, и самого пучка этих частиц, является доказательством того, что антипротоны существуют.
   Для заказчика доказательство существования антипротонов образовано из комплекса (натурального предложения), состоящего из пучка антипротонов (деловая часть предложения), и знака препинания, являющегося некоторым сложным материальным процессом, основное свойство которого заключается в том, что его можно "чисто механически" повторить. Ни язык, на котором интерпретируется последовательность этих "чисто механических" действий; ни бумага, на которой она записана, ни оригинальность процессов, на которых основано сознание заказчика, не могут повлиять на итог аккуратной проверки.
   (А почему мы так уверены, что из ускорителя, впервые построенного в этих местах, не может вылететь вместо антипротонов, что-нибудь более интересное, например, стая одноногих черных журавликов, очень-очень маленьких?)
   Грамматику натурального языка, то есть многочисленные конкретные вопросы о том, как расчленяется натуральное предложение на части или, наоборот, можно ли из данных частей составить натуральное предложение изучают: физика, химия биология, инженерное искусство, криминалистика. Но нас далее будет интересовать только один аспект его грамматики: не связаны ли натуральные доказательства каким-то естественным образом с математическими доказательствами и, если связаны, то как.

               Глава  5.   Существуют ли ложные натуральные доказательства?

   Последний пример предыдущего параграфа, несмотря на всю его фантастичность, не оставляет сомнений в том, что некоторые натуральные предложения могут являться доказательствами. Однако утверждение, что свойство быть доказательством присуще самим явлениям, неверно. В отличие от математики, одно и то же предложение может, как быть, так и не быть доказательством. Например, приведенное выше "собачье доказательство" для самого Рекса доказательством видимо не являлось. Он ничего не хотел доказывать, а просто решил, как всякая умная собака, оказать человеку совершенно естественную собачью услугу - принести потерянную им пуговицу, как приносят собаки брошенную палку или тапочки. Но сам преступник и окружающие увидели в этом естественном движении собачьей души "доказательство", потому что в ином свете увидели то, что им было уже известно.
   Значит натуральное доказательство - это такое явление природы (натуральное предложение), которое осуществляет революционное преобразование наших взглядов на тот или иной фрагмент окружающего нас мира. Юристы всегда четко осознавали это, еще до революции известный русский юрист В.Д. Спасович писал:
   "Когда мы познаем известные явления, когда из созерцания связи и отношений между предметами мы приходим к известному убеждению, то мы называем те данные, которые породили в нас это убеждение, доказательствами".
Математики в этом вопросе всегда отстаивали право на свою особую позицию. С одной стороны, они тоже остро чувствуют, что не всякий набор силлогизмов является доказательством:
   "Математику определяли как науку вывода необходимых следствий. Но каких именно следствий? Простая цепь силлогизмов - это еще не математика. Каким-то образом мы выбираем те формулировки, которые в компактном виде охватывают широкий класс частных случаев, а определенные ими доказательства считаем элегантными и красивыми. Значит, метод включает в себя нечто большее, чем простая логика, заключенная в дедукции".
   А с другой стороны, большинство математиков предпочитают принципиально не интересоваться тем, почему доказательство является доказательством, а на недоумения, возникающие в связи с этим, отвечать: мы этого не знаем, однако всегда сомневались в том, "что вне математики имеются доказательства в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков..."
   Кстати, а так ли уж убедительны математические доказательства? Обратимся к фактам:
   "Нептун был открыт в 1846г. в результате математических вычислений, проведенных независимо друг от друга и практически одновременно Адамсом и Леверье... одна замечательная современная книга по истории астрономии (1938г.) содержит фразу: "... вероятно, самый смелый математический замысел столетия ... поразительная попытка, равной которой не знает история ...".
Однако убедительность математического доказательства, представленного Адамсом, была настолько невелика, что прошел без малого целый год прежде чем директор Кембриджской обсерватории, профессор Джеймс Челлис направил телескоп в направлении, указанном Адамсом, и трижды наблюдая планету, тем не менее, так ее и не увидел. И только сообщение в газете об открытии новой планеты на основе независимого предсказания, сделанного Леверье сумело окончательно развеять все сомнения профессора. Вот что Джеймс Челлис писал потом в свое оправдание:
   "В сентябре 1845 года Адамс дал мне в руки статью, содержащую... результаты относительно массы, среднего расстояния, средней долготы в заданную эпоху, долготы перигелия, эксцентриситета орбиты возмущающей планеты и, что самое главное для астронома-практика - вероятное геоцентрическое положение планеты на конец сентября. Однако время было неблагоприятным для наблюдения, так как предполагаемая планета была далека от оппозиции. Но это - не единственная причина того, что в том году не была предпринята попытка наблюдать. Постановка вопроса о проведении наблюдений только на основании теоретических выводов представлялась новой и необычной. При этом в перспективе была большая и явная работа, а успех - проблематичный. Естественным было желание отсрочить эту работу до менее спекулятивных выводов".
   Леверье, в отличие от Адамса, искал и нашел метод, пользуясь которым он смог преодолеть неубедительность математического доказательства.
   "В начале сентября французские астрономы, к которым Леверье обратился прежде всего, не собирались организовывать поиски новой планеты. Конечно они направили в адрес Леверье много похвальных слов, но, по-видимому, они оценивали работы Леверье больше как проявление таланта автора, как интересное научное достижение, но не как важный практический результат, который должен побудить их к немедленным конкретным действиям...
   Надо сказать, что Леверье поступил очень умно и дипломатично. Он не стал обращаться к маститым астрономам, директорам абсерваторий, например, Араго, Эри, Иоганну Францу Энке (1791-1865), и др. Он обратился к такому же молодому, как и он сам, немецкому астроному Иоганну Готфриду Галле, ассистенту Берлинской обсерватории. К этому был удобный повод: год назад Галле прислал  Леверье  в  знак  уважения свою диссертацию, посвященную анализу наблюдений датского астронома Олафа Ремера. И Леверье отсылает 18 сентября письмо Галле, в котором пишет:
   "Я прочитал с большим интересом и вниманием работу о редукции наблюдений Ремера, которую Вы так любезно мне прислали. Исключительная ясность объяснений, полная строгость результатов, представленных в работе, делают вам честь как способнейшему астроному...
   Непосредственно сейчас я хотел бы найти настойчивого наблюдателя, который согласился бы уделить некоторое время наблюдениям в той области неба, где может находиться неизвестная планета. Я пришел к своему выводу на основании теории движения Урана ...
   Положение планеты сейчас и в течение ближайших нескольких месяцев благоприятное с точки зрения ее обнаружения. Величина массы планеты позволяет сделать вывод, что ее видимый диск более 3". При наблюдениях в хороший телескоп этот диск вполне можно отличать от мерцающих изображений звезд".
   Галле получил это письмо 23 сентября. Его реакция была немедленной и положительной. В ту же ночь он сел за телескоп - 23 сантиметровый рефрактор Берлинской обсерватории (Леверье угадал, к кому надо обратиться!)...
   Все произошло очень просто и очень быстро: на обнаружение планеты вместе со скрупулезной проверкой данных и уточнение координат ушло чуть более одних суток. Но если вдуматься, то эти обстоятельства не относятся к типу "Пришел, увидел, победил", а предоставляют богатую пищу для размышлений".
   Разве не удивительно то, что сообщение в газете оказалось убедительнее доводов талантливого математика? Чистому математику сама мысль о том. что сообщение в какой-то газете может обладать большей убедительностью, чем математическое доказательство, неизбежно должна казаться кощунственной и тем не менее даже ему придется признать, что из двух утверждений:
   1) планета N существует, потому что Адамс и Леверье независимо вычислили, что введением планеты N все аномалии в орбите движения планеты Уран исчезают;
   2) планета N существует, потому что астроном Берлинской обсерватории Галле собственными глазами наблюдал ее в телекоп 23 сентября 1846 года, - второе обладает большей убедительностью, потому что с этого момента всякому сомневающемуся или просто интересующемуся может быть предъявлено натуральное доказательство: он сможет своими глазами увидеть, как эта новая планета перемещается на фоне неподвижных звезд. Конечно, и этот довод может показаться кое-кому недостаточно убедительным какой-то там телескоп, обсерватория, - мы ведь так хорошо знаем, что человеку не следует всецело доверять своим глазам - фокусники в цирке, например, такое вытворяют, что волей-неволей отказываешься верить в то, что видишь своими глазами.
   (Эврика!) Ну, конечно же, в ситуации с планетой Нептун гениальные теоретики Адамс и Леверье похожи на фокусников больше, чем педантичный немецкий астроном Галле, и именно поэтому, свидетельству астронома мы доверяем больше и, естественно, еще больше, когда это сообщение появилось в газете! Если в логике нас беспокоит один вопрос, одна забота, а не ложно ли рассматриваемое высказывание, то в металогике - науке о всех видах доказательств, нас будет интересовать другой вопрос, а не является ли фокусом рассматриваемое натуральное предложение.
   Фокус является примером того, что следует отнести к ложному натуральному доказательству. Чем сложнее натуральное доказательство, тем труднее гарантировать, что это не фокус. Существенную помощь в преодолении этой трудности нам оказывают глобальные критерии (!), которым фокус автоматически не удовлетворяет. Фокус в том или ином смысле невоспроизводим - достаточно сменить место, убрать некоторые "несущественные" предметы обстановки или части одежды; самому занять место фокусника и проделать вроде бы то же самое: так же накрыть пустое место волшебной шляпой так же взмахнуть волшебной палочкой, произнести те же самые волшебные слова, - и неизменно получать отрицательный результат. Воспроизводимый процесс в отличие от магии (фокусники прошлого часто выдавали себя за магов) не зависит ни от места, ни от времени, ни от деятеля (берешь, например, яйцо, опускаешь его в кастрюлю с кипящей водой, накрываешь волшебной крышкой, через 5 минут взмахиваешь волшебной палочкой, извлекаешь из кастрюли, разбиваешь, - а оно уже не жидкое!), но это уже не магия, а "технология".
   Греческое слово "технология", в последнее время стало часто употребляться, особенно в научный кругах, жаргонно, в кавычках. Так например, в отрывке:
   "Такова история открытия Нептуна, рассказанная более или менее подробно... Она может служить источником размышлений об очень многом: о путях развития астрономии и всей науки. О "технологии" научных исследований, о человеческих взаимоотношениях, о роли объективных и субъективных факторов, характеров людей, случайностях, закономерностях и т.д.", слово "технология" употребляется скорее в том же смысле, в каком мы часто говорим: "Ну, а это уже дело техники",- хотя
никакой техники там в действительности нет. Это жаргонное употребление слова "технология" означает что каким бы сложным и неизученным не являлся рассматриваемый процесс или явление, оно тем нее менее не является ни фокусом, ни магией, а относится к технологиям - процессам с закономерным и объяснимым исходом. Именно в этом, фактически жаргонном, но очень удачном с моей точки зрения значении будет употребляться в дальнейших частях этой работы слово "технология", употребляться, естественно, без кавычек. Говоря о биологических системах, мы будем употреблять выражения: технология передвижения, технология охоты, добывания пищи, технология адекватного реагирования, технология размножения, технология экологического равновесия и т.п., подчеркивая этим, что во всем этом сложном явлении мы видим только взаимодействие автоматов биологического происхождения, а не магию, проявление сверхъестественных сил.
   Возвращаясь к основному примеру этой главы, можно сказать, что оба доказательства существования планеты Нептун убедительны только потому, что они основаны на технологии. Доказательство Галле основано на тщательно разработанной технологии наблюдения небесных объектов. Доказательство Адамса и Леверье - на открытии Ньютона, который показал, что движение планет - это не следствие чьих-то магических чар и не фокус Зевса, соорудившего невидимые эпициклы и повелевшего планетам двигаться по ним, а определенная технология, в основе которой лежат чрезвычайно простые соотношения, управляющие бесконечно малыми перемещениями тел: дифференциальное уравнение второго закона Ньютона, и закон всемирного тяготения. Заслуга Адамса и Леверье заключается в том, что они оставаясь в рамках этой всеобщей технологии движения материальных тел в пустоте, сумели по наблюдаемой аномалии движения планеты Уран воссоздать траекторию движения неизвестной возмущающей планеты.
   Адамс и Леверье пользовались дополнительно к этому технологией логического вывода и технологией математических вычислений, но Леверье, в отличие от Адамса прекрасно владел  практическими  приемами  технологии человеческих отношений. Как тонко он польстил Галле! Ясно, что Леверье преследовал сразу две цели: во-первых, он хотел вдохновить почти что никому неизвестного астронома на подвиг, а, во-вторых, наилучшим образом защитить себя от язвительных замечаний неутомимых злопыхателей, на случай неудачи. (Если бы, несмотря на отчаянные поиски, планета так бы и не нашлась, то Галле не решился бы злорадствовать по двум простым причинам: во-первых, Леверье ему не ровня, а, во-вторых, сам то он в этой истории тоже выглядел бы неприглядно - этаким классическим наивно-легковерным дурачком.)
   Таким образом, для того, чтобы понять, почему вообще что-либо бывает убедительным, и, в частности, почему убедительны математические доказательства, нам следует исследовать более общий вопрос: почему технология так убедительна для нас людей, и какое место занимает математика в этой более обширной системе убеждения в истинности - технологии.

Глава  6.   Причина убедительности технологии.

   С детства памятны нам строки А.С. Пушкина:
   "Раз он в море закинул невод,
    Пришел невод с одною тиной.
    Он в другой раз закинул невод,
    Пришел невод с травой морскою ..." -
поэтично и убедительно описывающие не менее древнюю, чем цивилизация, технологию ловли рыбы сетью. Когда и как научились наши предки ловить рыбу сетью точно установить уже невозможно, но подозрение в возможно имевшем месте плагиате, вообще говоря, вовсе не лишено оснований. Эта прекрасная идея ловли добычи сетью, возможно, была просто позаимствована каким-то нашим далеким предком у совершенно безмозглого биологического автомата - паука.
   Пауки стали пользоваться этой технологией ловли, включающей: изготовление нити, плетение из нее сети, выбор подходящего места для установки сети, извлечение из сети запутавшихся в ней жертв и ремонт самой сети,- за 200-300 миллионов лет до того, как человек догадался слезть с дерева и взять в руки палку (по-видимому, просто отломив ветвь, чтобы по привычке не выпускать ее из руки). Технология ловли фактически уже существовала, хотя человека еще не было.
   Значит, верно одно из двух: либо некий еще более безмозглый, чем современный паук, предок паука, однажды изобрел эту технологию, либо она в каком-то смысле уже существовала и до того, как он стал ею пользоваться, и именно по этой причине в процессе эволюции он бессознательно приспосабливал к ней свое тело и свое поведение. С другой стороны, раз эта технология еще не была материально реализована, то имеем ли мы право говорить, что она все же существовала. Поистине нетривиальную проблему поставил перед нами этот злополучный паук! Впрочем существует отличный прием, пользуясь которым, мы можем, не решая проблемы, благополучно выбраться из казалось бы безвыходного положения - спасительная идея заключается в том,  что  паука могло еще и не быть,  когда какой-то другой
пионер биосферы нашей планеты "догадался" создать какой-то третий аналог рыбацкого невода и начал пользоваться фактически той же самой технологией.
   Для того, чтобы увидеть иные варианты реализации этой же самой технологии, задумаемся на мгновение над таким естественным вопросом, а зачем, скажем с точки зрения технолога, Пушкинский рыбак закинул свой невод в море? Да, наверное, для того, чтобы отделить рыбу от воды (море, видите ли, мешает его сварливой бабе жарить или варить рыбу - вот он, чудак, и пришел на берег моря, чтобы прямо на месте отделить мешающую ему воду от рыбы). Однако не сразу ему удалось это сделать. Вначале, как говорится в сказке, он отделил от морcкой воды нечто, что оказалась не рыбой, а тиной; затем - морской травой, и только на третий раз ему попалась "Золотая рыбка", которую он тоже ловить не собирался. Значит, сеть - это не инструмент ловли рыбы, а инструмент, при помощи которого можно успешно отделять воду от того, что в ней плавает, то есть ловля сетью относится к технологиям разделения веществ. Сито - это та же сеть, только более мелкая и обладающая существенно меньшими размерами, а просеивание и процеживание - это просто варианты той же самой технологии разделения веществ на сетке. Кит, процеживая морскую воду, фактически пользуется одним из вариантов технологии, к которой приспособился паук, и, если в этом случае "приоритет" бесспорно следует отдать пауку, то морская губка "догадалась" процеживать морскую воду для достижения той же самой цели, что и кит, около миллиарда лет назад, то есть задолго до появления паука. Но ведь не обязательно ловить добычу, пользуясь технологией разделения веществ, можно и самому спастись от опасности, ускользнув за тот или иной вариант естественной решетки. Ящерица юркнула в пространство между камней - теперь ее не поймаешь. Мышь шмыгнула в норку в стене - вот вам другой вариант той же самой технологии разделения веществ, причем в каком-то смысле предельный ее вариант - сеть в этом случае состоит из одной единственной дырки!
   А  клеточные  мембраны, разве это не аналоги того же самого сита, только работающего на молекулярном уровне, но ведь клетки появились и того раньше - 3,5 миллиарда лет назад.
   Миллиарды лет хаотичное движение молекул неустанно перемешивало вещества, растворенные в водах мирового океана, и казалось бы ничто не способно было помешать этому, хаос всегда одерживал верх даже над самой казалось бы примитивной упорядоченностью. Но вот появляется маленькая живая клетка и принимается за работу прямо противоположную той, которой занят хаос; она не смешивает, а разделяет вещества, она не рассеивает их, а накапливает до тех пор, пока не появится возможность создать свою точную копию. Энтропии, клетка противопоставляет технологию разделения веществ и геометрическую прогрессию.
   А как не вспомнить о том грандиозном хаосе, которым сопровождалось рождение нашей вселенной, и о постепенном обуздании его по мере включения до поры до времени скрытых механизмов технологии разделения веществ: через секунду после "грандиозного взрыва" отделилась нейтринная компонента излучения, миллион лет спустя, отделилась фотонная компонента излучения. В тот грозный момент вряд ли кто рискнул бы предсказать, что после этого начнут включаться все более удивительные механизмы технологии разделения веществ, которые приведут к образованию звезд, галактик, планет; что на одной из планет отделится вода из материалов, содержащих водород и кислород; что эта вода образует океан; что, в ходе дальнейшего развития технологии разделения веществ, в этом океане возникнет живая клетка; что из этой клетки в рамках развития древней как мир идеи "разделяй и властвуй" возникнет человек; наступит эра взрывообразного совершенствования технологии; что технология, которую освоит человек, даже изотопы сможет разделять. (Если бы какая-нибудь цыганка предсказала Дмитрию Ивановичу Менделееву, что тот самый уран, величину атомного веса которого он в свое время дальновидно умножил на 2, приоритет "умножения на 2 в России" принадлежит, вообще говоря, не Ландау, чтобы поместить его на правильное место в свою  периодическую  таблицу  элементов,  сыграет роковую роль в жизни нашей планеты, потому что, как только люди сумеют разделить изотопы урана, они создадут такие бомбы, которые уничтожат все живое. Короче говоря, если бы он узнал, что человечеству грозит ни голод, ни мор, ни столкновение с кометой, а разделение изотопов урана, он воспринял бы эту весть с облегчением, потому что ему как химику было бы совершенно ясно, что разделить смесь изотопов урана человек не сможет никогда.) И нелегко сейчас предсказать (впрочем это и всегда было нелегко), куда нас заведет технология разделения веществ.
   Подведем итог. С самых первых мгновений существования нашей вселенной наряду с процессами перемешивания в царстве глобального и казалось бы вечного хаоса начинают один за другим срабатывать механизмы разделения веществ, как бы осуществляя нечто противоположное тому, что должны были бы осуществлять чисто энтропийные механизмы, если бы они успевали доделывать свое дело до конца. Это противоположное энтропии, но тоже глобальное свойство материи, проявляющее себя в разделении веществ, саморазвитии и самоусовершенствовании термодинамически неравновесных систем, несомненно тоже следует как-то называть и я предлагаю называть это свойство технологией ("у меня все становится"... технологией).
   Фактически, взяв за основу круг современных нам процессов и явлений, традиционно называемых технологиями, мы дошли, ни на секунду не выпуская из виду основную идею и основное свойство таких процессов, до противоположного конца временного отрезка (начала всех начал и увидели во всем две постоянно действующие силы: все разрушающую энтропию и противоположную ей технологию. После этого мысль о том, что технология в каком-то смысле существует даже тогда, когда еще ни одной материальной реализации ее вроде бы пока нет, не кажется более кощунственной. Технология постоянно предсуществует в том же самом смысле, в каком предсуществуют еще недоказанные теоремы математики (или уже доказанные, но еще как следует не обобщенные) и это предсуществование технологии видимо не менее материально,  чем то,  что мы привыкли обозначать выражением "материальное существование". Мысль о наличии свойства, выражаемого словом "предсуществование" нельзя отнести к классу привычных, но и совершенно оригинальной ее не назовешь, потому что она уже высказывалась разными авторами в разное время.
   "... Вселенная не реализует всех материальных структур и, как известно, не создает в звездах или в каком-нибудь ином месте электрических пишущих машинок; и тем не менее "потенциальная возможность" создания таких машинок в ней содержится; так же надо полагать, обстоит дело с явлениями охватывающими не реализуемые Вселенной (по крайней мере в нынешней ее фазе) состояния материи и энергии в несущих их пространстве и времени" (С. Лемм "Сумма технологий").
   Мысль красивая, чего зря говорить, однако не могу я с ней согласиться, потому что убежден в том, что электрических пишущих машинок в чистом виде не существует - есть определенное количество кусочков металла, довольно сложно соединенных друг с другом в пространстве. Электрической машинкой это нагромождение металлических деталей делает определенная технология или набор технологий, действующих в данный момент в обществе. Вне рамок этих технологий то, что мы называем электрической пишущей машинкой, просто не может ею быть. Во-первых, она не может там появиться (ни на Солнце, ни на Земле в средние века). Во-вторых, она не может там функционировать как пишущая машинка и, следовательно, будет всем чем угодно, но только не электрической пишущей машинкой. А в-третьих, даже если какой-нибудь пришелец ее там позабудет, то она довольно быстро бесследно исчезнет: на солнце расплавится, а на земле (вас никогда не интересовало как и куда с такой быстротой исчезают выставленные у подъезда отслужившие радиоприемники и телевизоры?) она довольно быстро превратится в кучу окислов, которые вода и ветер непременно развеют по поверхности планеты. Таким образом не "потенциальная возможность", а предсуществование и связанная с ним непрекращающаяся созидательная работа в условиях этих технологий, являются залогом возникновения и успешного функционирования термодинамически неравновесных материальных структур, которые неизбежно и довольно быстро распадаются, как только прекращается созидательная работа порождающей их технологии.
   Мы, люди, тоже - продукт конкретной биологической технологии, действующей на земле около 3,5 миллиардов лет. Каждый из нас какое-то время существует в рамках этой технологии, (причем так недолго!) потому что смерть вдруг делает нас непригодными для дальнейшего функционирования в рамках этой технологии. Так что же более материально, человек существующий в среднем около 70 лет или технология, приводящая как к появлению, так и к исчезновению людей, да разве одних только людей? И разве после этого повернется у вас язык утверждать, что технология, которая, говорят, вот уже 12 миллионов лет поддерживает род людской, не существует, а вот  - "Я мыслю, значит, я существую".
   Так почему же технология так убедительна для нас людей? Да потому, что мы сами продукты определенной технологии, потому что в процессе биологической эволюции, на протяжении 3,5 миллиардов лет, естественный отбор непрерывно совершенствовал нашу способность открывать технологии и пользоваться ими; потому что технология, в конечном счете, реальнее нас самих; потому что все, что мы оставляем после себя, чему можем научиться сами и научить других - это технология. Блез Паскаль считал: "Все, что не может геометрия, не можем и мы". Жак Адамар хотел бы, чтобы в наши дни это высказывание воспринималось чуть-чуть иначе: "Все, что не может арифметика не можем и мы". Но в действительности оба они говорили только о том, что все, что не может технология, не можем и мы.
   Итак, мы выяснили причину убедительности технологии. Нам, прочитавшим эту главу, ясно, технология не может быть неубедительной для нас, людей. Ну а как быть с теми, кто еще не прочитал наших доводов, или умер подобно Эйнштейну или Ньютону? Чтобы завершить изложение этой главы просто необходимо потратить еще какое-то время на то, чтобы доказать, что интуиция великих ученых прошлого тоже всегда отдавала предпочтение объяснениям, в основе которых лежала конкретная технология. Далее будет отстаиваться следующий тезис: совокупность эмпирических знаний становилась естественно научной дисциплиной только тогда, когда удавалось найти некоторую конкретную технологию, объясняющую их.
   Не может человек не объяснять того, что его удивляет, однако объяснения его не всегда технологичны, очень часто в их основу кладется та или иная форма магии: "Вначале сотворил Бог небо и землю...", - вам сообщается великая тайна и задавать в этой ситуации вопросы: как почему, зачем, - просто неуместно.
   Птолемей в свое время прекрасно объяснил движение планет солнечной системы, но объяснил нетехнологично - из его объяснения нельзя было, например, установить, как следовало бы двигаться какой-нибудь новой планете, если бы Зевс, скажем, завтра утречком вдруг решил ее сотворить. Ньютон в отличие от своих предшественников дал технологичное объяснение движению планет и приведенный выше вопрос, перед которым был бессилен Птолемей (да что там Птолемей: Кеплер, Галилей, Джордано Бруно и даже сам Коперник были бы просто ошарашены неописуемой наглостью вопрошающего) после технологичного объяснения Ньютона сразу же потерял свою остроту, тогда как вопрос о возможности существования других, неизвестных пока что планет солнечной системы или об открытии новых планет путем математической обработки данных визуального наблюдения за перемещением планет стал злободневным.
   А вот пример из другой области естествознания. Моисей объяснил в свое время не только происхождение Земли и Солнца, но и происхождение того, что мы называем теперь биосферой. Однако это объяснение тоже было чисто магическим, сообщающим посвященным великую тайну бытия. Спустя много веков Чарльз Дарвин опубликовал первое технологичное объяснение этого же самого процесса. Оказалось, что примитивнейшая технология перманентной борьбы за выживание, состоящая всего только из: межвидовой борьбы, внутривидовой борьбы и естественного отбора,- не только объясняет все многообразие существующих форм животного и растительного мира, но и отвечает на вопрос, как произошел сам человек (в любое предшествующее столетие такое объяснение чрезвычайно дорого обошлось бы тому, кто додумался  бы его опубликовать). У Дарвина было немало неприятностей, слишком животрепещущий вопрос он осветил, и хотя даже в наши дни подавляющему большинству людей все так же неприятна мысль о двоюродном родстве с обезьяной, они вынуждены тем не менее считаться с убедительностью доказательства, в основе которого лежит конкретная технология.
   В наши дни, особенно в среде математиков, приходится сталкиваться с недооценкой гениального творения Альберта Эйнштейна - специальной теорией относительности. Часто высказывается мнение, что Лармор, Лоренц, Пуанкаре - фактически уже сделали все до него, а Герман Минковский даже показал, что с точки зрения математики тут и теории то никакой нет. Почему же тогда работы Эйнштейна, а не Минковского произвели настоящую революцию в физике? Да только потому, что Эйнштейн убедительно показал, что идея относительности движения не совместима с наивной технологией измерения отрезков длины и времени, лежавшей в основе представлений Ньютона, и показал, что ее необходимо заменить новой технологией; потому что, строго говоря, старая технология не была еще технологией, так как содержала в себе наряду с элементами технологии элементы магии. Альберт Эйнштейн дал технологическое объяснение тому, чему Лоренц, Пуанкаре и Минковский давали объяснения библейского типа. Введение новой технологии, не важно где: в производстве ли, в науке ли, или в сфере мышления - это всегда революция, всегда ожесточенная схватка с приверженцами существующей формы магии, всегда радикальная, болезненная ломка старого.
   Существуют однако и такие виды деятельности человека, которые не основаны на конкретной технологии, например, астрология, хиромантия, гадание на картах. Процветают они в основном потому, что выдают себя за технологию, однако в их основе лежит не технология, а только устоявшаяся схема убедительного поведения, внешне похожая на технологию (в технологии не важно кто выполняет реализующую ее последовательность операций, тогда как в этих видах деятельности это не так). Общая схема убеждающего поведения такова:  выбирается  некое  явление  обычно  слабо или вообще никак не связанное с основным явлением, которое собираются изучать: дата рождения, рисунок линий на руке или расклад карт, - чтобы по нему предсказать, что будет. Если бы движение материальной точки приходилось излагать в рамках этой схемы, то это выглядело бы примерно так: некто бросает, скажем, кость и в зависимости от того, какое число очков выпало, предсказывает положение точки в следующий момент времени. Такая процедура плохо вяжется с интуитивным представлением о том, какой должна быть технология, в рамках которой мы собираемся описывать явления природы, и в этом свете высказывание Эйнштейна: "Я не могу представить себе, чтобы Господь Бог любил играть в кости,"- не столько говорит о том, что пристало, а что не пристало любить Богу, сколько о том, что он Альберт Эйнштейн и мысли не допускает, что движение электрона может оказаться нетехнологичным. Впрочем, вопрос стоял не столько о том, является ли квантовая механика дальнейшим уточнением технологии движения, найденной Ньютоном, сколько о том насколько полным является описание движения в рамках идей квантовой теории. Этот вопрос в какой-то мере остается открытым и в наши дни, и будет далее обсуждаться в разделе "Механика без магии".
   Но нас должен интересовать не столько этот частный вопрос теоретической физики, сколько чрезвычайно сходный с ним и более трудный вопрос взаимодействия между математикой и технологией. Мы уже знаем, что математика удивительно хорошо приспособлена к описанию различных технологий.
   "Энрико Ферми объясняет, как вычислить мощность атомного реактора, т.е. некоторую величину, которую в принципе можно измерить, считав показания стрелки подходящего прибора. Вместо этого предлагается получить ту же величину обработкой несложного арифметического текста типа
      (3.2*3.9)/(7.2*1014)= ...
   Это - именно та часть научного исследования, которая чаще всего передается ЭВМ (конечно, объем расчетов и их логическая сложность гораздо выше). Именно привычность этого (решать задачи мы учимся с первого класса) мешает взрослому человеку удивиться: почему, собственно, формальная процедура перемножения двух десятичных дробей с использование таблицы умножения и правила переноса цифр ("дважды девять - восемнадцать, восемь пишем, один в уме) приводит к некоторому предсказанию относительно реального хода событий? Ведь в реакторе не происходит решительно ничего, что можно было бы хотя бы ориентировочно соотнести с элементарным актом вычисления "дважды девять - восемнадцать". С другой стороны, этот же элементарный  акт  может встретиться в вычислениях точки встречи ракеты с целью, положения корабля в море или времени жизни Вселенной - вычислениях, которые ни имеют никакого отношения к реакторам."
   Взаимоотношение математики с миром технологии носит такой характер, что необходимо рассматривать, по крайней мере, две возможности:
   1. Математика является разновидностью магии, чем-то вроде хиромантии. Этой точки зрения придерживается Никола Бурбаки.
   "В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм".
   Если в этом тексте заменить выражение "в своей аксиоматической форме математика" выражением "ладонь руки", а "абстрактных форм - математических структур" - "линий", то получится текст убеждающий в необходимости изучения хиромантии.
   Ладонь руки "представляется скоплением" линий "и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм".
   И не следует думать, что эта замена так радикально изменяет только одно предложение в статье "Архитектура математики", просто это предложение наиболее ярко выражало кредо Н. Бурбаки. Вот, например, другое предложение на той же странице:
    "То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами (читай, линиями на руке) существует тесная связь, - это, как кажется было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-то смысл) и, быть может, мы их никогда не узнаем".
   2. Математика сама является технологией, причем такой технологией, которая почему-то (причину предстоит еще выяснить) уже содержится во всякой другой технологии. Но доказать что математика является именно такой технологией не так-то легко, во-первых, потому, что логически доказать это невозможно, значит, надо будет учить читателя новым более мощным методам доказательства, а учиться этому он вряд ли захочет; во-вторых, придется показать, чем плохи традиционные методы доказательства, используемые в математике, а критика, какой бы благожелательной и полезной  она  ни  была, не сопровождается накоплением положительных эмоций; и, в-третьих, нам предстоит, пользуясь уже известными фактами, найти технологию, объясняющую (никого в данный момент времени глубоко не интересующие особенности строения математики и теоретической физики), то есть совершить работу в чем-то напоминающую ту, которую в свое время выполнил Чарльз Дарвин. И как в случае с Чарльзом Дарвином, нам предстоит ввести в естествознание технологию, которая никогда еще явно не использовалась в нем, хотя всегда была известна, причем в той или иной мере поголовно всем, но чем однако редко кто искренне гордился. Если я сразу же сообщу ее Вам, то кем бы Вы ни были: физиком ли, математиком ли, психологом ли, - Вы с чувством искреннего возмущения отвернетесь от нее, то есть отреагируете подобно тому, как современники Дарвина отреагировали на его теорию происхождения видов. Поэтому, я должен буду вначале загнать Вас в угол и только тогда, когда Вы поймете, что никакого иного выхода у вас больше нет, Вы, возможно даже со вздохом облегчения, сможете, наконец по достоинству оценить, то что может дать Вам эта странная технология, а дать она естествоиспытателю может чрезвычайно много.

                Глава  7.    Технология, математика и парадоксы.

   Вы, наверное, еще помните, что начиналась эта глава с исторического экскурса в родословную математики и обоснования мнения, что родной матерью самой точной из наук является юриспруденция. В свою очередь, судебные доказательства тоже убедительны не сами по себе, например, в силу одной лишь своей формы, а главным образом только потому, что они описывают какую-то конкретную технологию, а именно, технологию расследуемого преступления.
   Смерть одного человека наступила вследствие каких-то действий другого человека - ситуация древняя как род человеческий. Правонарушителю, как правило, приходится преодолевать нетривиальные препятствия, потому что человек имеет обыкновение защищать себя и свое имущество всеми имеющимися в его распоряжении средствами от всякого рода посягательств, поэтому преступнику для достижения своей цели приходится пользоваться какой-то готовой технологией или изобретать новую согласно обстоятельствам. А так как некоторые действия расцениваются обществом как уголовные преступления, то правонарушитель наших дней вынужден существенно большее внимание уделять технологиям конспирации, т.е. совершать правонарушение в рамках как бы надтехнологии, работа которой начинается задолго до совершения преступления и продолжается еще немалое время после него. Короче говоря, судебное доказательство тоже имеет дело с технологиями. Более того, само судебное доказательство тоже доказывает что-либо при помощи специально разработанных технологий, поэтому Технология (с большой буквы), является бесспорной матерью юриспруденции, и, следовательно, родной бабушкой "Царицы наук". Так что не стоит удивляться тому, что, достигнув отрочества, математика оборвала последние узы, связывавшие ее с миром уголовных преступлений, и стала стремительно сближаться со своей родной бабушкой, от которой она, впрочем, и никогда далеко не отрывалась.
   Если мы сравним математику времен Эвклида с современной математикой, то не найдем между ними практически никаких точек соприкосновения - так сильно изменился предмет, изучаемый математикой и используемые ей методы. И вместе с тем мы не можем не отметить, что суть математики осталась нетронутой. Изменились аксиомы, изменились методы доказательства, но суть математики - классические примеры "мысленных экспериментов", образцы которых нам дали еще древние греки, тщательнейшим образом сохранялась при всех перестройках математики:
"То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпохи, когда доказательство было под угрозой утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы искали именно у греков".
   Возникает законный вопрос, что же такого особенного нашел Никола Бурбаки в доказательствах Эвклида, что в минуту опасности заставило, по его словам, искать образцов именно у греков? Да, видимо, то, что в основе всякого доказательства "Начал" Эвклида лежала некоторая конкретная технология. Даже доказывая бесконечность множества простых чисел, греки не нашли ничего лучшего, как привести описание конкретной технологии, позволяющей по первым n простым числам P1, P2,..., Pn построить такое число, минимальным делителем которого является простое число большее, чем Pn (это число вычислялось довольно просто: надо перемножить все простые числа Р1, Р2, Р3,..., Рn, а затем к полученному результату прибавить единицу). Тогда же была предложена не менее простая технология отделения простых чисел, получившая название "решето Эратоcфена". Как естественно и просто звучали эти первые результаты и какой сложной оказалась в действительности проблема распределения простых чисел. Многие математики не смогли отделаться от впечатления, что здесь мы сталкиваемся с какой-то роковой тайной:
   "Примеры такого рода типичны для любой ветви математики: вопросы, возникающие почти автоматически, часто оказываются чрезвычайно трудными, хотя их формулировка не дает оснований предполагать, что они выходят далеко за пределы уже установленных фактов".
   Но несравненно большей загадкой представляется психический феномен диагонального процесса Кантора. Нам сейчас трудно объективно отнестись к этому творению математической интуиции, поскольку мы слишком рано и фактически  в принудительном порядке, находясь на студенческой скамье, знакомимся с диагональным процессом. Это изобретение Кантора буквально терроризирует нашу интуицию: с одной стороны, - это вроде бы простая и наглядная технология, а с другой, - это вовсе не технология. Но давайте рассмотрим все по порядку.
   Георг Кантор предложил новую технологию перечисления множеств, базирующуюся на технологии взаимнооднозначного соответствия. Два множества называются равномощными, если между элементами этих множеств имеется взаимнооднозначное соответствие. Кантор указал технологии, позволяющие устанавливать взаимнооднозначное соответствие между натуральными и рациональными числами; между натуральными и алгебраическими числами.
   После этого Кантор вводит новую технологию - так называемый диагональный процесс. Вот ее суть: предположение, что множество вещественных чисел, из интервала (0,1), удалось перенумеровать, позволяет записать их в виде бесконечной матрицы, состоящей из нулей и единиц. Для этого вещественные числа записываются в виде бесконечной дроби по основанию 2 и размещаются одно под другим в порядке присвоенных им номеров. После этого рассматривается последовательность из нулей и единиц, образующих диагональ матрицы. Если в этой диагональной последовательности каждый ноль заменить на единицу, а каждую единицу заменить на ноль, то получившаяся при этом последовательность будет отличаться от каждой из последовательностей, образующих строки матрицы. Такова основная идея диагонального процесса. Однако реализацию ее мы осуществили неудачно, - нельзя пользоваться представлением вещественного числа в виде бесконечной дроби по основанию 2. Действительно, мы можем путем перестановки некоторых пар чисел, образующих матрицу, добиться того, чтобы, начиная с некоторого номера n, на диагонали стояли только единицы (для этого придется выполнить даже более простую и легкую работу, чем реализация "решета Эратосфена"). В этом случае все разряды диагональной последовательности, номер которых больше n будут состоять из нулей, то есть диагональное  число  будет  являться рациональным числом,записанным в виде непериодической дроби. Иными словами, отличие диагональной последовательности от каждой из последовательностей, входящих в строки матрицы, еще не гарантирует того, что она представляет число, которого нет в строках матрицы!
   Следовательно, для того чтобы доказать теорему Кантора, необходимо тщательно следить за тем, чтобы в записи диагональной последовательности не появлялись бесконечные последовательности нулей, что возможно только тогда, когда основание счисления больше 2. Диагональный процесс относится к классу рассуждений, основанных на языковых эффектах, то есть эффектах, порождаемых использованием представлений чисел в виде записей специального вида, приводящих в частности к парадоксу Ришара. Рассмотрим выражение "наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше, чем тридцати трех слогов". Это выражение при помощи тридцати двух слогов называет некоторое число, которое по определению нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех слогов!
   Натуральное число - это объект аксиоматической системы Пеано, технологии, определяющей натуральное число через 0 и понятие следующий. Объект парадокса Ришара, названный "наименьшее натуральное число, которое ...", никак не связан с аксиоматикой Пеано или какой-либо иной технологией, порождающей натуральные числа, и не является поэтому натуральным числом. Это магический объект, несуществующее число, хотя язык позволяет сформулировать подобные объекты, к математике они никакого отношения не имеют, и она не может их изучать.
"Разрешите мне принять, что дважды два равняется пяти, и я докажу, что из печной трубы вылетают ведьмы", - не докажите, господин Гильберт, потому что математика не изучает ведьм. Математика и магия - несовместимы, хотя многие, по-видимому, этого не осознают.
   "Введение чисто экзистенциальных доказательств, основанных на теории бесконечных множеств, оказало глубокое влияние на развитие математики. Это - по-видимому, единственное серьезное методологическое изменение со времен древней Греции, и оно породило - тоже, по-видимому, единственное - серьезное разделение математиков на группы, придерживающиеся различных взглядов на основания математики.
   Чтобы ощутить, сколь далеко идущие последствия имел метод Кантора, рассмотрим  следующий  интересный парадокс. Ясно, что множество чисел, которые можно определить любым конечным числом слов, счетно. Значит, существуют действительные числа, которые нельзя описать никакой, хотя бы и очень длинной фразой.
      Это неожиданное заключение взволновало и даже шокировало многих математиков. Великий Пуанкаре счел его достаточным основанием, чтобы объявить "канторизму" войну, выступив против него со своей знаменитой фразой ("... никогда не рассматривайте никаких объектов, кроме тех, которые можно определить конечным числом слов").
Кац М., Улам С. "Математика и логика ретроспектива и перспектива".
   Ситуация, однако, тут более серьезная. Дело в том, что "множество чисел, которые можно определить любым конечным числом слов," не только счетно, но и замкнуто в себе. Действительно, диагональное число определяется именно конечным числом слов (ведь мы впервые узнали о нем, прочитав довольно короткий текст), значит, оно тоже должно содержаться в перечислении элементов этого класса. У Вас есть какая-нибудь другая идея? Вы можете выразить ее конечным числом слов? Значит, число, выражаемое этой идеей должно содержаться в перечислении! Наш мир состоит из конечного числа атомов, его ресурсов недостаточно даже для того, чтобы выписать какое-нибудь одно трансцендентное число, например число ?, а мы туда же великого Пуанкаре критиковать за то, что он сомневался, что "существуют действительные числа, которые нельзя описать никакой, хотя бы и очень длинной фразой".
   Наш мозг состоит из конечного числа клеток и может, поэтому, принимать только конечное число состояний; живет он только конечное время, следовательно, существует только конечное число траекторий по состояниям нашего материального носителя мысли. Значит, весь совокупный опыт (в том числе и трансцендентный) всегда конечен, не говоря уже о печатной продукции. Счетное множество - это нереализуемая абстракция; несчетное множество - это магия в чистом виде, следовательно, парадоксы неизбежны и будут постоянно возникать.
   Диагональный процесс на счетном множестве "чисел, которые можно определить любым конечным числом слов," определит диагональное число, которое, имея номер iq, будет отличаться от самого себя в разряде iq, то есть диагональный процесс порождает еще один вариант парадокса Ришара.