Геометрия Лобачевского. Ахиллес и Черепаха

    С глубокой древности известны рассуждения Зенона о Черепахе и Быстроногом Ахиллесе. Начиная с Аристотеля и по наши дни, только ленивый не высказался по этому поводу. Зенон, похоже, знал геометрию Лобачевского, потому что все известные его апории – о ней, родимой. Формально рассуждая, геометрии Эвклида и Лобачевского несовместимы, потому что в геометрии Эвклида через точку, лежащую вне прямой AB, можно провести только одну прямую, параллельную ей, а в геометрии Лобачевского – две. Однако эта совершенно непреодолимая стена рушится, как только  мы переходим от плоскости Эвкида, к плоскости-времени Лобачевского, потому что в этом случае одна параллельная идет в будущее, а другая – в прошлое, куда никто и ничто двигаться не может, значит, параллелных оси времени на самом деле не две, а только одна. Предыдущие рассуждающие считали, что они могут вернуться во времена Зенона и снова более точно всё это выполнить, потому что от времени ничего не зависит, всем правят законы, которые стоят выше природы. А мы готовы им поверить, хотя прекрасно знаем, что нельзя вернуться назад, что-то там подправить и снова догнать черепаху (или выиграть в лотерею); это у Ленина "шаг вперед, два шага назад" - нормально, в геометрии Лобачевского - это не проходит, там все три шага по времени только вперёд. Все предыдущие учителя и Величайшие Учителя человечества рассматривали движение "двух тел" в пространстве Эвклида, где время - всего только одна из координат, хотя сама задача поставлена так, что время в неё входит явно и это реальное время, поэтому рассматривать все это надо в пространстве-времени Лобачевского. Да, Ахиллес обязательно догонит черепаху, затратив на это конечное время, но это конечное время равно возрасту Вселенной, поэтому никто из жителей Земли не доживет до этого замечательного события. Зенон пытался нам сказать, что давным-давно быстроногий Ахиллес погнался за Черепахой и все ещё гонится за ней, невзирая на прогресс, в котором на беду свою погрязло человечество. Почему же тогда всех так сильно волновали апории Зенона? Потому что это закон инерции, пришедший к нам из глубочайшей древности, к которой тогда все относились с уважением.
   На рисунке слева изображена плоскость Лобачевского в интерпретации Эудженио Бельтрами (1835-1900) – гениального итальянского математика, опубликовавшего в 1868 году трактат: "Опыт интерпретации неевклидовой геометрии", в котором он знакомил мир с открытием отображения плоскости Лобачевского на плоскость Эвклида, отображающего отрезки Лобачевского в отрезки Эвклида. На рисунке справа изображено отображение траекторий Черепахи и Ахиллеса, двигавшихся по инерции по плоскости Лобачевского.
     Согласен, так с классикой расправляться нельзя. К ней надо относиться с уважением. Я считаю, это моё личное мнение, что лучше Аристотеля суть проблемы не мог изложить никто, потому что он имел возможность читать то, что до нас не дошло.

   "Есть  четыре  рассуждения  Зенона  о   движении,  доставляющие  большие
затруднения  тем,  кто пытается  их  разрешить. Первое  – о несуществовании
движения  на том  основании,  что  перемещающееся  [тело]  должно  дойти  до
половины   прежде,  чем   до  конца.  Это  [рассуждение]   мы  разобрали   в
предшествующих  главах. Второе –  так называемый "Ахиллес":  оно  состоит в
том, что самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в беге
самым  быстрым, ибо преследующему необходимо  прежде прийти  в место, откуда
уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на
какое-то [расстояние] опережать [преследующего]. И это рассуждение
основывается на делении пополам, отличается же [от предыдущего] тем, что
взятая величина  делится не на две равные  части. То, что более медленное не
настигается, вытекает из этого доказательства, но получается таким же путем,
как и в [предшествующем] делении пополам (в обоих случаях то, что предел не
достигается, получается вследствие определенного деления  величины, только в
данном случае прибавлено, что даже легендарное по своей быстроте [существо]
не настигнет самое медленное), следовательно, и опровержение должно быть то
же самое. Утверждение, что опережающее не может  быть настигнуто, ошибочно:
пока оно опережает, оно не настигается  и все же будет настигнуто, если
[Зенон] допустит [возможность] прохождения ограниченного [расстояния].
Таковы, следовательно, два [его] рассуждения.
     Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в том, что летящая
стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается
из [отдельных] "теперь"; если это не признавать, силлогизма не получится.
     Четвертое [рассуждение] относится к равным предметам, движущимся по
ристалищу с противоположных сторон мимо равных [неподвижных] предметов: одни
[движутся] с конца ристалища, другие от середины, имея равную скорость,
откуда,  по  его мнению, получается, что половина времени равна ее двойному
количеству. Паралогизм состоит в том [предположении], что одинаковая
величина, двигаясь с равной скоростью один раз мимо движущегося, другой раз
мимо покоящегося  [тела], затрачивает на это равное время, но это неверно.
Допустим, например, что стоят  неподвижные предметы АА..., другие – ВВ...,
равные  им по числу и величине, начинают движение от середины [ристалища], а
предметы  ГГ..., также равные прежним по числу и величине, [начинают
движение] от конца, двигаясь с той же скоростью, что и В. Получится, что
первое В и первое Г, двигаясь мимо друг друга, одновременно окажутся на
[противоположных] концах [А]. Получится также, что Г пройдет  мимо всех В, а
В только мимо половины [А], следовательно, и время будет половинным, так как
каждый  предмет мимо каждого предмета проходит в одинаковое  время. Вместе с
тем выходит, что первое В прошло мимо всех Г, так  как первое Г и первое  В
одновременно окажутся на противоположных концах [А], причем времени, как он,
[Зенон], утверждает, для прохождения каждого В требуется столько же, сколько
и  на  каждое А,  так  как  те и другие в  равное  время  проходят  лишь  А.
Рассуждение,  следовательно,  таково,  но  результат  получается  вследствие
упомянутой ошибки.
     Конечно,  и в отношении изменения по  противоречию для нас еще не будет
неразрешимой трудности; например, если  что-нибудь изменяется из несветлого в
светлое и не  находится ни в  том, ни  в другом [состоянии], тогда, дескать,
оно не будет ни светлым,  ни несветлым.  Ведь  не тогда называется  что-либо
светлым или несветлым, когда оно целиком в том или в другом [состоянии];  мы
называем что-либо светлым или несветлым не потому, что оно целиком таково, а
по преобладающим  и  главным  частям; не  быть совсем чем-нибудь и  не  быть
чем-нибудь  вполне,– не одно и то же.  То же относится  к  существующему  и
несуществующему и  ко всему прочему,  что  находится отношении противоречия
[друг  к  другу]: оно по необходимости будет в одном из противолежащих
состояний, но никогда в одном из них полностью.
     Так же не будет затруднений в отношении круга, шара  и вообще
[предметов], движущихся в самих себе, что их приходится считать покоящимися;
так как в течение некоторого времени будут находиться в одном и том же месте
и они сами, и  части их, то, следовательно, они одновременно будут покоиться
и двигаться. Во-первых, ведь части их никогда не находятся в одном и том же
месте, а  затем и целое все время  изменяется  во  что-то другое, так  как
окружность, взятая от [точки] А, или от В, или от Г и  каждой из прочих
точек,  не  тождественна,  разве  только  в  смысле тождества образованного
человека  и  человека  вообще, т.е. по совпадению. Следовательно, одна
окружность все время изменяется в другую и никогда не будет находиться в
покое. То же относится к шару и ко всему прочему, что движется в себе" (Аристотель, Физика, Книга VI, глава 9).

    Я не могу упрекнуть Аристотеля в том, что его рассуждения неверны Вся беда заключается в том, что излагая Зенона по памяти, он заменил квантор существования квантором всеобщности. Зенон не говорил, что это происходит всегда, но иногда, а иногда и не происходит!
    Итак, рассмотрим вначале левый рисунок. Это классика – преобразование Бельтрами. Бесконечное пространство-время Эвклида отображается во внутренность окружности единичного радиуса. Ньютоновские траектории материальной точки отображаются в хорды единичного круга. На рисунке изображены две траектории Ньютона, которые нигде не пересекаются, им соответствуют параллельные Лобачевского, одна - траектория начала координат, то есть ось времени; другая AB – параллельная ей общего положения. Через точку A проведены две прямые Лобачевского AB и АС, параллельные оси времени. Перпендикулярно оси времени проходит материальная ось OA – трехмерное пространство, где мы с Вами живем.
      Материальная ось делит мир Лобачевского пополам: слева - прошлое, справа – будущее. Прошлое – это воспоминания, там орудуют историки и мошенники. Мошенники изготовляют подложные документы и выдают их за исторические, а историки переписывают историю. Работать с тем, что нарисовано красным, куда не ходят поезда, мы естественно не можем, поэтому, хотя, формально говоря, прямых, параллельных оси времени две, распоряжаемся мы только одной (она нарисована зеленым). T – возраст Вселенной, L – размер Вселенной, L/T = c, где c – скорость света. Короче говоря, рисунок слева – это картина ограниченного мира, в котором мы живем; вид из неограниченного мира Эвклида, в котором жили Аристотель, Коперник, Ньютон, Гаусс, Гильберт.
     Угол CAB называется углом Лобачевского. Половина угла Лобачевского – OAB, говорит, что точка, перемещающаяся по инерции (по прямой AB) и движется в пространстве Ньютона со скоростью
 d(x/L)/d(t/T) = (T/L)dx/dt = v/c,
это с одной стороны, а с другой стороны – это тангенс угла наклона прямой
–v/c = th(x/L)/1 или –v = th(x/L)c
 и с ненулевым ускорением.
   Это настолько противоречит всему тому, к чему приучил нас Альберт Эйнштейн, что принять такое предположение просто так не получится! Значит, нужен убедительный "мысленный эксперимент". Итак, пусть тело свободно движется. Как именно мы пока не знаем. Выпускаем одновременно из начала координат, скажем 100 точек с начальными скоростями" 1м/сек, 2м/сек, ..., 100м/сек. Они как-то двигаются, но в конце концов останавливаются, быть может на это потребуется бесконечное время. Если свободное движение относительно, то после остановки расстояние между точками должно быть одинаковым, потому что каждая следующая точка двигалась относительно предыдущей с начальной скоростью  1м/сек. Значит, каждая точка проходит расстояние пропорциональное скорости; кинетическая энергия, которую точка теряет в процессе движения, пропорциональна квадрату начальной скорости; поэтому сила, которая тормозит точку, не может быть постоянной, она должна быть пропорциональной скорости, только в этом случае работа силы будет пропорциональна квадрату скорости.
    Фактически, этот мысленный эксперимент – заявка на новый закон природы! В своё время Аристотель настаивал на том, что к телу надо прикладывать силу, чтобы оно двигалось с постоянной скоростью. Со времен Ньютона над Ним потешался весь мир, хотя Аристотель был прав! У нас выбора нет, теперь мы просто обязаны назвать этот закон законом Аристотеля, чтобы, хотя бы таким образом, извиниться за зубоскальство наших глубокоуважаемых предков.
   Итак, второй закон Ньютона говорит, что на тело, обладающее импульсом p(t), действует сила
    F = –dp(t)/dt;
аналогично, первый закон Аристотеля говорит, что на тело, обладающее импульсом p(t), действует сила
    F = –p(t)/T,
где T – возраст Вселенной в секундах. Сила очень маленькая и заметнее всего ее действие отражается на движении  фотона, который постепенно краснеет. Кстати, закон Аристотеля "сжирает" почти всю "темную материю", которую не очень давно "открыли" в нашей Вселенной.
      Возвращаясь к основной теме, переключаем внимание на правый рисунок, на котором добавлена траектория, соответствующая движению Черепахи к началу координат. Трем параллельным прямым Лобачевского соответствуют три параллельные прямые Эвклида, реализующие ситуацию, в которой A и С покоятся относительно начала координат O. На плоскости Лобачевского эти точки находятся в состоянии относительного покоя – вот основная причина, по которой Ахиллес никогда не догонит Черепаху. Течение времени порождает впечатление, что они куда-то движутся, тогда как на самом деле три системы координат эквивалентны и покоятся относительно друг друга. Должны же в геометрии Лобачевского быть системы координат, покоящиеся относительно друг друга? Вот они и изображены на
 правом рисунке. По рисунку видно, что время прошло, Ахиллес достиг того места, которое занимала черепаха в момент старта, однако это не упростило задачу, потому что она переползла на новое место и намеревается заниматься этим до скончания веков, потому что не только расстояния сократились, но и время замедлилось.
    Покой в пространстве Лобачевского выглядит движением в пространстве Эвклида. Оставляя детали философам, рассмотрим сугубо прикладную проблему практического измерения размера Вселенной, то есть константы L.
     На рисунке слева изображены три эквивалентные системы координат: DAB, CAB, и DOB. Часы в них идут одинаково, частота света при переходе из одной системы координат в другую не меняется. Они пребывают в состоянии относительного покоя, постепенно сближаясь по ходу течения времени. Не существует физического эксперимента, который позволил бы отличить одну систему координат от другой! Настало время делать выводы!
     Итак, если свет выпущенный из начала координат приходит  в A и С с одной и той же частотой, то что-то с ним по дороге происходит, потому что A и С двигаются навстречу фотонам с разной скоростью. Фотоны, вне всякого сомнения, краснеют пропорционально пройденному пути! Доказанное выше соотношение
–v/c = th(x/L)
– это закон природы, известный как закон Хаббла. На самом деле он не связан с движением галактик, а связан с преодолеваемым светом расстоянием от звезды до наблюдателя. Фотон, преодолевая расстояние от одного конца эталонного метра до другого его конца, краснеет, однако величину этого покраснения нельзя измерить. Подходящим "метром" является расстояние до Луны. Два раза в месяц Луна останавливается относительно Земли, проходя точку Перигея или Апогея. При таких расстояниях th(x/L) = x/L, поэтому свет, приходящий от лазера, установленного на Луне, покраснеет, как если бы Луна удалялась от нас со скоростью
 –v = cx/L,
где x – расстояние до Луны. Кстати, скорость убегания Луны опубликована в Интернете 38,4 мм/год; расстояние до Луны 380 000 км (там же). Следовательно,
L = cx/v.
    Для вычисления L переводим расстояние до Луны в миллиметры, чтобы получить L в световых годах, делим 380 000 000 000 мм на 38,4 мм/год, получаем 9,85 миллиарда световых лет.
   Скорость убегания Луны измерялась много лет и много раз, поэтому L – размер Вселенной по Лобачевскому (порядка 10 миллиардов световых лет) известен американцам очень хорошо (знаков 8 ли 10). Почему они это скрывают? Потому что это оружие. Константа L нужна для точных расчетов траекторий астероидов, а астероиды – это страшное оружие! Убегание Луны – ширма, воскрешение бесполезных дискуссий типа Ахиллеса и Черепахи! Надеюсь, что теперь эта тема исчерпала себя.
     Однако тема Ахиллеса этим не исчерпывается. В наши дни очень злободневна ситуация, передаваемая словами "Ахиллесова пята". Ахиллесовой пятой Соединенных Штатов Америки является проблема разработки новых типов вооружений. Основная трудность в том, что поручить Европе или Японии эту работу США не может по вполне понятным причинам - и там, и там до их пор стоят оккупационные войска США. А привлечь свои мозги США нечем. Если умному человеку нужны деньги, то он не пойдёт в военно-промышленный комплекс, а отправится на биржу и заработает их там, следовательно, разработкой вооружения занимаются не те, кто этим должен был бы заниматься. Всеобщее поглупение – основная причина "заката Америки".