К вопросу о диагональном аргументе и континууме

Давно собирался написать этот текст, но как-то все завершение данного вопроса не казалось достаточно важным. Вопрос касается математики, точнее одного из ее разделов, а именно, теории множеств. И какое, вроде бы, мне до этого дело, ведь теоретические проблемы математики впрямую меня давно не касаются. Но последнее время все же тема стала напоминать о себе разными способами, так что пришлось, таки.
При знакомстве с теорией множеств у меня с самого начала было чувство сильного сомнения насчет различения так называемых счетных и несчетных множеств. Ну, то есть, что элементам некоторых бесконечных множеств мы можем присвоить номера (в виде натуральных чисел, множество которых является, само собой, счетным), а элементам других множеств – нет. Исходя из этого определения несчетных множеств можно, иными словами, сказать, что у них – большая мощность, чем у счетных. И поэтому эти несчетные множества являются континуумами.
Данное сомнение посетило меня при обсуждении вопроса, что множество всех вещественных чисел (чисел на отрезке [0;1]) является несчетным. Мне предъявили несколько способов доказательства этого факта, но один из способов, выстроенный с помощью так называемого «диагонального аргумента», вызвал во мне эмоцию, схожую с негодованием. Наверное, в то время я был способен так близко к сердцу принимать вопросы математики. Когда я предложил свой способ счета вещественных чисел, разрушающий доказательство с применением «диагонального аргумента», мне сказали, что наверняка я где-то ошибаюсь. Но в любом случае, необходимо опровергнуть и все остальные способы доказательства, чтобы всерьез можно было учитывать мое несогласие.
Заниматься опровержением других способов доказательства факта несчетности множества действительных чисел у меня не было никакого желания, ведь себе-то я все уже доказал. Но у меня сохранился интерес к понятию континуума (в теории множеств), а также к этому самому «диагональному аргументу». Иногда его еще называют – диагональный метод Кантора (создателя теории множеств) и прочими другими названиями, хотя он применялся не только Кантором, но и другими знаменитыми математиками, например, Геделем.
И когда мне в числе прочих попалось доказательство, напрямую затрагивающее вопрос континуума, и при этом использующее «диагональный аргумент», я естественно, не мог «пройти мимо». Это доказательство того, что множество всех подмножеств бесконечного, но счетного, множества – является континуумом. То есть, несчетным.
И иными словами, обладающим большей мощностью, нежели множество натуральных чисел.

Давайте рассмотрим, как рассуждал Кантор. Он взял каждый элемент множества и сопоставил ему набор единиц и нулей:
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)

0 – обозначает, что данный элемент НЕ принадлежит какому-либо подмножеству из нашего исходного множества, а 1 – обозначает, что принадлежит. И вот вся таблица оказывается способом поставить в соответствие каждому элементу исходного множества бесконечную «запись» о принадлежности, либо НЕ принадлежности этого элемента каждому подмножеству.

Дальше берутся элементы «по диагонали» и значение показателя принадлежности меняется на противоположное.
s1 = (0,   0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1,   1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0,   1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0,   1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0,   1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1,    1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)

И получается запись касательно принадлежности элементов, не учтенная в построенной таблице соответствия:
S = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1,...)
Из факта того, что появился неучтенный элемент, делается вывод (по принципу «доказательства от противного»), что нельзя «посчитать» все подмножества исходного множества. Данное доказательство легко найти даже в Википедии. Но ведь доказательство это очевидно, с моей точки зрения, не работает.
Данное доказательство доказывает лишь одно – неудачность выбранного способа постановки в соответствие элементов множества всем подмножествам этого множества, то есть неудачность такого способа пересчета.
Докажем существование способа счета, являющего способность множества натуральных чисел "накрывать" множество подмножеств бесконечного множества.
Следует поступить таким способом:
s1   = 0,   (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2   = 0,   (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

s3   = 1,   (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s4   = 1,   (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

s5   = 0, 0, (0, 0, 0, 0, 0, ...)
s6   = 0, 0, (1, 1, 1, 1, 1, ...)
s7   = 0, 1, (0, 0, 0, 0, 0, ...)
s8   = 0, 1, (1, 1, 1, 1, 1, ...)

s9   = 1, 0, (0, 0, 0, 0, 0, ...)
s10 = 1, 0, (1, 1, 1, 1, 1, ...)
s11 = 1, 1, (0, 0, 0, 0, 0, ...)
s12 = 1, 1, (1, 1, 1, 1, 1, ...)

s13 = 0, 0, 0, (0, 0, 0, 0, ...)
s14 = 0, 0, 0, (1, 1, 1, 1, ...)

Примечание: Цифры в скобках обозначают бесконечную последовательность. Цифры до скобок — последовательный перебор всех возможных комбинаций.

Давайте посмотрим на список, порождаемый таким способом пересчета. Он обладает следующими свойствами:
1. Мы ведем пересчет наших подмножеств как бы "с двух концов" одновременно. С одной стороны, отсчитываем от подмножества, не содержащего ни одного элемента исходного множества, с другой стороны — считаем от подмножества, содержащего все элементы. То есть, иными словами, мы учитываем подмножества сразу вместе с "дополнительными" им подмножествами (дополняющими любое подмножество до полного множества, которому оно принадлежит).
2. В некоторой окрестности любого учтенного в списке подмножества всегда найдется подмножество, отличающееся от него лишь одним элементом. Назовем это свойство — непрерывностью счета.
3. Некоторые варианты записей, описывающих пересчитываемые подмножества, очевидно повторяются. Это свойство назовем — заведомой избыточностью способа пересчета.

Что из всего этого следует? Мы пересчитали все подмножества исходного множества непрерывным, заведомо избыточным способом. То есть, мы сопоставили натуральные числа всем подмножествам исходного бесконечного множества и даже сделали это "с запасом" — посчитали некоторые подмножества НЕОДНОКРАТНО. Таким образом, устранив из нашего списка всего одно из многочисленных повторно учтенных множеств, мы припишем "высвободившийся" порядковый номер (натуральное число) той записи, которая отображает подмножество,дополнительное подмножеству, отображаемому диагональной записью, и которая якобы не вошла в наш список записей, отображающих пересчитанные множества.
Ч.т.д.

Более того, можно показать бесконечное количество подобных способов пересчета с избытком. Но это уже очевидно. Из того, что рассмотрено, следует — что мощность множества натуральных чисел никак НЕ меньше мощности множества подмножеств бесконечного множества.