Обратная перспектива и геометрия Лобачевского

Проективное мышление
Б.В. Раушенбах. Пространственные построения в живописи.
Обратная перспектива и геометрия Лобачевского
https://vk.com/doc370716055_607701448
Предисловие
Настоящая книга посвящена проблеме геометрии пространственных построений
в изобразительном искусстве. Термин «пространственные построения» требует некоторого уточнения. Как известно, передавая трехмерный мир на плоскости картины, художник стоит перед задачей отображения объемно-пластических качеств изображаемых объектов и задачей построения пространства картины. Обе эти задачи не сводятся только к геометрии, здесь не менее важны и светотень, и цвет, и органически слитый с ними духовно-культурный опыт, дающие в синтезе то, что называют «пространством в живописи». Вычленение геометрических особенностей всегда условно и всегда суживает проблему пространства в живописи, однако это оказывается полезным и позволяет обращаться к математическому аппарату исследования.
Содержанием книги является геометрический аспект пространственных построений, включающий как методы изображения отдельных предметов, так и геометрические методы построения пространства в целом, т.е. проблемы, нередко охватываемые понятием «системы перспективы».
Подлежащая изучению задача ставится следующим образом: каковы должны быть, исходя из 1) законов восприятия и 2) геометрии, применяемые художником пространственные построения, чтобы изобразить на плоскости реально воспринимаемое пространство по возможности неискаженным.
Такая постановка проблемы позволяет применять строгие математические методы исследования. Конечно, художник вовсе не обязан рабски следовать за натурой, его задачи много шире, однако понимание того, как надо было бы изобразить пространство по правилам геометрии, позволит искусствоведу более четко осознать методы и приемы художника, дать более тонкий анализ творчества отдельных мастеров и более глубокую характеристику художественных особенностей целых эпох.
Использование достижений современной психологии зрительного восприятия с привлечением методов математического анализа выявило, что существует более полная, чем до сих пор считалось, система научной перспективы (названная ниже перцептивной), в которую входит система линейной перспективы эпохи Возрождения как частный случай, справедливый только для изолированного изображения удаленных областей пространства. Эта более полная система «реабилитирует» (если это вообще необходимо) такие особенности живописи, как обратная перспектива средневековья или пространство
Сезанна, не только в связи со своеобразием художественного образа, но и с позиций строгой логики геометрии. Кроме того, было обнаружено, что во многих случаях художник вовсе не ставит себе целью перспективное изображение видимого пространства, а считает необходимым изображать геометрические свойства объективного пространства. Эта задача тоже подверглась рассмотрению с позиции математики. Такое рассмотрение привело к выводу о поразительном совершенстве использовавшихся
художниками изобразительных средств.
Следует подчеркнуть, что автор всюду подходил к произведениям живописи как к примерам, иллюстрирующим те или иные геометрические свойства изображений, и никоим образом не берется судить об их художественных особенностях, достоинствах или недостатках. Если автор и дает оценки, и говорит о прогрессе или регрессе исторического развития искусства, то это лишь с точки зрения соблюдения или нарушения строгой геометрической логики, чего, конечно, совершенно недостаточно для анализа художественного образа.
Автор счел целесообразным поставить во взаимное соответствие наиболее типичные геометрические закономерности, обнаруженные в процессе математического анализа, с соответствующим изобразительным материалом.
При выделении таких наиболее типичных систем геометрических построений выявилось, что (если исключить из рассмотрения новейшее искусство) история знает всего четыре основных метода пространственных построений на плоскости изображения. Ими являются: чертежные методы (изображение объективного пространства, свойственное, например, искусству Древнего Египта), метод локальных аксонометрий и их трансформаций (ему соответствует античное и средневековое искусство), центральная
линейная перспектива эпохи Возрождения и центральная криволинейная перспектива, появившаяся на рубеже XIX и XX столетий. Каждый из названных четырех основных типов пространственных построений мог проявляться в разное время, в разных регионах и в различных модификациях, дающих огромное разнообразие изобразительных средств. Это разнообразие дополнительно усиливалось тем, что упомянутые выше основные
типы пространственных построений нередко сочетались друг с другом в художественных произведениях той или иной культуры. Изучение всего этого разнообразия, процессов последовательной смены одних способов пространственных построений другими, причин, приводивших к таким сменам, проблем взаимных влияний художественных культур и других аналогичных вопросов, не является содержанием настоящей книги. Это область истории искусства.
Основным содержанием настоящей книги является, как уже говорилось, изучение принципиальных возможностей передачи пространственных образований на плоскости изображения, исходя из объективных закономерностей восприятия пространства, свойственных человеку. Чтобы полученные на этом пути сухие формальные результаты приобрели наглядность и убедительность, они прилагаются к анализу особенностей
пространственных построений в живописи тех эпох и регионов, где эти особенности наиболее полно и четко отражают полученные на пути математического исследования результаты. Само собою разумеется, что аналогичному анализу может быть подвергнута и иная живопись, не рассматриваемая в настоящей книге, однако представляется, что основные обнаруженные закономерности, по-видимому, исчерпывают способы передачи
пространства на плоскости в изобразительном искусстве и они достаточно полно отражены в предлагаемом вниманию читателя материале. Сказанное объясняет странный на первый взгляд выбор тем — в книге обсуждается живопись Древнего Египта, средневековья (Византия, Русь, Индия, Иран) и творчество Сезанна. Строго говоря, следовало бы рассматривать и живопись, рожденную эпохой Возрождения, однако этого не делается, поскольку ее геометрический строй общеизвестен. Основное внимание уделено в книге средневековому искусству. Это объясняется тем, что его геометрический
строй наиболее сложен, что в нем встречаются и плодотворно используются разные подходы и методы и что в некотором смысле это геометрически наиболее многообразнее искусство.
Настоящая книга возникла как развитие идей, изложенных в предыдущей
работе автора, посвященной древнерусской живописи (см.: Б.В. Раушенбах. Пространственные построения в древнерусской живописи. М., 1975. Расширение области приложения теории пространственных построений было стимулировано устными и письменными отзывами, полученными автором, и в частности статьей В.Н. Прокофьева «О «перцептивной перспективе» и перспективах в живописи», помещенной в этой книге). 
Дополнено и уточнено изложение проблем, связанных с древнерусской живописью; разделы, посвященные теории двух систем перспективы, существенно переработаны и дано строгое изложение теории обратной перспективы. Учитывая многочисленные пожелания читателей, некоторые факты и соображения, содержавшиеся в Приложениях, перенесены в основной текст. Материалы математического характера собраны в разделе «Наброски теории пространственных построений в изобразительном искусстве». Основной текст книги общедоступен, приводятся поясняющие примеры, достаточные для понимания сути обсуждаемых проблем, и обращение к математическим материалам вовсе не обязательно. Однако математические разделы нельзя рассматривать в качестве малосущественных примечаний к основному тексту, ибо они являются тем строгим основанием, на котором держится аргументация автора.
Стремление сделать этот раздел более доступным читателю вынудило автора прибегнуть здесь к математически элементарному изложению, предполагающему знание математики, соответствующее подготовке современного инженера. С той же целью составляющие этот раздел Приложения скомпонованы так, что могут читаться независимо от основного текста книги, давая в основной своей массе (Приложения 1—9) связное изложение вопроса. Указанный раздел соответственно разбит не на главы, а на Приложения также потому, что они могут читаться и независимо друг от друга как математические обоснования соответствующих разделов основного текста книги.
Следует заметить, что в настоящей книге решается «прямая» задача — как следует изображать пространство на плоскости при условии возможно близкого следования натуре. В принципе существует и «обратная»  задача — как будет воспринимать зритель то или иное созданное художником на полотне произвольное пространственное построение? Какие пространственные представления у него возникнут? Трудность решения этой задачи связана не только с тем, что «обратные» задачи почти всегда сложнее «прямых», но и с тем, что восприятие художественного произведения не есть функция лишь психологии зрительного восприятия и геометрии. В не меньшей, а скорее в большей степени оно является функцией опыта восприятия художественных произведений человеком. Но последнее обстоятельство выводит эту проблему из области естественнонаучных представлений в область собственно искусствознания.
***
… Неевклидовый характер геометрии пространства зрительного восприятия был обнаружен в середине настоящего столетия. Обрабатывая численные характеристики зрительного восприятия человека, Лунебург интерпретировал его особенности в терминах неевклидовой геометрии. Оказалось, что в отличие от объективного пространства, которое описывается обычной, школьной геометрией Евклида, пространство зрительного восприятия (точнее, его близкой от человека области, где определяющими являются закономерности
бинокулярного зрения) обладает свойствами пространства
Лобачевского. (Более подробное изложение вопроса и ссылки на литературу см. Приложение 7.)
Если принять это экспериментально подтвержденное положение за
исходный пункт рассуждения, то можно, в частности, поставить и решить следующую геометрическую задачу (см. Приложение 7). Пусть на некоторой плоскости, например на полу, изображен прямоугольник. Какими свойствами будет обладать начертанная по полу фигура в зрительном восприятии человека? Приведя должным образом в соответствие евклидову плоскость пола и плоскость Лобачевского, возникшую в качестве образа пола в сознании человека, можно убедиться, что изображенный прямоугольник в зрительном восприятии человека приобретет вид так называемого четырехугольника Ламберта. Не описывая всех свойств такого четырехугольника, укажем лишь, что его дальняя от человека сторона будет больше ближней. Но это и есть «обратная перспектива», ведь реально ближняя и дальняя стороны прямоугольника равновелики, а в зрительном восприятии он оказался расширяющимся в глубину (с.102).
ОБРАТНАЯ ПЕРСПЕКТИВА И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Как известно, объективное внешнее пространство (подразумевая те объекты, с которыми имеет дело художник) можно считать евклидовым.
В процессе преобразования этого пространства в перцептивное оно претерпевает существенные трансформации, и поэтому его геометрия не является очевидной.
В 1947г. Лунебург  показал, что по своим свойствам перцептивное пространство можно считать пространством Лобачевского. Этот вывод Лунебург основывал на известных опытах Блуменфельда, в которых была выявлено, что если испытуемому, наблюдающему два ряда точек на горизонтальной плоскости, предложить расположить их так, чтобы ряды казались параллельными, а затем предложить ему же расположить точки так, чтобы расстояние между ними было постоянным, то испытуемый расположит точки в этих двух опытах по-разному. В евклидовом пространстве параллельные прямые и прямые, всюду равноудаленные друг от друга, должны совпадать, и поэтому зафиксированное Блуменфельдом несовпадение может быть истолковано в том смысле, что перцептивное пространство не является евклидовым.
Как опыты Блуменфельда, так и ряд специальных опытов, поставленных для подтверждения теории Лунебурга, показали, что для участков горизонтальной плоскости, находящихся в непосредственной близости от наблюдателя, свойства перцептивного пространства действительно могут быть описаны как свойства пространства Лобачевского (с.271-272).
Если обратиться к повседневному человеческому опыту, то ряд фактов наводит на мысль, что свойства перцептивного пространства, описываемые геометрией Лобачевского, характерны лишь для сравнительно малой области окружающего человека пространства, а более далекие его области должны описываться геометрией пространства Римана положительной кривизны. На это указывает известный всем факт пространственного зрительного восприятия — все параллельные в объективном пространстве прямые воспринимаются как линии, сходящиеся на горизонте в точку.
Поскольку повседневный человеческий опыт заставляет предполагать, что удаленные области перцептивного пространства обладают положительной кривизной, а эксперименты, связанные с обоснованием теории Лунебурга, говорят о том, что непосредственно окружающее человека перцептивное пространство является пространством отрицательной кривизны, то можно высказать предположение о переменности кривизны перцептивного пространства.
Поэтому модель соответствующего пространства Римана должна иметь некоторую положительную кривизну на больших удалениях от наблюдателя, которая постепенно уменьшается по мере приближения к нему, а в непосредственной близости к наблюдателю (при бинокулярном
зрении) становится отрицательной.
Не ставя себе целью уточнить здесь только намеченные выше свойства риманова пространства переменной кривизны, укажем лишь, что на самом деле геометрия перцептивного пространства еще сложнее. Ближайшей
аналогией перцептивного пространства является пространство Эйнштейна.
В общей теории относительности Эйнштейна пространство имеет переменную кривизну, зависящую от расположенных в нем масс. Вспомним, однако, что в конце главы III при обсуждении илл. 26 было показано, что геометрические свойства перцептивного пространства зависят от отображенных в нем предметов. Если в этой связи говорить об аналогии между пространством Эйнштейна и перцептивным пространством, то в последнем априорная информация играет роль, похожую на роль массы в общей теории относительности: точно так же, как увеличение количества массы в некоторой области физического пространства вызывает увеличение его кривизны, увеличение априорной информации о предметах некоторой области перцептивного пространства вызывает увеличение его деформации.
Все затронутые здесь вопросы еще совершенно не разработаны и могут быть развиты лишь в результате математической обработки и истолкования
серии тщательно поставленных экспериментов (с.274).