Демократия и математика

   Сэр Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865), 16 октября, 1843 года, вдруг осознал во время прогулки, что ему удалось открыть естественное обобщение комплексных чисел, которые он назвал кватернионами. Чтобы «не забыть», он сделал надпись: «i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1», прямо на мосту, которую благодарные потомки увековечили в камне.
    Кстати, демократия поступает почти так же. Пользуясь магией выбора, она превращает обычных людей в депутатов – мнимых людей, наделенных на определённый срок необычайными полномочиями, которые нельзя использовать в личных целях. В КНР избирают 150 народных представителей – по одному на 10 миллионов китайцев. Как депутаты – они равноправны, а как представители – не взаимозаменяемы.
    Пораженные современники: Артур Келли  (1821-1895) и Джон Грейвс (1806-1870), - окрыли вскоре естественные обобщения кватернионов: октонионы и седенионы, обобщив векторное умножение на 7-мерное и 15-мерное пространства. Дальнейший прогресс остановился, так как седенионы обладали делителями нуля. Именно Джон Грейвс сделал первое крупнейшее открытие в области демократии, доказав, что не всякое число может служить размерностью пространства в демократии. Делители нуля – это признак нарушения закона сохранения чего-то, иными словами, численность депутатов не может быть произвольной, для успешного выполнения, не важно каких задач, число депутатов должно выбираться из объективно существующей последовательности и, как минимум, быть простым.
    В наши дни только ленивый не говорит, что демократия - это одна из форм глобального лицемерия, с какой стороны на неё ни посмотри. Почему это происходит? Главным образом потому, что математика не имеет серьезного намерения заниматься этой проблематикой, отдавая демократию на откуп приложениям теории вероятностей.
    Физика, астрономия, экономика, география, история, - всё интеллектуальное наследие античности в той или иной мере опирается на вычисления, кроме философии, метафизики и демократии. Но демократия - как элемент, лежащий в основании нашей цивилизации, нужен нам не для болтовни вокруг да около неуловимой справедливости, а для того, чтобы поддерживать народ, который экономика старается обобрать до последней нитки. Значит, у демократии должна быть своя математика, математика лежащая в основе механизмов равноправия.
    Математика сама, лучше всех других способов достижения так называемой мудрости дала нам примеры равноправия, познакомив человечество с гиперкомплексными числами: кватернионами и октонионами, обладающими тремя и, соответсвенно, семью мнимыми единицами. Осталось только распространить описываемое ими математическое равноправие на гиперкомплексные системы, обладающие сколь угодно большим числом абсолютно равноправных мнимых единиц.
    Гиперкомплексные системы, с огромным числом мнимых единиц, привлекают внимание, как замечательный образец математической демократии, в которой прекрасно уживаются совершенно разные и вместе с тем равноправные «способности». Я стал присматриваться к трем имеющимся таблицам умножения мнимых единиц и осознал, что «юридические основания равноправия мнимых единиц» заложены именно в таблицах умножения. А вскоре увидел, что все мои предшественники грубо «ломились в открытую дверь», используя отмычки повышенной сложности, и, подобно сэру Уильяму Роуану Гамильтону, сел и записал, чтобы не забыть, «таблицу умножения для 31 мнимой единицы». Потом написал алгоритм и доказал, что если оттолкнуться от тех данных, которые были открыты сэром Гамильтоном, то на компьютере можно заполнить любую «таблицу умножения для M мнимых единиц», где M – простое число Мерсенна. Сейчас их известно 52, чтобы всего только записать 52-е число Мерсенна десятичными цифрами, нужно многотомное издание типа Большой Советской Энциклопедии!
    Основной результат виден по приведенной выше таблице умножения. Таблица заполняется не отдельными ячейками, а сразу списками. Однако, чтобы понять, что и как в ней записано, следует разобраться, почему она имеет такой вид. Основная проблема здесь чисто техническая, чтобы таблица 32 на 32 уместилась на странице, в каждой ее клеточке надо записывать не более одной буквы. В небольшой таблице переменные можно записывать полностью e1, e2, e3 и т.д., а в большой «e» придется опустить; когда индексов больше 16, вместо чисел надо использовать буквы, а когда индексов 31 – русский алфавит, в котором 33 буквы. Букву «й» пришлось отбросить, потому что она «не проговаривается» при быстром воспроизведении по памяти.

                Схемы заполнения таблицы умножения 31 единичного вектора
1. В первой строке (первом столбце) пишу алфавит; в последней строке (последнем столбце) - алфавит в обратном порядке. Получилась «рамка». Заполняю диагонали: главную диагональ единицами (вспомогательную буквами «я»). Перехожу в квадратик пересечения диагоналей.
2. Из верхней «1» строго вверх записываю алфавит: б, в, г, …, о («п» уже стоит), «р», которая рядом (уже стоит), и далее вниз до буквы «я», которая уже стоит. Из той же «1», строго по строке налево, записываю алфавит: б, в, г, …, о («п» уже стоит), «р», которая рядом (уже стоит). и далее обратно до буквы «я».
3. Из нижней «1» строго вниз… Из той же «1» строго направо…
Подведем итог. Вписал в пустую 32х32 таблицу 8 полных алфавитов и получил 4 готовые к дальнейшему заполнению пустые рамки 16х16.
Это то, что я своими глазами увидел во всех таблицах умножения мнимых единиц, которые были открыты до меня. Свое открытие я тоже записал и отправил в печать, однако журнал отказался печатать статью по чисто формальным основаниям. После этого я завел личную страницу на сервере Проза.ру, где, на всякий случай опубликовал основную идею.

                Четыре варианта механического заполнения таблицы
1. Застежка молния. Складываем алфавит пополам - буквы «1» и «я» стоят рядом, образуя как бы «застегнутую молнию» и, отправляясь от точки пересечения диагоналей, накладываем 4 «застегнутые молнии», соответственно имеющимся 4-м концам; «расстёгиваем» 4 молнии, получая 4, готовые к заполнению «пустые рамки».
2. Квадрат Рубика.  Придерживаясь п.2 схемы заполнения, из «1» строго вверх записываю алфавит: «б», «в», «г», …, «о», («п» уже стоит), однако двигаюсь не вправо, где стоит «р», а по тому же самому столбцу, как, если бы таблица была склеена в брус, как кубик Рубика, где в том же столбце, на другом его конце, тоже стоит «р» и ещё незаполненная часть того же самого столбца. (мы записываем по кругу весь алфавит, а потом смещаем этот слой, как в кубике Кубика, так, что пара «1», «я» занимает нужное положение в «точке пересечения» диагоналей). Со строками поступаем аналогично.
3. Перемещение угла рамки. Рамка состоит из двух «углов». «Первый угол» образуют первая строка и первый столбец. Его надо переместить вдоль главной диагонали в «1» пересечения диагоналей, лежащую ниже диагонали. Какие-то части угла пересекут границы рамки. Эти клеточки надо затолкнуть обратно в соседний столбец (строку), располагающиеся снаружи угла, в той же самой последовательности. «Второй угол» образуют последняя строка и последний столбец. Его надо переместить вверх вдоль главной диагонали в «1», лежащую выше диагонали, а клеточки, выступившие за границы «рамки», затолкнуть обратно в соседнюю строку (столбец) снаружи «угла».
4. Заполнение одних только рамок. У рамки четыре стороны, когда мы делим квадрат, образуемый ими, на 4 равных квадрата, то две стороны у каждого из них уже заполнены; осталось в каждом квадрате просто заполнить две отсутствующие стороны согласно двум уже имеющимся и т.д.

                Доказательства
    Лемма 1.  Можно пользоваться любым вариантом заполнения «пустой рамки» на результат это не влияет.
   Доказательство. Каждая из трех процедур выполняет одну и ту же работу, используя свою долю средств, необходимых для достижения конечного результата.
   Лемма 2.  Рамка должна быть квадратной и содержать четное число столбцов и строк.
   Доказательство. Алфавит из нечетного числа букв не удовлетворяет условиям первого варианта, потому что его невозможно сложить пополам. В этом случае на пересечения главной и вспомогательной диагоналей – одна точка значение которой не определено.
   Лемма 3.  Диагонали, построенные в процессе заполнения рамки сохраняются.
   Доказательство. Результат заполнения рамки не зависит от того, в каком порядке мы будем формировать и заполнять «чистые рамки», поэтому мы можем начать заполнять те рамки, для которых главная диагональ является частью главной диагонали самой начальной рамки.  При такой стратегии окружение диагонали довольно быстро заполнится полностью.
Следствие. На первом шаге заполнения «чистой рамки» заполняется 6*n – 4 клеток, где n – число строк рамки.
   Лемма 4. Четные столбцы матрицы умножения являются результатом циклических перемещений элементов последнего столбца, а нечетные – первого столбца.
   Лемма 5. Четные строки матрицы умножения являются результатом циклических перемещений элементов последней строки, а нечетные – первой строки.
   Лемма 6. Таблица заполнится полностью, если число строк и столбцов в ней равно 2n.
   Доказательство. Две строки (два столбца) делят строки (столбцы) таблицы умножения пополам, формируя 4 рамки половинного размера. Таблица окажется полностью заполненной, когда размер рамки сократится до 2 x 2 - размера точки пересечения диагоналей. В этой ситуации все диагонали уже заполнены. Действительно, за шаг до этого все рамки будут 4х4, в которых процесс заполняет диагонали.
   Лемма 7. В полностью заполненной таблице в каждой строке и каждом столбце каждая буква встречается только один раз.
Доказательство. Согласно второму варианту заполнения таблицы в каждой строке и каждом столбце ранее вписанные буквы алфавита не перемещаются, а вписываемые вновь выбираются только из «алфавита оставшихся» этого столбца (этой строки).
Лемма 8. Мнимые единицы автоматически равноправны, когда их простое число.
Доказательство. В условиях леммы каждый столбец и каждая строка таблицы определяет умножение, осуществляющее взаимно однозначное отображение мнимых чисел на себя. Иными словами, заполненная таблица определяет умножение с делением, что и свидетельствует об их равноправии.
   Лемма доказана.
   Четвёртый механизм заполнения - это
   Теорема. Таблица умножения единичных векторов является таблицей умножения логического оператора XOR.
  Доказательство. Нам известно только два математических пространства (трехмерное и семимерное), в которых официально определено векторное умножение, через общую для них таблицу умножения единичных векторов.
В расположенной ниже таблице записаны значения логического оператора XOR.

000 001 010 011 100 101 110 111
001 000 011 010 101 100 111 110
010 011 000 001 110 111 100 101
011 010 001 000 111 110 101 100
100 101 110 111 000 001 010 011
101 100 111 110 001 000 011 010
110 111 100 101 010 011 000 001
111 110 101 100 011 010 001 000

Путём замены множества аргументов и значений оператора XOR {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} на множество символов {-1, i, j, k, l, m, n, o} получаем таблицу умножения октонионов без знаков (знаки - это дурное влияние физики)

-1  i  j  k  l  m  n  o
 i -1  k  j  m  l  0  n
 j   k -1  i  n   o  l  m
 k   j  i  -1  o  n  m  l
 l  m  n  o  -1  i   j  k
 m  l  o   n   i  -1  k  j
 n   o  l   m  j  k  -1  i
 o  n  m   l   k  j   i  -1

   В таблице красным выделен кватернион (четыре первые строки, четыре первых столбца), благодаря чему стало отчетливо видна не только четвертая схема заполнения таблицы умножения, но и схема доказательства по индукции. Предположим, что для алфавита длиной 2^n мы уже доказали теорему. Докажем её для алфавита длиной 2*2^n = 2^(n+1). Для этого мы продолжим алфавит теми же самым алфавитом, но закрасим их другим цветом. Для операции XOR они отличаются только в самом первом элементе (для неокрашенных букв там стоит 0, для окрашенных 1). Следовательно, первый знак можно интерпретировать как цвет. XOR первых символов дает 0, когда они одинаковы. Следовательно на главной диагонали будут стоять только неокрашенные символы, на второстепенной диагонали - только окрашенные. Что касается "буквенного наполнения", то 4 эти таблицы совпадают.
   Теорема доказана.
    Следствие. Существует 16 операций векторного умножения.
Доказательство. Логическая связка XOR всего только одна из 16 связок и уж коли она позволила определить векторное умножение, то и остальные 15 тоже определяют векторную операцию, являющуюся каким-то умножением.
   Следствие доказано.
   Тем самым доказана
   Основная теорема математической демократии. Исчисление высказываний является формальным инструментом математического равноправия.

   В наши дни только ленивый не говорит, что демократия - это одна из форм планетарного лицемерия, с какой стороны на нее не посмотри. Почему это происходит? Главным образом потому, что математика не имеет серьезного намерения заниматься проблемой равноправия, отдавая на откуп теории вероятностей все, что с равноправием связано. И наплевать, что демократия - это метод перераспределения сверхприбыли, источником которых является экономика, из чего, собственно говоря, нам зарплату платят. Чтобы управлять парламентом, куда избирают далеко не самых умных людей, требуется проводить довольно сложные вычисления, чтобы с их помощью узнать реальную значимость населения избранных, на момент когда им надо голосовать. Дело в том, что это не постоянная характеристика, а постоянно меняющаяся, которой никто не знает, но которую можно вычислять и много чего предсказать, что в данный момент там может происходить. Демократия - это идеальный инструмент управления человечеством, но работать надо не с тем, что депутаты думают о себе, а с тем, что они есть на самом деле. Собственникам огромных материальных средств надо знать , что реальной значимостью депутатов можно управлять, не нарушая существующих законов, если проводить соответствующие вычисления. Надо вычислять, можно ли достичь желаемых целей, и если можно, то вычислять оптимальный вариант. Это самый сложный раздел математической демократии, позволяющий эффективно решать самые сложные проблемы бизнеса в условиях реальной обстановки, сложившейся на момент голосования.