Сокровищница чисел

 A TREASURE OF NUMBERS

 Leopold Kronecker: “God made the integers, all else is the work of man.”

The attached file contains simplified (in comparison with the previous ones) definitions of: a powerad as a product of prime factor natural powers with exponent greater than one located in a sequence of natural numbers between two consecutive prime numbers; l-m-ad (a chain of m products of l odd prime factors ); spi (a fundamental segment of a sequence of natural numbers between two consecutive odd primes). The need to introduce these concepts is dictated by the analysis of "microscopic " structure of the sequence of natural numbers. Since ancient times, quite naturally, more attention has been attracted to prime numbers, the distribution patterns of which were studied by such geniuses as Pythagoras, Diophantus, Euclid, Eratosthenes, Descartes, Fermat, Gauss, Legendre, etc. Sieve of Eratosthenes, other sieves and formulas obtaining primes have become classics of number theory. The microscopic structure of a sequence of primes is still fraught with many unsolved mysteries. But the structure of the sequence of natural numbers has not yet been sufficiently studied, although it is the natural numbers that are pure model of the origin and reproduction of the entire universal program including quantization. The fact is that if the primes left in the sieve are the first models of elementary particles, indivisible "atoms", then the natural numbers "dropped out" as a result of sifting in the form of  molecular structures, the powerad is a model of precious crystal, and the fundamental segments are the genes of an universal program. And, of course, there are many amazing patterns, unexpected discoveries. We specially present it in a simplified way so that it is understandable for schoolchildren from among whom geniuses and talented researchers may appear. The 79th and 80th problems are quite accessible for the curious one. How Gauss and Legendre would be glad (who regularly and often refer to the tables of primes and the procedures for decomposing natural numbers into prime factors) if they had such technological capabilities that are now available to everyone! In the range of up to 128 digits any prime number can be easily found online at https://www.numberempire.com/primenumbers.php ; any natural number up to 70 digits can be decomposed online into prime factors at https://www.numberempire.com/numberfactorizer.php . To illustrate how new patterns are identified and discoveries are made we will give examples of fundamental segments of a sequence of natural numbers. The segment from prime number 10000019 to the next prime number 10000079 is "empty" in the sense that it does not contain any powerad. But it contains one 2-2-ad (10000031 = 227 * 44053,10000033 = 397 * 25189), two 3-2-ads (10000037 = 43 * 313 * 743, 10000039 = 7 * 601 * 2377; 10000047 = 3 * 911 * 3659, 10000049 = 47 * 263 * 809) and includes 6 square powerad bases and one cubic powerad base (in the number 10000071 = 3 * 3 * 3 * 370373). The segment from prime number 1157627 to prime number 1157641 is also interesting, containing only 2-2-ad and 3-4-ad. But the segment from the prime number 3373 to the next prime number 3389 is full, since it contains the powerad 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = 3375. It also contains one 2-2-ad, one 2-3-ad, and the number 3381 = 3 * 7 * 7 * 23 which contains a square powerad base 7 * 7. From this and the examples given in the attached file you can see that full (i.e., containing a powerad) segments, as a rule, are inferior in length (number of members) to empty segments. This is the hypothesis in part 2 of the 80th problem. Of course, the most surprising in terms of their identical structure are the segments in examples 1, 2, and the second segment is obtained from the first simply by multiplying the first powerad by 5. In general, multiplication by 5 is included in the 2-m-ad (2-polyad) search algorithm with a large m: a large prime number should first be multiplied by 5, then adding or subtracting 2, to check the neighbors for two prime factors, etc. Even more wonderful patterns appear in rings and fields with the participation of two sequences of natural numbers. In such cases, the principle of recurrence arises. For example, as shown in other problems, two simple formulas can cover the entire set of primes.
Another example. Take any natural number n. If it is even, then we divide it by 2, and if it is odd, then we multiply by 2m + 1, where m is a natural number, and add 1 (we obtain (2m + 1) n + 1). We perform the same actions on the resulting number, and so on. The hypothesis is that no matter what initial number n we take, despite the growth in the maximums of the main branch, sooner or later in the branches of the algorithm we get a cyclic return to the sequence 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. For m = 1, this hypothesis is called the Collatz Conjecture (after the German mathematician Lothar Collatz, who formulated this problem on July 1, 1932), and  the sequence of obtained numbers is called Syracuse, or hailstone numbers (this name arose from the analogy of the sequence graph with the trajectory of the movement of hailstones in a cloud).
A myriad of new problems in mathematics, especially in number theory, the theory of polygons and polyhedra, can be found by any curious reader. Some interesting mathematical discoveries were made not by professional mathematicians, but by amateurs. So, looking through the table of primes and using the decomposition algorithm into prime factors, any reader can construct a number of non-trivial problems about the representation of natural numbers in the symbols of the decimal number system. For example, what natural number in its factorization is represented by seven 3 and one 7? (Answer: 10000117 = 3 * 3333373). Or, what number contains 6 ‘3’, 2 ‘7’ and one zero in its decomposition? (Answer: 10000071 = 3 * 3 * 3 * 370373). Try to constuct an algorithm for finding such representations!
Natural numbers are not only a universal language but also an infinite higher harmony, law, program, God, universal means, instruments of knowledge and discoveries, a bottomless treasury of everything. Quite in the spirit of Pythagoreanism and Platonism, one can declare that the universe is primarily numbers. And in the spirit of Leibniz: everything is reproduced by the Unit and returns to the Unit
) .
For a more detailed and readable discussion of these issues, see the author's compendium:
https://sites.google.com/view/alaflituntdo/founder-s-page

СОКРОВИЩНИЦА ЧИСЕЛ
В прикреплённом файле даны упрощённые (по сравнению с прежними) определения поверады как произведения простых множителей в натуральных степенях больше единицы, в том числе одиночной, т.е. находящейся в последовательности натуральных чисел между двумя последовательными простыми числами, l-m-ады («элэмады» - цепи (отличающих пошагово на два) «m» произведений «l» нечётных простых множителей), spi (фундаментального сегмента последовательности натуральных чисел между двумя последовательными нечётными простыми числами). Необходимость введения этих понятий продиктована анализом «микроскопической» структуры последовательности натуральных чисел. С древних времён вполне закономерно больше внимания привлекали простые числа, закономерностями распределения которых занимались такие гении, как Пифагор, Диофант, Евклид, Эратосфен, Декарт, Ферма, Гаусс, Лежандр и др. Решето Эратосфена, другие решета и формулы получения простых чисел стали классикой теории чисел. Микроскопическая структура последовательности простых чисел и сейчас таит в себе много неразрешённых загадок. Но структура последовательности натуральных чисел до сих пор исследована недостаточно, хотя именно натуральные числа являются чистыми моделями происхождения и воспроизводства всей вселенской программы, включая квантование. Дело в том, что если оставленные в решете простые числа являются первомоделями элементарных частиц, неделимых «атомов», то «выпавшие» в результате просеивания натуральные числа в виде цепей моделируют молекулярные структуры, поверады моделируют драгоценные кристаллы, а фундаментальные сегменты – гены единой программы. И, разумеется, тут много удивительных закономерностей, неожиданных открытий.
Мы специально излагаем упрощённо, чтобы было понятно и школьникам, из среды которых могут появиться гении и талантливые исследователи. 79-ая и 80-ая проблемы вполне доступны для любознательных. Как сильно были бы рады (регулярно и часто обращавшиеся к таблицам простых чисел и к процедурам разложения натуральных чисел на простые множители) Гаусс и Лежандр, обладай они  такими технологическими возможностями, которые ныне доступны каждому! В интервале до 128 знаков можно легко найти онлайн любое простое число на сайте https://www.numberempire.com/primenumbers.php ; можно разложить онлайн на простые множители любое натуральное число до 70 знаков на сайте  https://www.numberempire.com/numberfactorizer.php .
Для иллюстрации того, как выявляются новые закономерности и делаются открытия, приведём примеры фундаментальных сегментов последовательности натуральных чисел.
Сегмент от простого числа 10000019 до следующего простого числа 10000079 является «пустым» в смысле того, что не содержит ни одной поверады. Но содержит элэмады: одну 2-2-аду
(10000031=227*44053,10000033=397*25189), две 3-2-ады (10000037=43*313*743, 10000039=7*601*2377; 10000047=3*911*3659, 10000049=47*263*809) и включает 6 квадратных поверадных оснований  и одно кубическое поверадное основание (в число 10000071=3*3*3*370373).  Интересным является также сегмент от простого числа 1157627 до простого числа 1157641, содержащий только 2 элэмады: 2-2-аду и 3-4-аду. А вот сегмент от простого числа 3373 до следующего простого числа 3389 является полным, поскольку содержит повераду 3*3*3*5*5*5=3375. В нём также содержатся одна 2-2-ада, одна 2-3-ада и число 3381=3*7*7*23, содержащее квадратное поверадное основание 7*7. Из этого и приведённых в прикреплённом файле примеров можно заметить, что полные (т.е. содержащие повераду) сегменты, как правило, уступают по длине (числу членов) пустым сегментам, что является гипотезой части 2-ой 80-ой проблемы. Конечно, самыми удивительными по своей одинаковой структурности являются сегменты в примерах 1,2, причём второй сегмент получается из первого просто умножением первой поверады на 5. Вообще, умножение на 5 входит в алгоритм поиска элэмад с двумя простыми множителями - 2-m-ад (2-полиад) с большим m: большое простое число следует сначала умножить на 5, затем прибавляя или отнимая 2, проверять соседей на два простых множителя и т.д.
Ещё более чудные закономерности появляются в кольцах и полях с участием двух последовательностей натуральных чисел. В таких случаях возникает принцип возвратности. Например, как было показано в других проблемах, двумя простыми формулами можно покрыть всё множество простых чисел.
Другой пример циклических возвратов к единице. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 2m+1, где m - натуральное число, и прибавляем 1 (получаем (2m+1)n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия и так далее.
Гипотеза заключается в том, что какое бы начальное число n мы ни взяли, несмотря на рост в максимумах основной ветви, рано или поздно в ответвлениях алгоритма получается циклический возврат к последовательности 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
При m=1 эту гипотезу называют гипотезой Коллатца (Collatz Conjecture -  по имени немецкого математика Лотара Коллатца, сформулировавшего эту задачу 1 июля 1932 года), а последовательность получаемых чисел называют Сиракузской, или числами-градинами (такое название возникло из-за аналогии  графика последовательности  с траекторией движения градин в атмосфере).
Несметное множество новых проблем в математике, особенно в теории чисел, теории многоугольников и многогранников, может придумать любой любознательный читатель. Немало математических открытий сделано не профессиональными математиками, а любителями. Так, просматривая таблицу простых чисел и пользуясь алгоритмом разложения на простые множители, любой читатель может придумать ряд нетривиальных задач о представлениях натуральных чисел в символах десятичной системы счисления. Например, какое число при разложении на множители изображается семью тройками и одной семёркой? (Ответ: 10000117=3*3333373). Или, какое число содержит в разложении 6 троек, 2 семёрки и один нуль? (Ответ: 10000071=3*3*3*370373). Попробуйте построить алгоритм нахождения таких разложений!
Натуральные числа – это не только универсальный язык, но и бесконечная высшая гармония, закон, программа, бог, универсальные средства, орудия познания и открытий, бездонная сокровищница всего. Вполне в духе пифагореизма и платонизма можно декларировать, что вселенная – это, прежде всего, числа. И в духе Лейбница: всё воспроизводится Единицей и возвращается к Единице ). Более подробно и читабельно эти проблемы изложены в компендиуме автора:
https://sites.google.com/view/alaflituntdo/founder-s-page
.