Естественный рейтинг. Е-Рейтинг

Е-Рейтинг.

Рейтинг вообще по определению величина относительная. В случае противоборства двух участников естественно принять определение рейтингов участников как отношение числа их побед и поражений. Для простоты изложения ничьи просто опускаются. В дальнейшем, ничья рассматривается как половинки побед и поражений.

Поскольку мы в данном случае имеем дело только с двумя соперниками, то назовем его «парным рейтингом». Сразу же обратив внимание на то, что здесь, в отличие от «пропорционального рейтинга» мы отказываемся от рассмотрения последовательности событий. Для нас серия результатов 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 то же самое, что и серия 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 и означает счет 6 – 4 в пользу одного из соперников. В пропорциональном (народном) рейтинге это совсем не так.

Итак, мы можем записать несколько тождественных равенств, выражающих связь парных рейтингов с числом побед и пражений каждого из соперников.

Матрица парных рейтингов

Rij / Rji = Wij/Wji

Здесь Wij = победы i-го соперника над j-ым.

Отметим, что абсолютная величина парных рейтингов Rij и Rji не определена и пока не имеет значения. Совершенно одинаковый смысл имеют соотношения рейтингов 2 к 1, 10 к 5 или 300 к 150. Мы имеем только определенное отношение рейтингов.

Таким образом, по результатам турнира (нескольких турниров) мы имеем набор парных рейтингов для участников. При этом часть клеток может быть пустой. Ведь не обязательно турнир проводится по круговой системе. Это может быть и швейцарская система, где пары формируются по результатам предыдущих туров. Или олимпийская система, с выбыванием. Это вообще может быть любая комбинация из разных систем.

Теперь, для построения ранжира нам необходимо свести такую матрицу к набору чисел (рейтингов) однозначно характеризующих достижения каждого участника по сравнению с его соперниками. Так, чтобы можно было расположить участников в соответствии с их достижениями.

В традиционной, очковой системе, в круговых турнирах и швейцарках, ранжирование обеспечивается суммированием набранных очков, приравнивая все победы, ничьи и поражения. При этом ставится жесткое условие одинакового числа партий для всех участников..

Рейтинг участника

Второе определение, которое мы используем в системе е-рейтинга это определение, что рейтинг участника в турнире (турнирах) равен средневзвешенному от всех парных рейтингов данного участника

Ri = Sum Rij * Nij / Ni

Это определение ни сколько не менее обосновано, чем сумма очков в очковой системе. Мы еще не определили абсолютную величину парных рейтингов. Что же будем суммировать?

Основное предположение

Здесь на помощь приходит известный спортивный принцип – «каждый играет так, как позволяет соперник». На языке математики этот принцип преобразуется в гипотезу, выраженную формулой

Ri – Rij = -(Rj – Rji)

Или словами – Разность между рейтингом участника и его парным рейтингом с данным соперником равна разности между рейтингом этого соперника и его парным рейтингом с данным участником.

Эту же гипотезу можно представить в другом виде

Ri + Rj = Rij + Rji

Или словами сумма рейтингов двух участников равна сумме их взаимных парных рейтингов.

Гипотезу не доказать логически ее можно только подтвердить или опровергнуть обсчетом реальных турниров или искусственных примеров. Что и будет сделано ниже.

Уравнение для рейтингов

Итак, мы все еще не определили абсолютную величину рейтинга, но, используя эту гипотезу, определили связь между рейтингами и парными рейтингами. Этот прием приводит, после некоторых математических преобразований к формуле, связывающей все рейтинги

Ri * Li = Sum Lji * Rj

Словами эту формулу можно описать так. За каждое поражение участник расплачивается в соответствии со своим рейтингом, а за свои победы получает в соответствии с рейтингом соперника.

Ничьи рассматриваются как половинка победы и половинка поражения. Таким образом, при ничьей участники как бы обмениваются рейтингами и, естественно, ничья становится невыгодной для более сильного соперника.

Таких формул ровно столько, сколько участников турнира. Для того, чтобы получить абсолютные величины рейтингов необходимо ввести одно дополнительное условие.

Естественное условие

Естественным условием может быть

Sum Ri = N * 1000

Сумма всех рейтингов равна числу участников умноженному на 1000

Другой, абсолютно эквивалентный вариант – положить рейтинг одного из участников равным единице или допустим - 1000.

Итак, мы получили систему линейных уравнений, в которой неизвестные это рейтинги участников, а коэффициенты – результаты партий между парами участников.

Эта система линейных уравнений позволяет, в принципе получить аналитическую формулу, связывающую рейтинг команды со всеми результатами турнира.

Полная формула

Проведенный выше вывод формулы для рейтингов базировался просто на числе побед. Однако точно также вы можете построить рейтинг «слабости» исходя из числа поражений. При этом, формально, математически эти два рейтинга абсолютно симметричны и эквивалентны. Тонкость заключается в «физическом» рассмотрении. Дело в том, что усилия команд направлены на положительный результат. Это и нарушает симметрию при определении числа ошибок ранжирования по тому и другому рейтингам.

При выводе формулы мы не рассматривали вопрос о «весе» побед и поражений, чтобы окончательно не запутать читателя. Опуская детали приведем сразу общий вид формул для «рейтинга» и «анти-рейтинга»

Ri * (Wi * W + Li * L) = Sum (Rj * (Wji * W + Lji * L))

Ai * (Wi * L + Li * W) = Sum (Ai * (Wji * L + Lji * L))

Вес победы.

Все же нам не уйти от необходимости решить вопрос о количественной оценке самого факта победы. Естественно, что сопоставлять победу мы можем только с поражением. Ничья же всегда рассматривается как половинка победы и половинка поражения. Возможны самые разнообразные варианты числовой оценки итога поединка. Здесь все определяют организаторы и (или участники).