Проблема знака для произведения векторов

     Предыдущая повесть "Основная теорема теории размерности" оставила неисследованной проблему знака произведения векторов. Пришло время внести ясность и по этому вопросу. Результатом векторного умножения является вектор, перпендикулярный как первому, так и второму множителю, длина которого равна произведению длин сомножителей, умноженной на синус угла между ними, поэтому вектор, умноженный сам на себя, имеет нулевую длину, а при перестановке векторов их произведение меняет знак.
     Уильям Роуан Гамильтон, открывший кватернионы, отчетливо видел какие знаки должны стоять в таблице умножения единичных векторов (эта информация содержится во втором  предложении его записи на мосту i*j*k = 1). Его коллеги, вдохновлённые сделанным им открытием, немедленно воспользовались алгебраической процедурой, сугубо формально обобщающей процедуру введения комплексных чисел и, получив кватернионы, методом введения комплексной алгебры над полем комплексных чисел, сделать следующий шаг и получить октонионы, больше известные как числа Кэли. Следующий шаг совершил Джон Грейвс, получивший седенионы. Он очень долго изучал свои числа и назвал их, отправляясь от разговорной формы слова, которое Большой англо-русский словарь Гальперина переводит как "засиживаться". Он показал, что они обладают делителями нуля, что сильно замедлило дальнейшее исседование гиперкомплексных чисел. Все последующие шаги совершил Ваш покорный слуга, потому что "увидел", подобно Уильяму Роуану Гамильтону, вначале основную сферу приложения гиперкомплексных чисел большой размерности, а затем и механизм заполнения таблицы умножения единичных векторов их именами.
     По мнению моих коллег, знаки - относятся к физической интерпретации ("правая рука", "левая рука"), поэтому идей правильного заполнения было предложено не мало. Моя позиция такова: четыре примера: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седениеоны, - задают какую-то траекторию, которую надо увидеть. Но это легко сказать "увидеть", а вот ты возьми увидь её, более того, сделай так, чтобы и другие тоже её могли увидеть.

Воспользуемся методом обратной индукции и начнем с седениона
|E00 |  1   Е01  Е02  Е03  Е04  Е05  Е06  Е07 | Е08  Е09  Е10  Е11  Е12  Е13  Е14  Е15|
|   1   |    1  e01  e02  e03  e04  e05  e06  e07  | e08  e09  e10  e11  e12  e13  e14  e15|
|E01 |e01   -1  e03 -e02  e05 -e04 -e07  e06   | e09 -e08 -e11  e10 -e13  e12  e15 -e14|
|E02 |e02 -e03   -1  e01  e06  e07 -e04 -e05   | e10  e11 -e08 -e09 -e14 -e15  e12  e13|
|E03 |e03  e02 -e01   -1  e07 -e06  e05 -e04   | e11 -e10  e09 -e08 -e15  e14 -e13  e12|
|E04 |e04 -e05 -e06 -e07   -1  e01  e02  e03   | e12  e13  e14  e15 -e08 -e09 -e10 -e11|
|E05 |e05  e04 -e07  e06 -e01   -1 -e03  e02   | e13 -e12  e15 -e14  e09 -e08  e11 -e10|
|E06 |e06  e07  e04 -e05 -e02  e03   -1 -e01   | e14 -e15 -e12  e13  e10 -e11 -e08  e09|
|E07 |e07 -e06  e05  e04 -e03 -e02  e01   -1   | e15  e14 -e13 -e12  e11  e10 -e09 -e08|
|E08 |e08 -e09 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 |  -1  e01  e02  e03  e04  e05  e06  e07|
|E09 |e09  e08 -e11  e10 -e13  e12  e15 -e14  |-e01   -1 -e03  e02 -e05  e04  e07 -e06|
|E10 |e10  e11  e08 -e09 -e14 -e15  e12  e13  |-e02  e03   -1 -e01 -e06 -e07  e04  e05|
|E11 |e11 -e10  e09  e08 -e15  e14 -e13  e12  |-e03 -e02  e01   -1 -e07  e06 -e05  e04|
|E12 |e12  e13  e14  e15  e08 -e09 -e10 -e11  |-e04  e05  e06  e07   -1 -e01 -e02 -e03|
|E13 |e13 -e12  e15 -e14  e09  e08  e11 -e10  |-e05 -e04  e07 -e06  e01   -1  e03 -e02|
|E14 |e14 -e15 -e12  e13  e10 -e11  e08  e09  |-e06 -e07 -e04  e05  e02 -e03   -1  e01|
|E15 |e15  e14 -e13 -e12  e11  e10 -e09  e08  |-e07  e06 -e05 -e04  e03  e02 -e01   -1|


      В первой строке и первом столбце таблицы умножения стоит только знак плюс, поэтому никакой информации в этой части таблицы не содержится. Остальную часть таблицы прорезает диагональ из -1, разбивая её на две симметричные части, отличающиеся только знаком, поэтому, чтобы лучше было видно заполним нижнюю половину таблицы знаком @, адрес, в который надо записать противоположный знак от элемента, расположенного в верхней части таблицы. Так как таблицы умножения кватернионов и октонионов уже содержатся в таблице сиденеонов, то это верно и для них.

                Седенион Знаки
|E00 |1    Е01  Е02  Е03  Е04  Е05  Е06  Е07 | Е08  Е09  Е10  Е11  Е12  Е13  Е14  Е15|
| 1  |   1  e01  e02  e03  e04  e05  e06  e07 | e08  e09  e10  e11  e12  e13  e14  e15|
|E01 |e01   -1  e03 -e02  e05 -e04 -e07  e06 | e09 -e08 -e11  e10 -e13  e12  e15 -e14|
|E02 |e02    @   -1  e01  e06  e07 -e04 -e05 | e10    @ -e08 -e09 -e14 -e15  e12  e13|
|E03 |e03    @    @   -1  e07 -e06  e05 -e04 | e11    @    @ -e08 -e15  e14 -e13  e12|
|E04 |e04    @    @    @   -1  e01  e02  e03 | e12    @    @    @ -e08 -e09 -e10 -e11|
|E05 |e05    @    @    @    @   -1 -e03  e02 | e13    @    @    @    @ -e08  e11 -e10|
|E06 |e06    @    @    @    @    @   -1 -e01 | e14    @    @    @    @    @ -e08  e09|
|E07 |e07    @    @    @    @    @    @   -1 | e15    @    @    @    @    @    @ -e08|
|E08 |e08    @    @    @    @    @    @    @ |  -1  e01  e02  e03  e04  e05  e06  e07|
|E09 |e09    @    @    @    @    @    @    @ |   @   -1 -e03  e02 -e05  e04  e07 -e06|
|E10 |e10    @    @    @    @    @    @    @ |   @    @   -1 -e01 -e06 -e07  e04  e05|
|E11 |e11    @    @    @    @    @    @    @ |   @    @    @   -1 -e07  e06 -e05  e04|
|E12 |e12    @    @    @    @    @    @    @ |   @    @    @    @   -1 -e01 -e02 -e03|
|E13 |e13    @    @    @    @    @    @    @ |   @    @    @    @    @   -1  e03 -e02|
|E14 |e14    @    @    @    @    @    @    @ |   @    @    @    @    @    @   -1  e01|
|E15 |e15    @    @    @    @    @    @    @ |   @    @    @    @    @    @    @   -1|

     Теперь отчетливо видно, что знаки по таблице умножения единичных векторов разбросаны не случайно, что, имея "на руках" таблицу умножения октонионов, мы без туда заполним три остальные таблицы.
     Первую строку правой нижней таблицы перепеисываем из левой верхей таблицы. Затем копируем остальные строки, сохраняя знаки до диагонали, а после диагонали заменяем знак на противоположный. Эта же самая работа проделывается и с правой верхней матрицей, но там, дополнительно, ко всем индексам прибавляется число 8.
    Затем, заполняем правую верхюю половину таблицы, отразив её от "диагонали из -e08" и умножая отраженные имена на -1. После чего точно так же образом, отразив  от "диагонали из -1" верхнюю половину таблицы, получим таблицу умножения седениона. Значит, специфическая информация о знаках содержится в октанионах.

                Октонион Знаки
___________________________________________
|E00 |1    Е01  Е02  Е03  Е04  Е05  Е06  Е07 |
|____|______________________________|
|   1  | -1   e01  e02  e03  e04  e05  e06  e07 |
|E01 |e01   -1  e03 -e02  e05 -e04 -e07  e06 |
|E02 |e02    @   -1  e01  e06    @ -e04 -e05 |
|E03 |e03    @    @   -1  e07    @    @ -e04 |
|E04 |e04    @    @    @   -1  e01  e02  e03 |
|E05 |e05    @    @    @    @   -1 -e03  e02 |
|E06 |e06    @    @    @    @    @   -1 -e01 |
|E07 |e07    @    @    @    @    @    @   -1 |
|____|______________________________|

      Теперь отчетливо видно, что таблица октонионов построена по той же самой схеме. Значит, вся специфическая информация сосредоточена в кватернионе.

              Кватернион  знаки
_____________      ___________
|e0  e1    e2  e3 |    |e0  e1  e2  e3 |
|e1  -1    e3 -e2 |    |e1  -1  e3 -e2 |
|e2   @  -1  @  |     |e2   @  -1  e1 |
|e3   @   @  -1 |     |e3   @   @  -1 |
|____________|    |____________|

      Отчетливо видно, что кватернион, в свою очередь, строится из комплексного числа и построен по тем же самым правилам заполнения знаками таблицы умножения единичных векторов.
     Теорема. Никакой специфической информации о знаках гиперкомплексные числа не содержат.
      Теорема доказана.

         Схемы заполнения знаками таблиц умножения седенионов, октонионов и кватернионов

     На рисунке показано, как распределены знаки в седенионе. Красным цветом выделены три области, содержащие, фактически одну и ту же информацию. Во второй и четвертой четверти таблицы находится "красный блок" из первой четверти, "умноженный на -1". Желтые блоки получаются из красных "отражением в диагонали со сменой знака". Если три красных блока нанесены, то на первом шаге заполняется вторая четверть таблицы "поворотом красного блока", а вторым, заполненная верхняя пловина таблицы "поворотом её вокруг главной диагонали со сменой знаков" заполняет нижнюю половину таблицы седениона. Это же процедура является итерацией заполнения в общем случае.
     Я смог, наколько позволяет редактор, представить это в виде текста. Основу таблицы знаков составляет первая строка, состоящая из знаков "+". Знак "0" ("плюс-минус" на рисунке), если он стоит в первой строке заменяется на "+", во всех остальных случаях - на "-". Знак "#" -  незаполненная клетка (заполняются "отражением от "диагонали из нулей" со сменой знака" в первую очередь) знак "@" - незапоненная клетка (заполняется "отражением от "диагонали из нулей" со сменой знака" после того как все "#" заполнены).

Схема для заполнения знаками таблицы умножения седениона

0  +  +  +  +   +   +  +   0  +  +  +  +  +  +  +
+  0  +  –  +  –    –  +   +  0  –  +  –  +  +  –
+ @  0  +  +  +   –  –   +  #  0  –  –  –  +  +
+ @ @  0  +  –   +  –   +  #  #  0  –  +  –  +
+ @ @ @  0  +  +  +   +  #  #  #  0  –  –  –
+ @ @ @ @  0  –  +   +  #  #  #  #  0  +  –
+ @ @ @ @ @  0  –   +  #  #  #  #  #  0  +
+ @ @ @ @ @ @  0  +  #  #  #  #  #  #  0
+ @ @ @ @ @ @ @  0  +  +  +  +  +  +  +
+ @ @ @ @ @ @ @ @  0  –  +  –  +  +  –
+ @ @ @ @ @ @ @ @ @  0  –  –  –  +  +
+ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @  0  –  +  –  +
+ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @  0  –  –  –
+ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @  0  +  –
+ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @  0  +
+ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @  0

     Схема для заполнения знаками таблицы умножения октониона

0  +   +  +  0  +  +  +
+  0   +  –  +  0  –  +
+ @  0  +  +  #  0   –
+ @ @  0  +  #  #  0
+ @ @ @  0  +  +  +
+ @ @ @ @  0  –  +
+ @ @ @ @ @  0  +
+ @ @ @ @ @ @ 0

     Схема для заполнения знаками таблицы умножения кватерниона

0  +   0  +
+  0   +  0
+ @   0  +
+ @  @  0

     В таблице умножения кватерниона вводится два абстрактных знака "@" и "плюс-минус" (заменён нулём). В таблице умножения октаниона вводится абстрактный знак знак #. В таблице умножения седенионов и всех последующих гиперчисел потребность во введении дополнительных абстрактных знаков не возникает.
     Ничего сверхестественного в знаках гиперкомплексных чисел не содержится.

                Общий случай
     Активная работа с таблицами умножения и схемами заполнения знаками должна проводиться в общем случае, когда список имен единичных векторов интерпретируется как идентификатор депутата в рамках "демократической машины принятия решений". Во-первых, важна последовательность авторитетности выбранных депутатов относительно проблемы, которую им предстоит решать. Всего существует n! способов упорядочения n лиц.
     Согласно общепринятой практике работы с депутатами, первое лицо выбирается из списка демократическим методом и, согласно спискам заполнения знаками, избранный таким образом "спикер", имеет право "позвонить любому депутату" и тот выслушает его. Второй по авторитетности может "позвонить" любому из оставшихся, а последний никому не может "позвонить", но обязан выслушивать каждого, кто ему позвонит.
     Любые три имени a, b, c, связанные соотношением [a, b] = c образуют кватернион, ориентированный знаком, стоящим при с. Эта тройка входит в несколько "семёрок", и если какая-то из них ещё и согласуется по знакам, то они в принципе контролируют какую-то "пятнашку", а если поработать над ней, то станут контролировать структуру из 31 депутата, называемую "комитетион", а это, можно сказать, решение проблемы...
     Векторное умножение позволяет "мягко" управлять демократическим процессом, а не как в наши дни, схватив железной хваткой за горло, и удушая санкциями. Почему именно "мягкость" столь востребована в наши дни? Потому что мы стоим на грани Катастрофы, требуются люди, которые "видят будущее". Они всегда были, значит, они есть и в наши дни. Все депутаты чего-то обещают избирателю, волей или неволей становясь пророками, поэтому депутатская деятельность в той или иной мере связана с мистикой, а не с одним только лицемерием, как думают многие, а настоящего мистика - нельзя схватить за горло, потому что его не оказывается "в нужное время в нужном месте".