Основания механики. 4. Вывод второго закона Ньютон

                - 8 -

                4. Вывод второго закона Ньютона
        Ввиду того, что скорость движения материальной точки ограничена, на материальную точку М, обладающую единичной массой и движущуюся с ускорением равным единице, должна действовать, согласно аксиоме 1, сила f1, направленная противоположно ускорению. Традиционно такая формулировка второго закона Ньютона могла бы рассматриваться только как определение единицы силы. Для ответа на вопрос, чему равна сила в общем случае, когда ускорение и масса материальной точки отличны от единицы, нам придется воспользоваться еще и ограниченностью расстояния.
        Традиционно считается, что геометрии Лобачевского и Евклида заметно отличаются только на очень больших расстояниях, тогда как на средних и микрорасстояниях они совпадают. В действительности они совпадают только на средних расстояниях, исследованием ситуации на микрорасстояниях мы займемся с вами сейчас.
        Проекцию целых точек оси координат пространства Лобачевского на ось координат пространства Евклида осуществляет преобразование
              х = L•th(l/L), где l = 1, 2, 3, ..., L, 1 + L, 2 + L, ... ( 1 )
 которое отображает внутреннее неограниченное расстояние l/L (будем называть его "портновское расстояние") пространства Лобачевского в ограниченное расстояние х < L, неевклидово расстоянию (будем называть его "метрическое расстояние").
        Нам предстоит теперь выполнить стандартную работу по продолжению отображения (1), определенного на натуральных точках оси координат пространства Лобачевского, на множество рациональных точек. Целому числу –l мы поставим в соответствие –L • th (l/L), что совпадает со значением отображения (1) для –l. Следуя Пифагору поставим целому числу l в соответствие отрезок, который l раз укладывается в единичном отрезке, координате его правого конца поставим в соответствие 1/l. Три изоморфизма:
       1/l <––> l     х = L•th(l/L).      x <––> 1/х
 определяют отображение
           1/х = 1/(L•th(l/L)),        ( 2 )
 не являющееся непрерывным в традиционном смысле. Действительно, устремляя l к бесконечности, мы получим предельное значение для 1/х равным l/L. Однако это совсем не значит, что непрерывность потеряна, просто на проекции пространства Лобачевского не только L играет роль

                - 9 -

 бесконечно большой величины, но и 1/L играет роль бесконечно малой величины.
        Во времена Ньютона этих деталей еще не знали. Наблюдая движение материальной точки в пространстве Лобачевского, полагали, что она движется в пространстве Евклида, для которого Ньютон разработал средства математического анализа движения. Теперь мы догадались, что материальная точка – это объект геометрии Лобачевского, однако у нас нет готовых средств для исследования движения в этом пространстве. Все что нам остается – это пользоваться математическим анализом Ньютона, изучая движение материальной точки по перемещению ее проекции в пространстве Евклида, и в этой ситуации мы должны будем считаться с эффектом нехаусдорфовости.

        Аксиома 2.
        Для материальных точек А и В не существует не пересекающихся окрестностей, если расстояние между их проекциями в пространство Евклида меньше 1/L.

       Итак, согласно аксиоме 1, на материальную точку единичной массы, движущуюся с единичным ускорением, действует единичная сила, направленная противоположно ускорению. Значит, и ее проекция в пространство Евклида будет двигаться равноускорено с ускорением равным единице, потому что на средних расстояниях оба пространства совпадают. Так мы получаем формулировку, с которой и будем дальше работать: если проекция материальной точки единичной массы движется равноускорено с ускорением равным единице, то на материальную точку действует единичная сила, направленная противоположно ускорению.
       Встает естественный вопрос: если мы начнем ускоренно двигать сразу несколько единичных масс, то можем ли рассчитать их ускорение, не сомневаясь в том, что сила противодействия остается равной единице? Оказывается можем. Возьмем m материальных точек Аi единичной массы каждая и совместим их. Выберем единичное ускорение а, время {D}t и заставим А1 двигаться с ускорением а, через {D}t переведем А1 в инерциальный режим и заставим A2 двигаться с ускорением а и так далее. Выберем {D}t таким малым, чтобы в процессе этого движения расстояние между любыми двумя точками семейства оставалось меньше 1/L. В этом случае семейство из m единичных материальных точек является суммой материальных точек в пространстве Лобачевского и двигаться эта сумма будет с ускорением равным 1/m, и в каждый   момент времени  пространство Лобачевского будет

                - 10 -

 противодействовать ускоренному  движению  этой  суммы  с единичной силой.
       В тех же условиях возьмем n < m и заставим двигаться сразу n материальных точек А1, А2,..,Аn с ускорением a = 1, через {D}t переведем А1 в инерциальный режим и заставим точки А2 , А3 ,.., А(n+1) двигаться с ускорением a и так далее. В этом случае при достаточно малом {D}t семейство из m точек будет оставаться суммой материальных точек пространства Лобачевского, двигаясь ускоренно с ускорением равным n/m и в каждый момент времени пространство Лобачевского будет  противодействовать движению этой суммы сразу n единичными силами.
        Благодаря нехаусдорфовости, мы сумели, пользуясь одним только определением единичной силы, доказать, что противодействующая сила пропорциональна и массе и ускорению, что и является содержанием второго закона Ньютона. Тем самым доказана теорема 1.

        Теорема 1. (Второй закон Ньютона).
        Если материальная точка А движется под действием силы f с ускорением а, то материальная точка М, являющаяся суммой m материальных точек А, движется под действием силы F, являющейся суммой n < m сил f, с ускорением а•n/m.

        (В условиях, когда вторая производная ограничена, сумма двух единичных ускорений будет чуть-чуть меньше двух, поэтому распространить доказательство на случаи n > m невозможно.)
        Из выше изложенной модели движения видно, что в случае когда множество существенно влияющих ограничений состоит из одного ограничения, все рассуждения можно просто повторить и вывести тот же самый закон только для другой производной.
        Небольшое естественное изменение в мировоззрении позволило нам по-новому взглянуть на традиционные интеллектуальные ценности и увидеть, что возможности моделирования окружающего нас мира при помощи средств чистой математики, использовались не в полной мере. Произвольное движение материальной точки нам удалось заменить композицией двух видов движений: с нулевым и с единичным ускорением. Это позволяет нам удалить ореол таинственности с принципа наименьшего действия.
        Для упрощения рассуждений рассмотрим одномерный случай, и будем считать, что ускорение принимает значения: 0 и +1, что в начальный момент времени материальная точка совпадает с началом координат. В процессе движения материальной  точки ее траектория  разделит плоскость

                - 11 -

                здесь расположен рисунок


           Рис. 1. Каноническая модель неравномерного движения точки

 графика на две области (см. рис. 1. Каноническая модель неравномерного движения точки). Область, лежащую ниже траектории (чтобы выйти из этой области на траекторию, материальная точка должна начать двигаться ускоренно), назовем областью ускоренного движения, а область, лежащую выше траектории (чтобы выйти из этой области на траекторию, достаточно двигаться равномерно), назовем областью равномерного движения.
       В начальный момент времени материальная точка совпадает с началом координат и, если ее чуть-чуть придержать, то уже в следующий момент времени она окажется в области ускоренного движения и начинает двигаться с единичным ускорением, пока не пересечет траекторию и не выйдет в область равномерного движения, где будет двигаться равномерно, пока снова не пересечет траекторию, и так далее.
       Назовем функцию, принимающую единичные значения в области ускоренного движения и нулевые в области равномерного движения, информационной функцией. Фактически, ускоренное движение точки вырезает в ней полосы и эту полосчатую функцию, назовем управляющей U(s,t). Интеграл от управляющей функции по времени,
 
                {0It} U(s,t)dt = v(s)


                - 12 -

 
взятый по траектории движения - это приведенное время, в течение которого точка двигалась с ускорением равным 1. Оно совпадает по смыслу и величине со скоростью движения точки Интеграл от управляющей функции по расстоянию

                {0Is}  U(s,t)ds = a(t)
 
взятый по траектории движения - это приведенное расстояние, на котором точка двигалась с ускорением, равным 1. Оно совпадает по смыслу и величине с работой, затраченной на перемещения точки.
        Приведенное время, и приведенное расстояние связаны между собой соотношением, связывающим расстояние и время при движении точки с ускорением равным 1. То есть соотношения
                s = t•t/2,       a(s)=v(t)•v(t)/2,       T = v2/2
имеют один и тот же смысл (где T - кинетическая энергия).
                Для релятивистского движения материальной точки с ускорением равным 1

         s = c•c•((1 + (t/c)•(t/c))^(0,5) - 1) и v = t/(1 + (t/c)•(t/c))^(0,5).

        Выражая из последнего равенства t•t = v•v/(1 - v•v/c•c), подставляя его   в выражение для s и заменяя s на Т, получаем соотношение для кинетической энергии материальной точки единичной массы, движущейся со скоростью v,
                T = c•c•(1/(1 – (v/c)•(v/c))^(0,5) – 1).
Отчетливо видно, что в этом соотношении зашито знаменитое  E = m•c•c (если помните масса покоя m в нашем мысленном эксперименте была равна "единице").

        Иными словами, кинетическая энергия равна разности  движущейся и покоящейся единичных масс, умноженной на "це квадрат". Закон сохранения энергии - это просто иная запись формулы пути, проходимого точкой при движении ее с ускорением равным 1.
        Повторный интеграл от управляющей функции по времени и расстоянию, должен иметь не менее глубокий смысл, чем скорость, работа, закон сохранения энергии
            {0Is}{0It} U(s,t)dtds = L(s,t)
 
где s и t координаты точки, лежащей на траектории движения, - это действие, то есть в принципе наименьшего действия - заключено требование минимальности управляющего воздействия.


Комментарии к выводу второго закона Ньютона

       Всё это было написано в 1992-1993 гг. в редакторе Winword: русский шрифт только один, латинских несколько, нет греческих букв и математических символов. Интегралы,  дельты приходилось рисовать самому. Компьютер и принтер к нему были только на Старой площади в Банке Развития и реконструкции, где командовал всем эти мой старший сын Алексей - выпускник мех-мата МГУ. С ним мы набирали, печатали, брошюровали и распространяли.

       Если верить Ландау, в пространстве Лобачевского принципиально иная формула закона сохранения энергии, потому что теперь она определяется не через скорость материальной точки, а через разность масс движущейся и покоящейся. Для естествознания - это настолько важное открытие, что его следует обсудить подробнее.
       Ландау тогда был кумиром научной элиты, поэтому сама мысль, что он плохо понимал то, что писал в своей книге казалась кощунственной. Важно другое великим Физикам иногда свойственно не понимать того, что их руки пишут...

      

(продолжение страницы - 12 - , начало "Основания механики 5. Вывод закона Аристотеля")

                5. Вывод закона Аристотеля.


       Ввиду того, что расстояние между материальными точками в пространстве Лобачевского ограничено, на материальную точку M1, обладающую единичной массой и равномерно движущуюся с единичной скоростью относительно материальной точки M2, должна действовать, согласно аксиоме 1 сила f0, направленная противоположно

                - 13 -