Основания механики. 6. Вывод закона всемирного тяг

1993

                - 16 -

                Основания механики. 6. Вывод закона всемирного тяготения.
Ввиду того, что (минус первая производная) интеграл от расстояния между материальными точками по времени ограничен, на материальную точку М1, обладающую единичной массой и отстоящей на единичном расстоянии от материальной точки M2, должна действовать, согласно аксиоме 1, сила f-1, стремящаяся приблизить материальную точку М1 к материальной точке М2 .
В общем случае, когда масса материальной точки М1 равна q, масса материальной точки M2 равна р, а расстояние между ними равно r, соответствующий аналог второго закона Ньютона будет записываться в виде:
                F = f(q,р,r)                (14)

Теорема 3. Соотношение (14) превращается в закон всемирного тяготения Ньютона, если оно не различает ситуаций, которых не различает второй закон Ньютона.
        Доказательство основано на трех леммах. Ввиду того, что второй закон Ньютона является типично одномерным законом, доказываемое соотношение должно быть тоже одномерным и все рассуждения будут поэтому проводиться в одномерном пространстве.

Лемма 1.             f(1,1,r) = f(1/r,1/r,1).                (15)
        Доказательство. Согласно второму закону Ньютона, траектория материальной точки, движущейся под действием силы F(t), является решением дифференциального уравнения F(t) = m • а, следовательно, уменьшение масс материальных точек в k раз приводит к гомотетии ее траектории в k раз. Короче говоря, второй закон Ньютона не различает

                - 17 -

 гомотетию пространства в r раз от уменьшения масс в r раз. Но именно это свойство и выражает соотношение (15).
 Лемма доказана.

        Лемма 1 нуждается в некоторых пояснениях. Господь Бог, создавший нашу ограниченную Вселенную в евклидовом пространстве, иногда окидывает ее своим взором. Однажды он обнаружил, что все траектории расширились в k раз. Улыбнулся: "Что это архангелы сотворили? Толи гомотетию осуществили, толи все массы уменьшили? Людей спрашивать бесполезно. Они ни того ни другого не замечают у них -относительность."

Лемма 2.  Выполняется третий закон Ньютона.
        Доказательство. Для доказательства мы должны различать материальные точки. Будем предполагать, что на материальную точку М1, обладающей массой р, воздействует сила f(p, q, r), источником которой является материальная точка M2, обладающая массой q, отстоящая от М1 на расстоянии r. Чтобы доказать, что M1 воздействует на М2 , и найти значение этой силы, приложим к M2 силу F такую, чтобы точка М2 начала двигаться с тем же самым ускорением а = f (p, q, r)/р, с которым движется точка M1 под действием М2. В этой ситуации расстояние между точками будет оставаться равным r, что позволяет нам вычислить силу F. Действительно, под действием силы F теперь движутся две материальные точки с одним и тем же ускорением а = f (p,q,r)/р, следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона
                F = (р + q)·a = (p + q)·f(p,q,r)/p.
        Однако для того, чтобы перемещать М2 с ускорением а, требуется сила равная q·f (р, q, r)/р. Следовательно, на М2 воздействует еще одна сила X, что F + X = q·f(p,q,r)/p, что позволяет вычислить X:
                X = q·a - F = q·a - (р + q)·а =  -р · а = -f(p,q,r)
 Лемма доказана.

Лемма 3.   f(p/k,q,r) = f(p,q,r)/k = f(p,q/k,r). (16)
        Доказательство. В соответствии со вторым законом Ньютона, мы можем заменить материальную точку М1, обладающую массой р, на k равных материальных точек массой р/k и воздействовать на каждую из них силой f (p, q, r)/k. Точно также мы можем заменить материальную точку М2 массой q на k равных материальных точек массой q/k и воздействовать на каждую из них силой -f (p, q, r)/k. Второй

                - 18 -

закон Ньютона не отличает новой ситуации от предыдущей, следовательно, каждая точка останется неподвижной. Следующие два соотношения формально выражают это состояние:
                f(p/k,q,r) = f(p,q,r)/k
                -f(p,q/k,r) = -f(p,q,r)/k.
 Лемма доказана.

        Доказательство теоремы. Согласно лемме 1
                f(p,q,r) = f(p/r,q/r,1).
Согласно лемме 3              f(p/r,q/r,1) = p/r·q/r·f(1,1,1)
Следовательно,
                f(p,q,r) = p/r·q/r·f(1,1,1)                (17)
Теорема доказана.

         Широко распространённое мнение, что знаменатель в законе всемирного тяготения и в законе Кулона равный r·r тесно связан с трех-мерностью нашего пространства, является заблуждением. Действительно, согласно квантовой электродинамике, заряженные точки взаимодействуют друг с другом посредством волнового пакета виртуальных фотонов. В ситуации, когда заряженные точки покоятся относительно друг друга, длина стоячих волн каждого из виртуальных фотонов, образующих волновой пакет, должна укладываться целое число раз в расстоянии  между точками, то есть их длины должны быть прямо пропорциональны r.
      Согласно соотношению Планка энергия каждого виртуального фотона будет обратно пропорциональна r, следовательно, полная энергия волнового пакета будет обратно пропорциональна r. А ведь это просто другая формулировка закона Кулона. Все эти рассуждения и использованные в них соотношения являются сугубо одномерными, следовательно, и закон Кулона сугубо - одномерный закон.