Как создать стереометрическую модель

  Стереометрическая модель, созданная средствами векторной графики, модель, которую можно поворачивать и рассматривать с разных сторон, может быть использована как для подготовки к ЕГЭ по стереометрии, так и просто, как чертёж, иллюстрирующий различные геометрические построения http://proza.ru/2021/11/16/1487
  Имеется, однако, проблема – как, и какими средствами эту модель создавать?
      
  Вот, например, строки, описывающие три элемента векторной графики – это две прямые, расположенные неким образом в пространстве, и точка, лежащая на пересечении прямых.

1>     2  310  1000  1000  1860  250  600  0  0  0  54  5  1
2>     2  700  500  620  2199  434  825  0  0  0  31744  5  2
3>     1  1408  469  717  0  0  0  0  0  0  32736  5  3

  Отрезки прямых задаются X,Y,Z координатами своих концов (начальная и конечная точки), точка также задаётся своими координатами – 140.8 46.9 и 71.7 (числа эти увеличены в 10 раз для увеличения точности вычислений).
  Однако скажите, как по этим цифрам можно догадаться, что прямые пересекаются, и пересекаются именно в этой точке? Разумеется, цифры в строках векторной графики можно задавать, но только в самых простейших случаях. И даже это делать неудобно. Гораздо лучше было бы иметь некие геометрические средства к построению стереометрической модели, такие, чтобы делать это построение можно было бы прямо в изометрии.

   КОСОУГОЛЬНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

  В программе «Стереометрические модели» геометрическая фигура изображается в косоугольной фронтальной проекции. В этой проекции ось Z направлена вертикально вверх, а ось X – вправо. Обе оси лежат в плоскости экрана дисплея, образуя фронтальный план. Координаты по X,Z отсчитываются на этом плане в пикселях и безо всяких искажений.
  Ось Y изображается отходящей от начала координат вверх и вправо, под углом U к оси X. Масштаб по этой оси сокращён в k раз. Обычно U=30 градусов, а k=0.4.
  Но эти значения могут быть изменены, U может лежать в диапазоне от 0 до 180. Если U>90, то в плане экрана ось Y идёт влево и вверх. От линии, изображающей ось Y, отсчитываются пиксели координаты X.


     НАЧАЛО ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ

   Чтобы увидеть три оси нужно покликать по иконке с осями на панели инструментов, и тогда оси появятся.
   Ось Z идёт вверх, а оси Y и X образуют как бы дно стереометрической модели. Это не значит, что геометрические элементы не могут лежать ниже дна, но построение модели начинается с элементов, находящихся на дне.

  Построение модели мы начинаем с помощью инструмента «создание точки». Выбрав этот инструмент, мы кликаем по дну модели. На дне появляется вертикальный отрезок в виде ножки с точкой сверху – см. иллюстрацию.
  Двигая ножку за основание мы изменяем координаты X и Y, а двигая точку меняем координату Z. Иногда трудно бывает изменять X и Y одновременно, и тогда можно, установить координату Y, включить сиреневый ластик и зафиксировать Y. И после этого заняться другими координатами.

  Нажав кнопку «cls» мы выйдем из режима «создание точки», отменив её создание. Клик по кнопке «Ok» приведёт к созданию точки без ножки, если сиреневый ластик выключен или Z=0, или к созданию точки на ножке, если сиреневый ластик включён и Z>0.
  Чтобы создать точку, лежащую «на дне», мы сдвигаем точку к основанию ножки. Так, как это показано на втором рисунке иллюстрации.

    ЗАДАНИЕ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

  Возьмём конкретную задачу. Вот она –

Задание 4. Дан правильный тетраэдр SABC,
H – такая точка на высоте SO, что
OH:HS=1:3. Плоскость а проходит через
точки A и H параллельно медиане BM
треугольника ABC и пересекает ребро CS
в точке P.   а) Докажите, что CP:PS=2:3.
б)Найдите угол между плоскостями а и ABC.

  На рис. 1-2 иллюстрации мы начали построение ребра CA для этой задачи.
  Мы создали точки C и A и поставили точку в начало координат. Теперь продолжим нашу работу с помощью инструмента «создание отрезка» - см. следующий рисунок на иллюстрации. Делается это так.
  Кликнув точку C, мы ведём отрезок к точке A и отпускаем кнопку мыши на этой точке. Затем нажимаем кнопку «Ok».

  Теперь у нас возникает проблема – мы не знаем координату Y для точки B. То есть, мы её конечно знаем - мы можем по теореме Пифагора её вычислить, но точно установить точку с помощью инструмента «создание отрезка» мы всё равно не сможем – координата по оси Y меняется через 5 пикселей, а не через 1 пиксель, то есть, меняется довольно грубо.
  Выход из этой ситуации есть – можно провести нормаль через точку В к отрезку CA, и уже на этой нормали, разделив её в нужной пропорции, поставить точку В. Именно этот способ создания точки В показан на рисунках иллюстрации.

  Так, действуя постепенно, создавая вертикали, и разбивая эти вертикали в нужной пропорции, можно построить полную стереометрическую модель, иллюстрирующую как задание, так и содержащую дальнейшие построения, поясняющие решение задачи.


ПРИЛОЖЕНИЕ

  В описанном выше процессе использовались два интересных алгоритма, которые облегчили и сделали более точными наши геометрические построения. Первый алгоритм мы обсудим ниже, а проблему нахождения точки пересечения двух прямых в пространстве я хочу обсудить в отдельной статье.


     ГИПОТЕНУЗНАЯ ПРОПОРЦИЯ

  Что значит - разбить отрезок в заданной пропорции, в общем-то понятно. В программе «стереометрические модели» для этого используется кнопка «п» с опцией «разбить отрезок в пропорции». Сама пропорция задаётся так:

50/100    - что означает – принять длину отрезка за 100 относительных единиц и отсчитать от его начала по направлению к середине 50 единиц. Если пропорция задана именно такая, то как раз на середину отрезка мы и попадём.
  Если пропорция задана так 50/150, то, поставив точку, мы отделим от отрезка первую его треть.

  Заметим, что отрезок разбивается нами по некому численному алгоритму – чтобы поставить точку в нужном месте отрезка нужно совершить некоторые, хоть и простые, математические действия. Если X1,Y1,Z1 – координаты начала отрезка, а  X2,Y2,Z2 – координаты его конца, а пропорция взята та, что показана выше, то действия эти таковы:

  X = X1 + (X2 –X1)*50/100  или X = X1 + (X2 –X1)*50/150
  Y = Y1 + (Y2 –Y1)*50/100  …
  Z = Z1 + (Z2 –Z1)*50/100 

  Рассмотрим теперь другой алгоритм разбиения отреза.
  Мысленно приставим к нашему отрезку две наклонных, так, чтобы эти наклонные вместе с отрезком образовали треугольник. Не будем уточнять, как именно треугольник расположен в пространстве, но из общей точки удалённых концов наклонных опустим на отрезок перпендикуляр.
  Основание перпендикуляра разобьёт отрезок в некой пропорции – туда мы и поставим точку. Теперь удалим наклонные. У нас остался только отрезок и точка на нём.
  Запишем пропорцию в таком виде:

  L1+L2    здесь L1 и L2 – длины наклонных (не относительные, а абсолютные величины, выраженные в пикселях). Длина отрезка L нам тоже, разумеется известна. Перпендикуляр является общим катетом двух малых треугольников, а L1 и L2 это гипотенузы этих треугольников.
  Проделав небольшие вычисления мы найдём положение точки, разбивающей наш отрезок. Назовём такое разбиение «гипотенузным», а саму пропорцию, связанную с описанным алгоритмом – «гипотенузной пропорцией».

  Именно такое разбиение отрезка CA с использованием гипотенузной пропорции 150+150 было сделано в нашей задаче. Одновременно с постановкой точки, при гипотенузном разбиении мы получили значение величины H=129.9 – это высота, и это значение высоты было тут же использовано в дальнейших действиях. 

  Формально переход от обычной пропорции к гипотенузной делается в той же опции кнопки «п» простой заменой значка «/» на значок «+» в текстовом поле. Попеременное использование обычной и гипотенузной пропорций в ходе построения стереометрических моделей. оказалось очень удобным.