Задача по стереометрии. Возможности программы

  На простом примере построения сечения мы рассмотрим стандартные приёмы геометрических построений, а также способы их реализации, имеющиеся в программе «Стереометрические модели».

  Задание.
  Рёбра куба имеют длину 200. На левом верхнем ребре, нижнем ближнем и правом дальнем поставлены точки. Правая точка делит ребро в соотношении три к двум. Нужно построить сечение куба плоскостью, проходящей через указанные точки.

  Прежде всего сделаем небольшие замечания.
  Прямая, по которой одна плоскость пересекает другую, называется следом первой плоскости.
1.  Следы пересечения плоскостью двух параллельных плоскостей тоже параллельны между собою.
2.  Прямые, пересекающие ряд параллельных плоскостей, разбиваются ими на пропорциональные части.

  Этих двух тезисов будет вполне достаточно для решения нашей задачи. Заметим, что соединив указанные на рёбрах точки, мы искомого решения сразу не получим. Полученный треугольник из зелёных линий (см. иллюстрацию) это только часть сечения.
  Между тем, построим этот треугольник (тут мы используем инструмент, который имеется в меню программы и называется «построить отрезок»), и подумаем, что нам делать дальше.

  Проведём мысленно через точку Т3 горизонтальную плоскость. Вместе с верхней и нижней гранями куба она составит тройку параллельных плоскостей. Воспользуемся тезисом №2 в отношении прямой Т1-Т3 и ребра куба, содержащего точку Т3. Используя пропорцию:

120/200 = «длина отрезка Т2-Т3»/«увеличенная длина этого отрезка»

удлиним отрезок Т2-Т3 до пересечения с нижней плоскостью и найдём точку этого пересечения.
  Практически, в программе «Стереометрические модели» искомая точка ставится так – мы кликаем кнопку «п» и активируем тем самым режим «поставить точку», в текстовом поле записываем пропорцию 120/200 и кликаем прямую Т2-Т3. На этой прямой появляется зелёная точка.
  Теперь поставленную точку можно соединить с точкой Т2 и найти пересечение этой прямой с правым нижнем ребром куба.
  А если мы решаем задачу не в программе, а на бумаге, то координаты искомой точки тоже находятся с помощью пропорции, и они легко выражаются с помощью простых дробей.
  В точности аналогичным способом находим точку на верхнем заднем ребре.

  С последней точкой сечения имеется некая проблема – не факт, что нижняя голубая линия пересечётся с левым нижним ребром куба в пределах чертежа.
  Но если с этим возникнут трудности, то вполне можно воспользоваться тезисом №1, проведя из точки Т1 красную прямую, параллельную нижней красной линии в правом углу.
  В программе «Стереометрические модели» это делается так – кликаем по кнопке «/» и устанавливаем опцию «извлечь». Кликнув по нижней красной прямой извлекаем её, то есть, делаем её дубликат. После этого, воспользовавшись инструментом «перенос», переносим этот дубликат в Т1.

  Нам осталось поставить точку пересечения верхней красной прямой с левым ближним ребром куба. Сделать это можно «на глазок», используя кнопку «п», но лучше поставить точку точно – открыть на панели инструментов специальное меню для работ с выбранными элементами, найти в меню пункт «поставить точку на пересечении прямых», выбрать ребро куба и красную прямую, а затем кликнуть кнопку «Ok».

  ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГРАММЫ

  Как вы уже поняли, программа «Стереометрические модели» имеет разнообразные методы и способы геометрических построений, и, работая с программой, вы научитесь не только решать задачи ЕГЭ и делать иллюстрации к ним, но и более глубоко освоите как стереометрию, так и векторную графику в разных её аспектах.

  С некоторыми возможностями программы вы уже знакомы.
-  Имеется кнопка «п», позволяющая прикрепить точку на указанное место прямой, или разделить прямую точкой в указанной пропорции.
-  Кнопка «/» в опции «удалить» удаляет элемент, в опции «извлечь» - извлекает его, а в опции «очистить» удаляет все элементы векторной графики.
-  Кнопка «о» выполняет обращение элементов – превращает отрезок в прямую и прямую в отрезок, заменяет плоскость нормалью (отрезком, перпендикулярным к плоскости), меняет штриховку сечения с горизонтальной на вертикальную, и обратно.

  Следующий ряд действий связан с выбором элемента.
  Кликая правой кнопкой мыши по изображениям графических элементов на рисунке, можно выбрать один, два или три элемента, отметив их в стеке. Правее стека выбора находятся три кнопки. Кнопки действуют чисто косметически – кликом по ним можно изменить цвет и толщину графического изображения.
  Элементу, находящемуся в верхней позиции стека, нажимая клавиши клавиатуры, можно дать буквенно-индексное обозначение.
  Для прямой, обозначение появляется вблизи её окончания, то есть, вблизи второй точки отрезка, немного левее и сверху. Кнопки со стрелочками в правой части клавиатуры помогают сдвинуть обозначение в другую, более подходящую для него позицию.
 
  Со стеком выбора также связаны и более сложные действия, предусмотренные в меню.
  Для вызова меню мы кликаем по значку «меню» на поле инструментов, а потом находим в меню нужный пункт. Перечислим те действия, которые находятся в меню в настоящее время:
  - из точки (1) на отр/прям (2) опускаем перпендикуляр
  - в основании перпендикуляра от точки(1) к отр/прям(2) ставим точку 
  - по трём точкам (1), (2), (3) создаём в точке(1) плоскость
  - на пересечении отр/прям(1) с плоскостью(2) ставится точка
  - отр/прям(1) заменяется плоскостью перпендикулярной к нему
  - на пересечении прямых (1) и (2) ставится точка
  - поставить элемент(2) позади элемента(1)

Последний пункт имеет косметический уклон – он позволяет создать правильную визуальную картинку, в которой дальние элементы, пересекаясь с передними, прячутся за них.
 
  На панели инструментов, на той, на которой находится рамка со значкам «меню», имеются и другие обозначения.
  Клик по значку с изображением координатных осей включает их отображение на чертеже и отключает его. Другие четыре значка включают в работу следующие инструменты:

  - «создать отрезок», с этим инструментом вы знакомы. Соединение двух точек отрезком прямой, или соединение других элементов между собой, делается им. Для концов отрезка делается точная пространственная привязка к указанному поинтером элементу.

  - «передвижение», этим инструментом выбранный элемент передвигается целиком, отрываясь от своего места и привязываясь к новому месту. Естественно, что «новое место» должно находиться на каком-то другом элементе. Просто передвинуть элемент в пространство, без привязки нельзя.

  - «создать сечение по точкам», этим инструментом мы последовательно указываем на точку начала штриховки, и затем, на точки, составляющие контур сечения. Клик по кнопке «Ok» создаст изображение сечения, оконтуренного прямыми линиями и заштрихованного определённым образом.

  - «создать точку», этот инструмент позволяет создать чертёж с чистого листа, когда кроме координатных осей на рисунке никаких ориентиров нет, и новые элементы просто не к чему привязывать.
  Создаваемая точка появляется на верхушке вертикальной ножки. Ножку можно перемещать по координатам X,Y а шляпку – по координате Z. Созданный вертикальный отрезок с точкой, ни к каким элементам не привязывается, а остаётся на тех координатах, на которые его поставили.
  Впоследствии, на созданный таким способом каркас можно навесить другие графические элементы.

  Итак, возможности, заложенные в программу «Стереометрические модели» разнообразны и эффективны. При необходимости, в меню для работы с выбранными элементами могут быть добавлены и другие пункты.
  Пока же имеющихся возможностей хватает, особенно, если использовать их не поодиночке, а комбинировать действия между собой.

    КОМБИНИРОВАННЫЕ ДЕЙСТВИЯ

  Как пример, рассмотрим работу с плоскостью.
  Визуально плоскость показывается на чертеже в виде точки с приделанной к точке чёрной линией – нормалью. Вектор - нормаль к плоскости, условно изображён отрезком длиной 50 пикселей. С помощью кнопки «о» его можно обратить в обычный отрезок, и этот отрезок будет уже иметь длину 100 пикселей.

     ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

  Рассмотрим, например, задачу о нахождении линии пересечения двух плоскостей. Пусть плоскости представлены на чертеже так, как описано выше, а в окружении имеется некий каркас с поставленными на нём точками.

  Прежде всего, продублируем одну из плоскостей, применив к ней операцию «извлечь». Затем обратим извлечённую плоскость в отрезок-нормаль.
  На этот отрезок, выбрав две точки, из имеющихся на каркасе, опустим два перпендикуляра. Инструментом «перемещение» сместим перпендикуляры и прикрепим их к началу отрезка-нормали.
  С помощью пункта меню «на пересечении отрезка с плоскостью ставится точка» поставим точки пересечения смещённых перпендикуляров со второй плоскостью. Прямая, соединяющая эти точки, и будет искомой линией пересечения. 

    ПЛОСКОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЗАДАННОЙ ПРЯМОЙ

  Следующая задача – построить плоскость, содержащую заданную прямую и параллельную другой заданной прямой.
  Тут наши действия немного попроще.
  Продублируем вторую прямую и переместим её копию к первой прямой, соединив их концами. В углах полученного V-образного треугольника поставим точки. Они-то и станут основой для создания плоскости.

     ДРУГОЙ ПУТЬ РЕШЕНИЯ

  Нашу простую геометрическую задачу, которая была рассмотрена в самом начале, мы могли бы решить и другим путём.
  Предположим, что нам не была известна пропорция 120/200, а точка Т3 на правом ребре куба была поставлена как бы наобум. Конечно, поверх ребра можно нарисовать отрезок, привязав его концы к точке Т3 и верху ребра, а потом выбрать этот отрезок и узнать его длину (длина отрезка при его выборе всегда указывается в поле комментариев), чтобы потом эту длину использовать в пропорции на месте числа 120.
  Однако, можно сделать и по-другому.
  Опустим из точки Т1 перпендикуляр на нижнее левое ребро. Затем соединим отрезком основание перпендикуляра с правым дальним нижним углом куба.
  Найдём точку пересечения этого отрезка с прямой Т1-Т3, это и будет искомая точка. Таким, несколько более сложным путём, мы фактически построили всё ту же пропорцию, но не в её численном, а в геометрическом представлении.

_________
  Итак, мы видим, что комбинированные действия с плоскостями, прямыми и точками, заложенные в программе «Стереометрические модели», позволяют делать довольно сложные геометрические построения. Опыт работы с программой подтвердил правильность и эффективность использованных технических решений.

__________
18.01.2022