ИИ. Полилинейность

ИИ. Полилинейность

        «Господь Бог создал целые числа…», а Карл Маркс объявил о новом состоянии цивилизации Homo, основанном на формуле «деньги–товар–деньги». Значит, всё можно измерить деньгами, всех можно построить в одну шеренгу. Математика, однако, заменила убогую формулу Маркса линейным программированием, в результате Советский Союз зашатался и, можно сказать, мгновенно рухнул. Началась новая эра и сразу выяснилось, что денег стало слишком много: доллары, евры, юани, рубли – и все они, с одной стороны, вроде бы равноправны, а с другой – одной планеты им мало, потому что товары делаются в одном месте, на одни деньги, а деньги, за которые их продают, печатаются в другом месте... Кстати, не все товары делаются в другом месте, есть особый товар, называется «оружие», который каждый делает у себя, для себя и за свои деньги. Доллары, юани и рубли, что бы о них ни говорили, защищены своим оружием, тогда как евры, что бы о них ни говорили, на защищены.
        Карл Маркс, как представитель маленькой народности ничего об этом не говорил, он даже не догадывался о таком варианте развития событий, поэтому о нём можно забыть, а вспомнить об итальянском мыслителе Никколо Макиавелли: «если что-то нельзя строить в одну шеренгу, то надо строить - в две». Математика времён Никколо Макиавелли дала пример, как это надо делать. Никто не знал, как следует решать уравнение x*x = -1, потому что такого числа не существует. Однако это препятствие удалось преодолеть, построив числа в две шеренги (все уравнения стали решаться). Потом числа построили в 4 ряда, в 8 рядов – главное, они уживаются. События в нашем мире развиваются так, что «уживчивость» стала востребована, потому что без этого жить стало невозможно. Убедительность слов неуживчивости снизилась до нуля – люди наших дней верят только своему оружию.
        Настало время заменять простую линейность, которая позволяет удерживать равновесие в случае двух противников, полилинейностью, которая могла бы удерживать в равновесии 2 + 2, или 4 + 4, или 8 + 8, и т.д. противников… Математика дала великолепные образцы гармонии систем векторов абсолютно не уживающихся друг с другом: [x,y] = -[y,x] для любых y, x. В наше тревожное время было бы неплохо как следует знать свойства таких систем, все объекты которых, кстати, безупречно равноправны.
        Чуть-чуть об истории проблемы. Началась полилинейность с гениального открытия Уильямом Гамильтоном кватернионов и открытия Артуром Кэли операции удвоения кватернионов, названных им октонионами. Два автора предложили две полилинейные алгебры. Две алгебры - это, в каком-то смысле, две точки! Значит через них, следует, провести, в каком-то смысле, прямую, чтобы, пользуясь которой описать все остальные алгебры, которые тогда находились и в наши дни находятся на этой «прямой». Однако они не сделали этого. А, Вы, готовы сделать несколько совершенно очевидных шагов в этом направлении? Тогда – вперёд!
        Основу каждой из двух алгебр составляет таблица умножения единичных векторов, которая показывает в какие единичные вектора отображается единичный вектор остальными единичными векторами. Если каждая строка и каждый столбец определяет взаимно однозначное отображение, то это означает, что единичные векторы равноправны, а таблица умножения определяет не только операцию умножения, но и обратную ей операцию деления.
        Сразу же встает совершенно законный вопрос, а могут ли вообще существовать такие системы. Могут, на них основаны системы шифрования. Вы выбираете какую-то бинарную последовательность и с её помощью кодируете сообщение, раскодировать которое можно только с помощью той же самой бинарной последовательности, которой она была закодирована. Такую работу выполняет бинарный логический оператор XOR. Значит, простейшая «прямая, проходящая через две алгебры» могла бы базироваться на операторе XOR, что и было доказано в одной из моих публикаций на портале Проза.ру. Осталось разобраться со знаками полилинейного XOR-преобразования, при котором получается известное физикам, векторное умножение, впервые реализованное Уильямом Гамильтоном и Артуром Кэли.

        h   i    j   k
        i   H   k   J
        j   K   H   i
        k   j    I   H

Таблица Уильяма Гамильтона для кватернионов (2*2 единичных вектора) 1843 год

        h    i      j    k     l    m     n     o
        i    H    k    J     m    L    O    n
        j    K    H    i     n    o     L    M
        k    j     I    H     o    N    m   L
        l    M    N   O    H    i     j     k
        m    l   O    n     I    H    K     j
        n    o    l    M     J    k    H     I
        o    N    m    l    K    J     i     H

Таблица Артура Кэли для октонионов (2*2*2 единичных вектора) 1854 год

        На главной диагонали таблиц вместо «1» стоит «h», вместо «-1» стоит «H», чтобы не заморачиваться со знаками в редакторе Проза.ру. Внутри таблицы заглавная буква замещает прописную со знаком "минус".

                Алгоритм удвоения
        Будем идти от обратного. Вначале заполним таблицу именами переменных без учета знаков. Таблица Кэли будет рассматриваться далее, как результат удвоения таблицы Гамильтона. Отчетливо видно, что правый верхний угол таблицы Кэли занимает таблица Гамильтона, первая строка (первый столбец) которой продлевается буквами «l», «m», «n», «o», а главная диагональ заполняется 7 буквами «H» - это первый шаг заполнения таблицы удвоения.
        На втором шаге заполняется пятая строка таблицы от буквы «H» вправо записываются буквы алфавита «i», «j», «k», (буква «l» уже записана на другом конце строки), далее в этой же строке записываются буквы «M», «N». «O».
        На третьем шаге заполняется пятый столбец таблицы от буквы «H» вниз: «I». «J». «K». На противоположном конце строки уже заполнена буква «l», от неё вниз «m», «n», «o». Алфавитная последовательность букв "по кругу". Половина идущих подряд букв прописные, половина - заглавные.
        Пятая строка и пятый столбец разбивают поле таблицы на 4 зоны (по часовой стрелке: первая, вторая, третья и четвертая) первая уже заполнена

        h    i      j      k     l     m    n     o
        i    H     k      J     m    L    O    n
        j    @     H     i     n    @    L    M
        k   @     @    H    o    @    @   L
        l    M     N    O    H     i      j     k
        m   @    @    N    I    H      K    j
        n    @    @    M    J    @     H    I
        o    N     m     l    K    @    @    H

        На четвертом шаге заполняем вторую зону, перенося верхнюю половину первой зоны, расположенную выше диагонали, во вторую зону, со сменой знака (прописные буквы становятся заглавными, а заглавные прописными). Незаполненными остаются клетки, в которых стоит «@» (это – вся четвертая зона и половина третьей зоны, лежащая ниже диагонали из букв «H» красный фон см. рис.). Заполняем половину третьей зоны знаками точно так же как вторую - параллельным переносом со сменой знака).
        На пятом шаге заполняем первую, вторую и третью зоны, копируя знаки из верхней половины в нижнюю, отражая её от диагонали, как от зеркала (со сменой знака).
        На шестом шаге заполняем четвертую зону отражаем второй зоны от диагонали «H» со сменой знака.
        В результате получаем «таблицу удвоения кватерниона, совпадающую с таблицей умножения Артура Кэли.
                А можно ли всё это запомнить?
        Можно. Для этого закрасим фон клеток, которые мы заполняем знаками (см. рис., где изображена также подобная форма для заполнения знаков сидениона).
        h    i     j     k     l     m    n     o
        i    H     k    J     m    L    O    n
        j    @    H    i     n    @    L    M
        k   @    @   H    o    @    @    L
        l    M    N    O    H    i      j     k
        m   l     O     n     I    H    K     j
        n    o     l     M     J   @    H     I
        o    N    m     l     K   @   @    H

        Красные и чёрные поля заполняем алфавитом на первом шаге (красным окрашены положительные знаки, черным - отрицательные). Первую порцию знаков заносим из октаниона в верхнюю половину первого квадрата (зелёный фон). В верхнюю половину второго прямоугольника (красный фон) параллельно переносим знаки, противоположные тем, который стоят в аналогичных местах первого квадрата. Повторяем эту же самую процедуру для третьего квадрата. В результате получаем полную схему первого этапа заполнения (см. правый рис.).
        На втором этапе заполняем белые поля первой, второй и третьей зон, осуществляя «зеркальное отражение в их диагоналях со сменой знаков на противоположные». Белые поля четвёртой зоны заполняются отражением второй зоны в главной диагонали со сменой знаков. На левом рисунке (см. рис.) приведена форма заполнения знаками таблицы умножения седениона. Вот и вся премудрость!

                Повторенье – мать ученья.
        Отправляемся от числа 1. Таблица умножения: 1*1=1. Удваивая эту таблицу умножения, получаем таблицу умножения комплексных чисел
        1  i
        i -1.
        Удваивая таблицу умножения комплексных чисел, получаем таблицу умножения, в которой не заполнены всего только 2 клеточки,
        1    i    j     k
        i   -1    k    @
        j   -k   -1     i
        k    @   -i   -1  ,
 а так как в каждом столбце и каждой строке должны стоять все буквы, то за знаком @ скрывается буква «j», но это не всё! Процедура удвоения «говорит», что дальше нам с ней не по пути, потому что исследуемый объект раздваивается! Минус можно поставить как вверху, так и в низу. Гамильтон был праворук и поставил «минус» при «j» - вверху, а был бы левшой – мог бы поставить внизу! Кватернионов, оказывается – два!
        Хотелось просто повторить материал, а пришлось сделать открытие!
Вся эта тема – замечательный объект для изучения в школе! Не надо его называть гиперкомплексным, пользы от такого названия - никакой (она отпугивает). Лучше воспользоваться термином "полилинейность"! Разве это не интересно?
         
         Итак, ОТКРЫТИЕ! Надо его как-то застолбить!
         Пусть будет так!
         Предыдущим автором был Артур Кэли, значит следующий - Анатолий Вотяков.
         Все математические статьи начинаются с ПРАВИЛЬНОГО заглавия, а эта пусть заканчивается им. Математика имеет на это право!

                Анатолий Вотяков

                Полилинейность. XOR-алгебры

                Москва 2022