Векторное умножение - это другое

                Векторное умножение - это другое
        Есть скалярное умножение векторов - это когда два вектора отображаются в число (например чек из магазина), но должно быть и векторное умножение - это когда два вектора отображаются в вектор (это из физики, примеры дали Гамильтон и Кэли). Векторное умножение должно быть, разумеется, чуть-чуть сложнее, чем скалярное, однако не настолько, чтобы его нельзя было растолковать школьнику. А это, значит,  что основная идея Диксона, по которой таблицы умножения Гамильтона и Кэли должны иметь модели в алгебраических числах, то есть быть решениями каких-то алгебраических систем, суть - грех (слово "грех" - греческое и в точном переводе на русский язык означает "неправильный путь").
       Для школы должно быть дано определение [x, y] = z, где x, y, z - векторы. Основное свойство [x, y] = -[y, x]. Начальное состояние процесса: отправляемся от таблицы умножения (1*1 = 1), состоящей из 1, и аккуратное описание правил перехода к следующей таблице. Всё!
       Так как в основе алгебры, использующей свойства логической связки XOR, должны лежать процедуры, основанные на "удвоении" числа переменных, имеет смысл внимательнейшим образом исследовать "процесс удвоения", рассматривая его как рекурсивную процедуру перехода к таблице умножения следующего размера.

                Удвоение единицы
        Переход от таблицы умножения, состоящей из одной клеточки, реализующей  (1*1 = 1) к комплексному числу
1  i
i -1   вроде бы понятен. Операция удвоения комплексного числа, наоборот, требует прежде всего внимательности, потому что на первом шаге использовалась операция, которая будет подробно описана только при удвоении "комплексного числа".

                Удвоение комплексного числа
 От комплексного числа переходим сначала к промежуточной записи

1  i  j  k
i -1
j    -1
k           Рамки таблицы мы уже расширили и диагональ таблицы умножения на единицу удлинили Это первый шаг, отправляясь от которого волевым образом вписываем, стоящий в первом столбце алфавит в третий столбец будущей таблицы умножения: первая буква "i" заглавная (сразу под -1, следующая буква "j" уже стоит в том же столбце вверху (буквы алфавита идут по кругу в том же самом столбце), поэтому заполняем только букву "k".

1  i  j  k
i -1  k
j    -1
k     I    , после этого заполняем третью строку, копируя в неё первую строку: первая буква прописная i (сразу за -1), а остальные заглавные в ту же строку по кругу J, K, но первая буква уже стоит, поэтому мы её не трогаем, а заполняем только "K".
        Кстати, теперь у нас есть все для того, чтобы показать, как заполняется, строго говоря, матрица умножения комплексных чисел. После того как мы продлили первую строку и первый столбец алфавитом, состоящим из буквы "i", строго говоря, нам следовало бы вписать тот же "алфавит", скажем, "заглавную букву i" во второй столбец снизу. Но это уже за границей рамки! Значит, переносим её в самый верх того же самого столбца, но там уже стоит буква "i прописная", поэтому оставляем её. Процедура со столбцом закончена. Затем то же самое делаем с заполнением алфавитом второй строки. Вот теперь переход к таблице умножения комплексных чисел выполнен безупречно.
        Это первая часть процедуры заполнения и она делается всегда, при заполнении каждой следующей таблицы. В рассматриваемом случае, когда мы переходим от таблицы умножения комплексных чисел к удвоенной таблице впервые заполненной Гамильтоном, делать больше ничего не надо, потому что таблица уже заполнена! Действительно, в нижний правый угол, надо заполнить "-1", а два оставшихся пустыми места заполним знаком "@".

1  i  j  k
i -1  k
j  K -1  i
k       I     , после этого удлиняем диагональ

1  i   j  k
i -1  k -@
j  K -1  i
k @  I -1 .
        Последняя строка (столбец) заполняется автоматически (там идут алфавиты в обратном порядке), а незаполненными остались только клетки для "j", следовательно, удвоение предоставляет нам два варианта таблицы умножения для кватерниона: либо @ = j, либо @ = -j = J, K = -k (сама таблица умножения интерпретирует заглавные буквы, как прописные со знаком "минус").

1  i  j  k     1  i  j  k
i -1  k  J     i -1  k  j
j  K -1  i     j  K -1  i
k  j  I -1  и  k  J  I -1 . В первом случае [i, k] = -j, а во втором случае  [i, k] = j, то есть в первом случае таблица Гамильтона для правого кватерниона,а во втором - для левого кватерниона. Правые, левые - какая разница? Знаки порождают дополнительные симметрии и иногда это необходимо учитывать. Не исключено, что при каждом удвоении, число вариантов таблиц умножения каждый раз удваивается.

                Удвоение кватерниона Гамильтона.

1  i   j  k   l  m  n  o
i -1   k -j -m  l      
j -k  -1  i -n     l 
k  j  -i -1 -o         l
l  m   n  o -1 -i -j  -k
m  -l          i -1      
n      -l       j    -1 
o          -l   k        -1

В таблице умножения Кэли остались незаполненными клетки и для их заполнения вводится конструкция из трёх знаков "@"

1  i  j   k     l   m   n   o
i -1  k -j -m    l  @  @
j -k -1  i  -n          l   @
k  j -i -1  -o                l
l  m  n  o -1 -i   -j    -k
m -l           i   -1      
n    -l         j        -1   
o       -l      k            -1

с помощью которых таблицу умножения можно представить в виде

1  i    j   k     l  m  n  o
i -1  @  @ -m  l  @  @
j -k -1     @ -n     l    @
k  j  -i    -1   -o            l
l    m  n  o   -1  -i  -j  -k
m -l               i -1  @  @
n    -l             j      -1    @
o       -l          k          -1

В первом квадрате таблицы конструкция из трёх @ получает знаковое наполнение

@  @     +  -
      @  =     +  во второй квадрат эти знаки подставляются либо так, как они написаны, либо со сменой на противоположные знаки. В третий квадрат они подставляются со сменой знаков

1  i  j  k  l  m  n  o
i -1  k -j -m  l -o  n
j -k -1  i -n     l -m
k  j -i -1 -o        l
l  m  n  o -1 -i -j -k
m -l        i -1 -k  j
n    -l     j    -1 -i
o       -l  k       -1

После трёх отражений в диагоналях получаем таблицу умножения Кэли.

1  i  j  k  l  m  n  o
i -1  k -j -m  l -o  n
j -k -1  i -n  o  l -m
k  j -i -1 -o -n  m  l
l  m  n  o -1 -i -j -k
m -l -o  n  i -1 -k  j
n  o -l -m  j  k -1 -i
o -n  m -l  k -j  i -1

Или, если во втором квадрате сменим знаки, получаем другую таблицу

1  i  j  k  l  m  n  o
i -1  k -j -m  l  o -n
j -k -1  i -n -o  l  m
k  j -i -1 -o  n -m  l
l  m  n  o -1 -i -j -k
m -l  o -n  i -1 -k  j
n -o -l  m  j  k -1 -i
o  n -m -l  k -j  i -1

                Удвоение октониона Кэли
        Удваивая таблицу Кэли, мы получаем объект, который в Интернете называют "седенион". Однако тот "седенион", который мы получим, отличается от седениона Интернета, потому что в "интернетном седенионе" подтаблица из первых восьми строк и первых восьми столбцов не является таблицей Кэли! Именно на этом шаге мы навсегда прощаемся с высшей алгеброй и гиперкомплексными системами. Векторное умножение - это не объект высшей школы, а объект школы самой обычной. Говорят, там будут "делители нуля", однако это надо ещё доказать. В системах из 3 и 7 векторов делителей нуля не было. Система, следующая за седенионом состоит из 31 вектора (снова простое число, поэтому группы векторов в ней не такие многообразные как в седенионе, где было 3*5 = 15 векторов). Пока не доказано, что последовательность Мерсенна содержит только конечное число простых чисел, рекурсию удвоения можно продолжать до бесконечности, опираясь на гипотезу о бесконечности последовательности простых чисел Мерсенна.
       Однако если эта гипотеза будет опровергнута, то это будет первый звоночек на тему, что векторное умножение не имеет права быть объектом школьной математики.

1  i  j  k   l  m  n  o  p   q    r    s     t     u    v   w
i -1  k -j -m  l -o  n -q   p -@ -@ -@ -@ -@ -@
j -k -1  i -n  o  l -m -r         p -@ -@ -@ -@ -@
k  j -i -1 -o -n  m  l -s               p -@ -@ -@ -@
l  m  n  o -1 -i -j -k -t                p -@ -@ -@
m -l -o  n  i -1 -k  j -u                p -@ -@
n  o -l -m  j  k -1 -i -v                p -@
o -n  m -l  k -j  i -1 -w                p
p  q  r  s  t  u  v  w  -1 -i   -j  -k   -l   -m   -n   -o
q  -p                i   -1  @  @  @  @  @  @
r     -p                j         -1  @  @  @  @  @
s         -p                k               -1  @  @  @  @
t            -p                l                -1  @  @  @
u               -p            m                -1  @  @
v                -p        n                -1  @
w                -p    o                -1 , где

@  @  @  @  @  @      k -j - m  l -o  n    +  -  -  +  -  +
      @  @  @  @  @          i -n  o  l  -m      +  -  +  +  -
            @  @  @  @    =      -o -n  m   l   =      -  -  +  +
                @  @  @                -i   -j -k           -  -  -
                @  @                -k  j               -  +|
                @                -i                -|

Следовательно.

1  i  j  k  l  m  n  o  p  q  r  s  t  u  v  w
i -1  k -j -m  l -o  n -q  p -@ -@ -@ -@ -@ -@
j -k -1  i -n  o  l -m -r        p -@ -@ -@ -@ -@
k  j -i -1 -o -n  m  l -s              p -@ -@ -@ -@
l  m  n  o -1 -i -j -k -t                p -@ -@ -@
m -l -o  n  i -1 -k  j -u                p -@ -@
n  o -l -m  j  k -1 -i -v                p -@
o -n  m -l  k -j  i -1 -w                p
p  q  r  s  t  u  v  w -1  -i -j -k -l -m -n -o
q -p                i -1 -@ -@ -@ -@ -@ -@
r    -p                j       -1 -@ -@ -@ -@ -@
s       -p               k             -1 -@ -@ -@ -@
t          -p             l                -1 -@ -@ -@
u             -p         m                -1 -@ -@
v                -p      n                -1 -@
w                -p  o                -1  Осталось вставить знаки и имена. Результат см. рис.