Антикоммутативность. Алгоритм Гамильтона-Кэли

                Антикоммутативность. Алгоритм Гамильтона-Кэли
       Алгебраическая операция называется коммутативной и обозначается знаком "+", если x + y = y + x. В общем случае алгебраическая операция некоммутативна и обозначается знаком "*", если равенство x*y = y*x не выполняется. Назовем алгебраическую операцию антикоммутативной, если x*y = -y*x. Наиболее известным примером антикоммутативной операции является векторное умножение.
        Наиболее известными примерами алгебраических систем, реализующих векторное умножении являются: кватернионы - четырехмерная система, единицами которой являются {1, i, j, k} и октонионы - восьмимерная система, единицами которой являются {e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}. Объединяет эти алгебры немаловажное обстоятельство, что операция умножения единичных векторов является антикоммутативной, и октонионы являются алгебраическим продолжением кватернионов, потому что подалгебра октонионов, в которой последние 4 единичных вектора равны нулю, является кватернионом.
        Возникает естественный вопрос какие дополнительные свойства должны быть привлечены в систему, состоящую из двух только примеров, чтобы она обрела способность однозначно распространяться на векторные пространства большего числа измерений.
        Ответ на этот вопрос даёт таблица умножения единиц октонионов, известная как "числа Кэли"
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1  -0 +3  -2  -5 +4  -7 +6
+2  -3  -0 +1  -6 +7 +4  -5
+3 +2  -1  -0  -7  -6 +5 +4
+4 +5 +6 +7  -0  -1  -2  -3
+5  -4  -7 +6 +1  -0  -3 +2
+6 +7  -4  -5 +2 +3  -0  -1
+7  -6 +5  -4 +3  -2 +1  -0

       Основу таблицы составляет множество из 8 единичных векторов {e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}. В таблице представлены только их индексы "имена". Произведение двух единичных векторов выбирает из этого списка вектор, присваивает ему знак, делая это так, что каждое имя встречается в каждом столбце и каждой строке один только раз.
        Эта особенность позволила высказать предположение, что таблица имен является результатом работы логического оператора XOR, что прямая проверка подтвердила.
       Следовательно, векторное умножение, определяемое двумя примерами (кватернионами и октонионами), в принципе, могло бы быть распространено на наборы из 2*2, 2*2*2, 2*2*2*2 и т.д. единичных векторов.
       Чтобы понять, какую последовательность каких операций (кроме антикоммутативности) необходимо выполнить, для перехода от таблицы Гамильтона к таблице Кэли, заменим в таблице Кэли имена векторов, лежащих правее главной диагонали таблицы знаком "=", так как они являются "отражениями со сменой знака на противоположный" единичных векторов, лежащих левее главной диагонали.

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1  -0   =   =   =   =   =   =
+2  -3  -0   =   =   =   =   =
+3 +2  -1  -0   =   =   =   =
+4 +5 +6 +7  -0   =   =   =
+5  -4  -7 +6 +1  -0   =   =
+6 +7  -4  -5 +2 +3  -0   =
+7  -6 +5  -4 +3  -2 +1  -0

         Таблица упростилась и теперь я могу совершенно точно описать, что именно почти 2 века лет назад проделал Кэли:
1. Записал таблицу Гамильтона, расширил список единичных векторов и в строк, в последних четырёх строках сделал легко запоминающуюся запись

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1  -0   =   =
+2  -3  -0   =
+3 +2  -1  -0
+4 +5 +6 +7  -0
+5  -4            +1
+6       -4       +2
+7            -4  +3

2. Заполнил таблицу, копируя половину таблицы Гамильтона, лежащую ниже главной диагонали в две аналогичные секции нижней половины таблицы (со сменой знака на противоположный)

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1  -0   =   =   =   =   =   =
+2  -3  -0   =   =   =   =   =
+3 +2  -1  -0   =   =   =   =
+4 +5 +6 +7  -0   =   =   =
+5  -4   =   = +1  -0   =   =
+6 +3  -4   = +2 +3  -0   =
+7  -2 +1  -4 +3  -2 +1  -0

3. Заменил индексы имён, прибавив к ним, стоящий на ближайшей к ним диагонали индекс (4)

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1  -0   =   =   =   =   =   =
+2  -3  -0   =   =   =   =   =
+3 +2  -1  -0   =   =   =   =
+4 +5 +6 +7  -0   =   =   =
+5  -4   =   = +1  -0   =   =
+6 +7  -4   = +2 +3  -0   =
+7  -6 +5  -4 +3  -2 +1  -0

4. Заполнил "блок из трех знаков (=, =, =) отражением со сменой знака в диагонали из "четверок", то есть  блока из (+5, -6, +7); и таким же отражением от диагонали из "нулей" левой половины таблицы на правую (И ВСЁ!).
 
       Тем самым доказана основная теорема антикоммутативности
      Теорема: Для алгоритмического продолжения таблиц векторного умножения линии Гамильтона-Кэли требуется только антикоммутативность и алгоритм Кэли.

       Антикоммутативность широко используется физиками для фиксации неожиданно обнаруживаемых ими абстрактных симметрий. Право-левой симметрией обладает кватернион. Её часто называют "зеркальной". Другой тип симметрии наблюдается в октонионе, куда вместо диагонали из "-4" можно вставлять диагональ из "+4". Порождаемое такой заменой различение объявляется симметрией, получившей название "странная". Следующая абстрактная симметрия, когда аналогичную диагональ сенедионов из "-8" заменяют диагональю из "+8", соответствует "очарованности" и т.д.