Антикоммутативность

                Антикоммутативность.
       Алгебраическая операция x*y называется коммутативной и обозначается знаком "+", если x*y = y*x. В общем случае, равенство x*y = y*x не выполняется и алгебраическая операция x*y некоммутативна. Назовем алгебраическую операцию антикоммутативной, если x*y = -y*x. Наиболее известным примером антикоммутативной операции является векторное умножение.
        Написав это, я заглянул в Интернет, чтобы посмотреть, что там по этому поводу умные люди думают. Но они там такое пишут, сами посмотрите, только не зачитывайтесь. Это возмутительно, кто им позволил так разговаривать с народом? Вы, наверное, уже привыкли, что я рассуждаю не так, как все, - вот только я никак не могу привыкнуть к этому, наивно полагая, что все должны рассуждать немножко не так как они это обычно делают...
       Антикоммутативность - это всё та же коммутативность, только помеченная, потому что знак "-" - это не величина, это метка. Возьмем пример из физики. Две частицы i и j столкнулись и в результате появилась новая частица k, однако так примитивно могут рассуждать только совсем неграмотные люди. Да, мы обнаружили частицу k, но появилась она в паре с частицей -k, которая улетела в противоположном направлении. Можем мы их обратно столкнуть и получить исходную пару частиц i и j? Не можем! Такой операции в таблице умножения нет. Антикоммутативность говорит о том, что системе присущи какие-то симметрии (реализующие коммутативность), которые можно различать, и свидетельством этого является введение знака "-". Способность к различению становится источником энтропии, делающей симметричный, в принципе, процесс необратимым.
        Мир антикоммутативности тесно связан с миром симметрий, которые существуют, потому что мы их различаем. Бинарный оператор XOR является источником коммутативных таблиц умножения, обладающих огромным числом хорошо различаемых симметрий, а каждая коммутативная таблица умножения, в свою очередь, - источник антикоммутативных таблиц следующего уровня. Как Вам такой вывод?
        А ведь это совершенно очевидная истина. Действительно, возьмем комететион (см. рис.) - таблицу XOR, построенную на алфавите состоящем из 32 символов: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, g, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w}. Первые 16 символов - это символы 16-ричного счисления, а остальные буквы латинского алфавита использованные Гамильтоном и Кэли (0 заменён буквой g) - это как бы два ноля один над другим, а дальше, как и положено (i, j, k, l, m, n, o) и т.д.
         Логическая связка XOR симметрична. x XOR y = y XOR x, поэтому порождаемая ей таблица умножения симметрична относительно главной диагонали, поэтому на рисунке главная диагональ закрашена красным, а половина таблицы, лежащая выше её,  не закрашена, потому что её элементы будут иметь знаки, противоположные тем, которые будут присвоены симметричным элементам нижней половины.
         Но таблица умножения единичных векторов комитетиона симметрична не только относительно главной диагонали, но и относительно перпендикулярной ей вспомогательной диагонали, состоящей из букв "w", поэтому верхняя половина нижней "полутаблицы" была закрашена в оранжевый цвет, чтобы не забыть, что в нее следует просто перенести знаки из нижней четверти таблицы, если мы считаем, что эта симметрия для нас не важна; или перенести противоположные знаки, если мы считаем, что эта симметрию столь же важна, как и предыдущая, поэтому в её надо переносить "противоположные" знаки.
        В результате у нас сформировался равнобедренный треугольник, половина которого закрашена в голубой цвет. Половины состоят из совершенно разных букв, но ASC("x") + ASC("y") = ASC("w"), если буквы "x" и "y" расположены симметрично относительно "медианы равнобедренного треугольника" (извините, что пришлось воспользоваться средствами языка "BASIC"). Это не случайность, это не я выдумал, это такая симметрия, существующая по всей таблице, которая не лучше, но и не хуже предыдущих, отчетливо видимая и поэтому осознаваемая только в этой части комитетиона, а закрашена она в голубой цвет потому что знаки её элементов заполняются по разному, в зависимости от того признаем мы эту симметрию элементом антикоммутативности или наоборот, считаем недостойной.
         На этом этапе отчетливо видно, что после трех отражений проблема знаков переместилась в седенион, состоящий из 16 символов: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; а далее переместится в октанион, отправляясь от которого, мы теперь можем заполнить знаками всю таблицу. Теперь расстановку букв и знаков выполняет немножко другой алгоритм заполнения таблицы умножения, отправляющийся не от алфавита, а от октониона. Иными словами, этот алгоритм отправляется не от "демократии американского алфавита", а от "английского авторитаризма Гамильтона-Кэли". Между демократией и авторитаризмом непроходимой стены нет! Мировая война на этой почве - абсолютное безумие!
        Антикоммутативность - это процесс, начальным состоянием которого является коммутативность.


Рецензии