Деление на ноль

<<И вот условное деление мира, основанное на школьной математике(или подобное ей), естественно, загоняет рассудок в бесконечные трения(споры, в которых, увы, не рождается истина).<<

Рождается истина, рождается, не переживайте! В 19-м веке считалось, что траектории в классической механике всегда можно определить: если заданы начальные условия, то динамические законы позволяют вычислить любую траекторию для любого момента времени. Между тем, хорошо известно, что в некоторых точках классические траектории становятся неопределенными. В общем случае траектория системы в процессе эволюции может изменяться так, что никакое наблюдение не позволит точно вычислить начальные условия. И наоборот, если известно точное начальное состояние системы, то это не гарантирует, что ее траектория в конце концов изменить свой тип.

К примеру, если взять систему свободных частиц, то их потенциальная энергия будет равна нулю, а значит с самого начала все состояния этой системы заданы, поскольку не изменяются при ее эволюции во времени. Но большинство динамических систем являются системами с взаимодействием. Чтобы исключить его, нужно перейти от обычных уравнений к каноническим уравнениям. Системы, для которых такой переход возможен, называются интегрируемыми, а если невозможен, - то неинтегрируемыми. Сам переход называется каноническим преобразованием. Долгое время считалось, что интегрируемы все динамические системы. Но в 1889 г. Пуанкаре показал, что это не так, и что в большинстве своем эти системы неинтегрируемы. Причина - возникновение резонансов между степенями свободы систем. Если возникают резонансы, то интегралы расходятся.

Под резонансами здесь понимается кратность частот (гармоник) периодических движений в системе. Каждая степень свободы системы имеет свою частоту. Влияние резонансов проявляется тогда, когда в систему с исключенным взаимодействием вводится возмущение. При разложения этого возмущения по степеням его константы связи эти частоты оказываются в знаменателях членов этого разложения. В случае резонанса между частотами эти знаменатели оказываются нулевыми, а члены разложения - бесконечными, что и соответствует расхождению интегралов. Вот вам конкретный пример деления на ноль, крайне важный в теории динамических систем, поэтому на резонансы никто никогда не предлагал вводить запрет.

Для решения этой проблемы Колмогоров (в 1954), Арнольд (в 1963) и Мозер (в 1962) разработали теорию, позволяющую исследовать влияние резонансов на траектории динамических систем. Согласно этой теории, рациональные отношения между частотами соответствуют периодическому движению систем, а иррациональные отношения - квазипериодическому. А поскольку мощность множества рациональных чисел по отношению к мощности множества иррациональных чисел равна нулю, то периодическое движение в фазовом пространстве встречается неизмеримо реже, чем квазипериодическое. Первое называется простым, а второе - сложным. В первом имеет место полная интегрируемость, а во втором все гораздо сложнее. Так, в 1884 г. Ковалевская показала, что хотя квазипериодические системы в большинстве своем неинтегрируемы, в некоторых особых случаях они интегрируемы. Этот результат оказался первым в теории вполне интегрируемых систем и привел к таким знаменитым уравнениям, как уравнение Кортевега-де-Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордон.

Но это еще не решение проблемы, а всего лишь обходные пути. Настоящее решение предложил в 1974 г. Пригожин в теории диссипативных структур. Он показал, что существует тесная связь между корреляциями в неравновесной термодинамике и классификацией систем на интегрируемые и неинтегрируемые. Интегрируемые системы - это системы, в которых можно исключить столкновения между молекулами. А поскольку столкновения создают корреляции, то с исключением взаимодействия исключаются и они. Такое состояние корреляций называется вакуумом корреляций. Если эволюция системы начинается с вакуума корреляций, то в ходе нее не могут возникать парные, тройные и более сложные корреляции, поэтому состояние вакуума корреляций не зависит от времени. В неинтегрируемых системах существуют непрерывные процессы рождения и гибели корреляций, которые зависят от времени. Неинтегрируемость систем означает, что в них нельзя исключить поток корреляций с помощью какого-либо преобразования. Роль резонансов в этом потоке состоит в том, что они связывают фрагменты рождения и гибели корреляций. Такие фрагменты называются пузырями. Пузыри соответствуют нелокальным событиям, которые нужно рассматривать как единое целое. Резонансы - это и есть такие события.

Дальше я не буду рассказывать, читайте Пригожина (например, Пригожин И., Стенгерс И. "Время, хаос, квант. К решению парадокса времени", - М.: УРСС, 2003 г.). Скажу лишь только, что все его диссипативные структуры (в том числе, солитоны) содержат резонансы.

Александр Изотов 3   21.03.2022 12:42   •   Заявить о нарушении