Заметка о сумме цифр

Обозначим сумму цифр произвольного числа x как Гx. Первое: Г(a+b)=Г(Гa+Гb). Второе: Г(9x)=9, где x<>0. Например, Г(2.73*9)=Г24.57=9, то есть 2+4+5+7=18, и 1+8=9. Тогда мы полагаем, что Г(9п)=9, хотя мы не способны до конца вычислить п. Третье: Г(a+9b)=Гa. Четвертое: Г(x!)=9, где натуральное x>=6. Например, Г(20!)=Г2432902008176640000=9, то есть сумма 2+4+3+2+9+2+8+1+7+6+6+4=54, и 5+4=9. Тогда мы полагаем, что Г(G!)=9, где G – бесконечно большое число, факториал которого не вычислить в принципе.

Исключительность чисел 3,6,9 заметна в последовательностях степеней, где каждый член равен сумме цифр последовательного натурального числа x возведённого в какую-либо степень y, при y>1, и равен Гx^y. Например, пятый член для ряда квадратов равен Г5^2=7. И здесь находим следующее. Первое: мы получаем циклично повторяющийся ряд из девяти чисел, где каждое третье (соответственно 6-ое и 9-ое) число всегда равно 9. То есть сумма цифр любого натурального x, кратного трём, возведённого в любую степень (больше единицы) равна 9. Например, Г15^11=Г8649755859375=9. Второе: сумма оставшихся чисел ряда (то есть без 3, 6 и 9 члена) равна 9 для ряда с нечётной степенью и 6 для ряда с чётной степенью. Третье: самих таких рядов всего 6 видов и каждый шестой ряд идентичен (например, ряды со степенью 2, 8, 14, 20 и так далее одинаковы).

Ряд 1: 1 2 (3) 4 5 (6) 7 8 (9)
Ряд 2: 1 4 (9) 7 7 (9) 4 1 (9)
Ряд 3: 1 8 (9) 1 8 (9) 1 8 (9)
Ряд 4: 1 7 (9) 4 4 (9) 7 1 (9)
Ряд 5: 1 5 (9) 7 2 (9) 4 8 (9)
Ряд 6: 1 1 (9) 1 1 (9) 1 1 (9)
Ряд 7: 1 2 (9) 4 5 (9) 7 8 (9)
Ряд 8: 1 4 (9) 7 7 (9) 4 1 (9)

Причина всех этих правил и многих других в математической симметрии. И производя сумму цифр, мы по факту производим сложение по модулю, где 9 - старшее значение, то есть переводим некое число в однозначное, вычитая от него 9 требуемое число раз. Например, Г17=1+7=8, то же 17-9=8. Так, вращая колесо, его можно прокручивать лишь на 3 значения (не считая единицы), чтобы вернутся в начало.

Шесть ступеней
В рамках жёстких,
Как на спицах колесо.
Разлиновано на клетку
Вихрей чёрных полотно.