Два радиуса и угол треугольника

Эта задача из решебника М.И.Сканави. Она очень частная и довольно сложная. Я решил ее изучить в общем виде и получил чрезвычайно интересные результаты. Программа на компе следующая:

rem даны две окружеости
print "INPUT UGOL V GRADUSAX BETTA (30, 45 OR 60)";:
input B0
n=50
for r=1 to n
for R=r+1 to n+1
for D=R-r+1 to R+r-1
x=((D^2-r^2+R^2)/(2*D))
y=sqrt(R^2-x^2)
lb=R-D+r
if (R-x)^2+y^2>0 then
if (x-D+r)^2+y^2>0 then
la=sqrt((R-x)^2+y^2)
lc=sqrt((x-D+r)^2+y^2)
B=acos((la^2+lc^2-lb^2)/(2*la*lc))*180/pi
if abs(B-B0)<1/10^9 then
print R,r,D, x,y,lb,la,lc,B
fi:fi:fi
rem fi:fi
next D
next R
next r

Вот что оказалось: только три угла, а именно 30, 45 и 60 могут быть целочисленными решениями. Причем для каждого из них - своя взаимосвязь между R, r и D. Помогли в этом разобраться на форуме mathhelpplanet.com. Распишу три эти замечательные связи:

Чтобы угол В оказался 30 градусов, должно выполняться условие:

D^2=R^2 + r^2 - R*r

В равно 45 градусам, если тройки Пифагоровы, то есть:

D^2=R^2 + r^2

И угол В равен 60 градусам, если

D^2=R^2 + r^2 + R*r

На рисунке я привел решения только для примитивных R, r, D  и показал результаты,  когда угол В=60 град.
Вывел только что формулу для угла "В". Очень красивую и изящную! Она - над рисунком. Программа для нее совсем уж простенькая! Устоновил по ней, что угол 90 градусов будет при D=R-r. Что вполне естественно.

4 мая 2022 г.